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Restklassen- und Untergruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Mo 22.05.2006
Autor: Tanne

Aufgabe
p>2 sei eine Primzahl. Zeigen Sie, dass die Quadrate in der primen Restklassengruppe (Z/pZ)* eine Untergruppe vom Index 2 bilden. (Sie dürfen dabei verwenden, dass die prime Restklassengruppe zyklisch ist.)

Ich habe leider keine Ahnung, was ich machen soll. Mir fehlt auch total der Ansatz. Ich stehe total auf dem Schlauch. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Ich hoffe es.

Danke schon einmal.

Gruss Tanne

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Restklassen- und Untergruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:23 Di 23.05.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Morgen,

es ist ja

[mm] (\IZ\slash p\IZ)^{\star}=\{1,\ldots , p-1\} [/mm] die multiplikative Gruppe von [mm] \IZ\slash p\IZ. [/mm]

Nun gilt ja  [mm] a^2\cdot b^2=(a\cdot b)^2, [/mm] und wenn a,b nicht durch p teilbar sind, so auch nicht [mm] a\cdot [/mm] b.

Also bilden die Quadrate eine Untergruppe.

Zum Index 2:

Zu zeigen ist:   [mm] |(\IZ\slash p\IZ)^{\star}\:\:\slash \:\: \{a^2\mod \: p\:\: |\: a\in\{1,\ldots ,p-1\}\:\}\:\:|\:\: =\:\: [/mm] 2

Ist doch aber klar: Die mult. Gruppe ist zyklisch, also gleich

[mm] \{a,a^2,\ldots , a^{p-1}\} [/mm]  für einen (jeden) Erzeuger. Die [mm] a^{2k} [/mm] sind Quadrate. Weiterhin gilt

[mm] a^{2k+3}=a^2\cdot a^{2k+1}, [/mm] also

[mm] a^{2k+3}\cdot \left (a^{2k+1}\right )^{-1} =a^2 [/mm]

Das zeigt, dass je zwei Zahlen [mm] a^{2k+1}, a^{2k+3} [/mm] kongruent modulo der Untergruppe der Quadrate sind, somit alle solchen
(mit ungeradem Exponenten) und damit gibt es genau zwei Restklassen.

Viele Gruesse,

Mathias

Bezug
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