Restklassenring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Finde ein [mm] n\in \IZ [/mm] mit [mm] \overline{n}*\overline{2}=\overline{1} [/mm] in [mm] \IZ/11\IZ
[/mm]
b)Berechne [mm] 4^{-3011} [/mm] in [mm] \IZ/17\IZ
[/mm]
c) Zeige: für jede ganze Zahl n gilt [mm] \overline{n}^3+\overline{2}*\overline{n}=\overline{0} [/mm] in [mm] \IZ/3\IZ
[/mm]
d)zeige: für alle [mm] x,y\in \IZ [/mm] gilt [mm] \overline{x}^2+\overline{y^2}=(\overline{x}+\overline{y})^2 [/mm] in [mm] \IZ/2\IZ
[/mm]
e)zeige: für alle [mm] x,y\in \IZ [/mm] gilt [mm] \overline{x}^3+\overline{y}^3=(\overline{x}+\overline{y})^3 [/mm] in [mm] \IZ/3\IZ [/mm] |
Kann mir jemand erklären, wie ich hierbei vorgehen muss?
Also es mir an einem Beispiel mal erklären. das wäre echt nett, wenn ich es verstanden habe, dann krieg ich das sicher auch alleine hin.
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mo 14.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> a) Finde ein [mm]n\in \IZ[/mm] mit
> [mm]\overline{n}*\overline{2}=\overline{1}[/mm] in [mm]\IZ/11\IZ[/mm]
du suchst ein n so dass 2*n=k*13+1 am einfachsten k>=1
> b)Berechne [mm]4^{-3011}[/mm] in [mm]\IZ/17\IZ[/mm]
berechne zuerst [mm] 4^2 [/mm] mod 17 dann 4^4mod 17
und denk dran, dass man mit den kleinsten Repräsentanten rechnen kann.
(Beispiel 18=1mod 17 also [mm] 18^7=1 [/mm] mod 17
> c) Zeige: für jede ganze Zahl n gilt
> [mm]\overline{n}^3+\overline{2}*\overline{n}=\overline{0}[/mm] in
> [mm]\IZ/3\IZ[/mm]
d.h. nichts anderes als dass [mm] n^3+2n [/mm] durch 3 teilbar ist.
und jetzt bist du dran!
> d)zeige: für alle [mm]x,y\in \IZ[/mm] gilt
> [mm]\overline{x}^2+\overline{y^2}=(\overline{x}+\overline{y})^2[/mm]
> in [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
> e)zeige: für alle [mm]x,y\in \IZ[/mm] gilt
> [mm]\overline{x}^3+\overline{y}^3=(\overline{x}+\overline{y})^3[/mm]
> in [mm]\IZ/3\IZ[/mm]
> Kann mir jemand erklären, wie ich hierbei vorgehen muss?
> Also es mir an einem Beispiel mal erklären. das wäre
> echt nett, wenn ich es verstanden habe, dann krieg ich das
> sicher auch alleine hin.
Du solltest vielleicht erst selbst mal sagen, was du dir unter den Restklassen vorstellst, und wie man darin rechnet.
Dann merkt man erst, wo deine Schwierigkeiten sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Mo 14.11.2011 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | a) Finde ein [mm] $n\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $\bar{n}\cdot\bar{1}=\bar{0}$ [/mm] in [mm] $\IZ/11\IZ$.
[/mm]
b) Berechne [mm] $\bar 4^{3011}$ [/mm] in [mm] $\IZ/17\IZ$. [/mm] |
Ich denke leduart meinte zur a) [mm] $2\cdot n=k\cdot [/mm] 11+1$ mit beliebigen [mm] $k\ge [/mm] 0$! *?*
Bei der b) solltest du dir Potenzrechnen nochmal vor Augen führen um 3011 gekonnt zu zerlegen. Einzig in ein Computeralgebrasystem eingegeben und Lösung hingeschrieben, wird nicht akzeptiert.
Meine eigenen Schwierigkeiten liegen eher bei d) und e). Da habe ich mich gefragt, ob man das irgendwie tabellarisch zeigen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Di 15.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
d und e
tabellarisch ist schon ok du brauchst ja nur [mm] 1^2 [/mm] und [mm] 0^2 [/mm] in d ; und [mm] 1^3,2^3 [/mm] und [mm] 0^3 [/mm] in e
Gruss leduart
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Ich hab die Thematik trotzdem noch nicht so richtig verstanden. Könnt ihr mir das nochmal erklären?
z.B. an der Aufgabe [mm] n\in [/mm] IZ miz [mm] \overline{n}*\overline{2}=\overline{1} [/mm] in [mm] \IZ /3\IZ
[/mm]
Von meinem Verständnis her muss ich nun ein n finden so dass Rest 11 übrig bleibt. Aber das stimmt ja so nicht ganz. ich verstehe halt nicht wieso ich auf k*11+1 komme.
wie komme ich auf das k? Woher kommt das?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Mi 16.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Ich hab die Thematik trotzdem noch nicht so richtig
> verstanden. Könnt ihr mir das nochmal erklären?
>
> z.B. an der Aufgabe [mm]n\in[/mm] IZ miz
> [mm]\overline{n}*\overline{2}=\overline{1}[/mm] in [mm]\IZ /3\IZ[/mm]
>
> Von meinem Verständnis her muss ich nun ein n finden so
> dass Rest 11 übrig bleibt. Aber das stimmt ja so nicht
> ganz. ich verstehe halt nicht wieso ich auf k*11+1 komme.
> wie komme ich auf das k? Woher kommt das?
>
>
> MfG
> Mathegirl
Die Aufgabe steht zwar nirgends auf Deinem Zettel, aber das ist mir auch lieber so, auch wenn Deine Fragen sich ueberhapt nicht auf die Gleichung beziehen: Die Loesung zu "[mm]n\in[/mm] IZ miz
[mm]\overline{n}*\overline{2}=\overline{1}[/mm] in [mm]\IZ /3\IZ[/mm]" ist die Restklasse einer Zahl $n$, die die Eigenschaft hat, dass $2n$ und $1$ bei Division durch $3$ den gleichen Rest haben, oder anders gesagt, dass $2n-1$ durch $3$ teilbar ist. Manchmal kann man eine Loesung durch etwas herum probieren finden (z.B. $n= 2$, denn [mm] $2\cdot [/mm] 2-1= 3$ ist durch $3$ teilbar). Hier ist [mm] $\overline{n}$ [/mm] aber die multplikative Inverse von [mm] $\overline{2}$ [/mm] in [mm] $\IZ_{3}$, [/mm] sodass Du auch den Euklidischen Algorithmus benutzen koenntest.
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aber da könnte ich für n ja beliebig viele Zahlen einsetzen die alle durch 3 teilbar sind!! bei meinem beispiel wäre dann ja:
[mm] \overline{n}*\overline{2}=\overline{1} \IZ/11\IZ
[/mm]
n=5,16, 27....für n möglich!!
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Mi 16.11.2011 | | Autor: | hippias |
Voellig richtig, aber jede moeglich Loesung definiert die selbe Restklasse modulo $3$: Loest man das entsprechende Problem in [mm] $\IZ$ [/mm] so gibt es unendlich viele Loesungen, rechnet man in [mm] $\IZ_{11}$, [/mm] so gibt es hier genau eine Restklasse als Loesung. Bei anderen Fragestellungen koennte es natuerlich auch mehrere Restklassen als Loesung geben.
> aber da könnte ich für n ja beliebig viele Zahlen
> einsetzen die alle durch 3 teilbar sind!! bei meinem
> beispiel wäre dann ja:
>
> [mm]\overline{n}*\overline{2}=\overline{1} \IZ/11\IZ[/mm]
> n=5,16,
> 27....für n möglich!!
>
>
Du musst Dich entscheiden, ob Du in [mm] $\IZ_{3}$ [/mm] oder [mm] $\IZ_{11}$ [/mm] rechnen moechtest: So wie Du es geschrieben hast, ist es falsch.
> Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Mathegirl |
okay, jetzt hab ich es glaub ich verstanden!! :) Vielen dank fürs erklären!
mathegirl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Ich habe es aber noch nicht verstanden : (
Mein Problem ist es jetzt aber erstmal, dass ich mir nciht sicher bin, wie ich richtig rechne. Und zwar:
1) In der Aufgabe a) wird ein n [mm] \in \IZ [/mm] gesucht. Ist damit wirklich gemeint, dass es JEDE Zahl aus [mm] \IZ [/mm] sein kann? Weil ich hab das ganze mit einsetzen versucht, denn 11 Zahlen einsetzen ist schnell gemacht.
2) Bei der c) hab ich dann festgestellt, dass ich ncihtmal weiß, wie man richtig rechnet. Es ist ja [mm]\IZ / 3 \IZ = (\overline{0}, \overline{1}, \overline{2})[/mm]. Wenn ich das ausschreibe für die Gleichung, stünde da:
[mm]\overline{0}*\overline{0}*\overline{0} + \overline{2}*\overline{0}=\overline{0}[/mm]
[mm]\overline{1}*\overline{1}*\overline{1} + \overline{2}*\overline{1}=\overline{0}[/mm]
[mm]\overline{2}*\overline{2}*\overline{} + \overline{2}*\overline{2}=\overline{0}[/mm]
Das heißt ich rechne für die erste: 0*0*0 = 0 und 2*0 = 0, also 0+0 = 0
für die zweite: 1*1*1 = 1 und 2*1 = 2, also 1+2=3=0
für die dritte: 2*2*2=6 und 2*2=4, also 6+4=10=1, nicht 0
Muss ich also 2*2=4 *2 = 8 rechnen? Oo weil damit komm ich auf 0
LG
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Hallo Fincayra,
> Ich habe es aber noch nicht verstanden : (
>
> Mein Problem ist es jetzt aber erstmal, dass ich mir nciht
> sicher bin, wie ich richtig rechne. Und zwar:
> 1) In der Aufgabe a) wird ein n [mm]\in \IZ[/mm] gesucht. Ist
> damit wirklich gemeint, dass es JEDE Zahl aus [mm]\IZ[/mm] sein
> kann?
Ja, aber diese betrachtet man ja modulo 11, also reduziert man am Ende die gefundene Zahl noch mod(11)
> Weil ich hab das ganze mit einsetzen versucht, denn
> 11 Zahlen einsetzen ist schnell gemacht.
Rechnerisch geht das mit dem eulkidischen Algorithmus.
zu lösen ist [mm]2n \ \equiv \ 1 \ \operatorname{mod}(11)[/mm]
Es ist [mm]\operatorname{ggT}(2,11)=1[/mm]:
[mm]11=5\cdot{}2+1[/mm]
[mm]2=2\cdot{}1+0[/mm]
Rückwärtseinsetzen:
[mm]1=1\cdot{}11-5\cdot{}2[/mm]
Also ist [mm]2n \ \equiv \ 1 \ \equiv \ 1\cdot{}11-5\cdot{}2 \ \equiv \ -5\cdot{}2 \ \operatorname{mod}(11)[/mm]
Nun kannst du die 2 kürzen (warum?):
[mm]n \ \equiv \ -5 \ \equiv \ 6 \ \operatorname{mod}(11)[/mm]
Probe: [mm]2\cdot{}6 \ = \ 12 \ \equiv \ 1 \ \operatorname{mod}(11)[/mm]
Passt!
So rechnet man das schematisch ...
> 2) Bei der c) hab ich dann festgestellt, dass ich
> ncihtmal weiß, wie man richtig rechnet. Es ist ja [mm]\IZ / 3 \IZ = (\overline{0}, \overline{1}, \overline{2})[/mm].
> Wenn ich das ausschreibe für die Gleichung, stünde da:
> [mm]\overline{0}*\overline{0}*\overline{0} + \overline{2}*\overline{0}=\overline{0}[/mm]
>
> [mm]\overline{1}*\overline{1}*\overline{1} + \overline{2}*\overline{1}=\overline{0}[/mm]
>
> [mm]\overline{2}*\overline{2}*\overline{} + \overline{2}*\overline{2}=\overline{0}[/mm]
>
> Das heißt ich rechne für die erste: 0*0*0 = 0 und 2*0 =
> 0, also 0+0 = 0
> für die zweite: 1*1*1 = 1 und 2*1 = 2, also 1+2=3=0
> für die dritte: 2*2*2=6 und 2*2=4, also 6+4=10=1, nicht
> 0
> Muss ich also 2*2=4 *2 = 8 rechnen? Oo weil damit komm ich
> auf 0
Schöner schreibt man das mit Kongruenzen.
Eine ganze Zahl kann ja bei Division durch 3 nur die Reste 0,1 oder 2 lassen:
Diese Fälle klapperst du ab:
1) [mm]n \ \equiv \ 0 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
[mm]\Rightarrow n^3+2n=n(n^2+2) \ \equiv \ 0(0^2+2) \ = \ 0 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
2) [mm]n \ \equiv \ 1 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
3) ...
Den Rest machst du ...
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi, danke schonmal für die Antwort.
> Schöner schreibt man das mit Kongruenzen.
Is mir grad erstmal egal, wie es schön ist, ich mag erstmal wissen wie es richtig ist ; )
> Eine ganze Zahl kann ja bei Division durch 3 nur die Reste
> 0,1 oder 2 lassen:
>
> Diese Fälle klapperst du ab:
>
> 1) [mm]n \ \equiv \ 0 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow n^3+2n=n(n^2+2) \ \equiv \ 0(0^2+2) \ = \ 0 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
>
> 2) [mm]n \ \equiv \ 1 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
>
> 3) ...
>
> Den Rest machst du ...
Ehm, ja, erstmal noch zum ganz einfachen rechnen bitte.
Die Gleichung zum Beispiel: [mm]0(0^2+2) \ = \ 0 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich es rechne. Also ob ich erst alles ganz gewohnt ausrechne und mich dann um das mod3 kümmere. Oder ob ich Stück für Stück rechnen muss. Also, rechne ich [mm]0(0^2+2) = 0 [/mm] Oder rechne ich [mm] 0^2 [/mm] = 0, 0+2 = 2, 0*2 = 0.
Das hab ich mich auch bei der b) gefragt. Theoretisch kann man ja [mm]4^{3011} : 17 [/mm] in den Taschenrechner eingeben und hätte das Ergebnis.
Oder auch: Wenn alle Zahlen aus [mm] \IZ [/mm] einsetzbar sind, setz ich eine 5 dann als 5 in die Gleichung ein? Weil eine 5 wäre ja eigentlich eine 2. Steht da also [mm]5^3 + 2*5 = 0[/mm] oder [mm]2^3 + 2*2 = 0 [/mm]
Ich versteh die Rechenregeln glaub ich noch nicht. Mir fehlt quasi die Grundschule, wo man + und - rechnen erstmal lernt.
Und grad ncohmal zur Aufgabe a): Gibt es da nur die eine Lösung? Die 6? Weil wenn ja, dann geht doch einfaches einsetzen der Zahlen 0 bis 11.
Irgendwie bin ich total verwirrt. Diese Restklassenringe wirken so einfach, aber....man rechnet plötzlich ncihtmehr so, wie man das in der Grundschule beibekommen hat. Das scheint in meinem Kopf eine Blockade hervorzurufen : (
LG
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Hallo nochmal,
> Hi, danke schonmal für die Antwort.
>
> > Schöner schreibt man das mit Kongruenzen.
>
> Is mir grad erstmal egal, wie es schön ist, ich mag
> erstmal wissen wie es richtig ist ; )
Dann schreibe das mit den möglichen Resten so:
1) Rest 0: $n=3k$ mit [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
2) Rest 1: $n=3k+1$ mit [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
3) Rest 2: $n=3k+2$ mit [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
Dann rechne in allen Fällen [mm] $n^3+2n$ [/mm] aus und gucke, welchen Rest das bei Division durch 3 lässt.
Welcher Weg ist einfacher (und weniger aufwendig) ?
>
> > Eine ganze Zahl kann ja bei Division durch 3 nur die Reste
> > 0,1 oder 2 lassen:
> >
> > Diese Fälle klapperst du ab:
> >
> > 1) [mm]n \ \equiv \ 0 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow n^3+2n=n(n^2+2) \ \equiv \ 0(0^2+2) \ = \ 0 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
>
> >
> > 2) [mm]n \ \equiv \ 1 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
> >
> > 3) ...
> >
> > Den Rest machst du ...
>
> Ehm, ja, erstmal noch zum ganz einfachen rechnen bitte.
> Die Gleichung zum Beispiel: [mm]0(0^2+2) \ = \ 0 \ \operatorname{mod}(3)[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie ich es rechne. Also ob ich erst alles
> ganz gewohnt ausrechne und mich dann um das mod3 kümmere.
> Oder ob ich Stück für Stück rechnen muss. Also, rechne
> ich [mm]0(0^2+2) = 0[/mm] Oder rechne ich [mm]0^2[/mm] = 0, 0+2 = 2, 0*2 =
> 0.
Das kannst du halten wie ein Dachdecker, ob du erst modulo rechnest oder erst das Ergebnis in [mm] $\IZ$ [/mm] berechnest und dann modulo nimmst.
>
> Das hab ich mich auch bei der b) gefragt. Theoretisch kann
> man ja [mm]4^{3011} : 17[/mm] in den Taschenrechner eingeben und
> hätte das Ergebnis.
Ja, aber bei [mm] $4^{77777777}$ [/mm] bist du außerhalb der Möglichkeiten des TR.
Das musst du rechnen können ...
>
> Oder auch: Wenn alle Zahlen aus [mm]\IZ[/mm] einsetzbar sind, setz
> ich eine 5 dann als 5 in die Gleichung ein? Weil eine 5
> wäre ja eigentlich eine 2. Steht da also [mm]5^3 + 2*5 = 0[/mm]
> oder [mm]2^3 + 2*2 = 0[/mm]
Es ist dasselbe. 5 und 2 sind in derselben Restklasse!
>
> Ich versteh die Rechenregeln glaub ich noch nicht. Mir
> fehlt quasi die Grundschule, wo man + und - rechnen erstmal
> lernt.
Dann hole das schnellstens nach.
>
> Und grad ncohmal zur Aufgabe a): Gibt es da nur die eine
> Lösung? Die 6?
Ja!
> Weil wenn ja, dann geht doch einfaches
> einsetzen der Zahlen 0 bis 11.
Ja, aber was machst du in [mm] $\IZ_{310927}$ [/mm] ??
>
> Irgendwie bin ich total verwirrt. Diese Restklassenringe
> wirken so einfach, aber....man rechnet plötzlich ncihtmehr
> so, wie man das in der Grundschule beibekommen hat. Das
> scheint in meinem Kopf eine Blockade hervorzurufen : (
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Okay, ich glaub jetzt weiß ich, wie es gemeint ist. Danke : )
Mein TR gibt übrigens schon bei der [mm] 4^{3011} [/mm] auf. Ich wollte nur wissen, ob es so richtig ist ; ) Zur a): Da sind aber nur 11 Zahlen und keine 78535775, also kann ich das doch ruhig mit try and error versuchen (hatte unser Prof in der Vorlesung auch bei irgendeiner Aufgabe gemacht ^^). Und wenn einsetzen bei der a) geht, dann geht das doch auch bei der c), weil es doch nur 3 Zahlen sind, die man in die Gleichung einsetzen muss (0, 1 und 2). Ich werd es aber doch mal mit rechnen versuchen. Für's Verständnis ; ) Hab cih bei den blöden Restdingern anscheinend echt nötig : (
Lieben Gruß und mal wieder vielen Dank für die Hilfe : )
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 17.11.2011 | | Autor: | Fincayra |
Huhu nochmal
Sorry, mir ist doch noch was eingefallen.
> > Und grad ncohmal zur Aufgabe a): Gibt es da nur die eine
> > Lösung? Die 6?
>
> Ja!
Ehm, gibt es nur die eine Lösung, oder reicht die eine Lösung? Weil [mm] \IZ [/mm] hat mehr Elemete als die 11. Und es wird ja nach n [mm] \in \IZ [/mm] gefragt. Genau wie bei der c), nur dass es da heißt, "Zeigen Sie: Für JEDE ganze Zahl..." und bei der a) steht bloß "Finden Sie EIN Element...". Und es wird nach n und nciht nach [mm] \overline{n} [/mm] gefragt.
LG
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Hallo Fincayra,
> Huhu nochmal
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> Sorry, mir ist doch noch was eingefallen.
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> > > Und grad ncohmal zur Aufgabe a): Gibt es da nur die eine
> > > Lösung? Die 6?
> >
> > Ja!
>
> Ehm, gibt es nur die eine Lösung, oder reicht die eine
> Lösung? Weil [mm]\IZ[/mm] hat mehr Elemete als die 11. Und es wird
> ja nach n [mm]\in \IZ[/mm] gefragt. Genau wie bei der c), nur dass
> es da heißt, "Zeigen Sie: Für JEDE ganze Zahl..." und bei
> der a) steht bloß "Finden Sie EIN Element...". Und es wird
> nach n und nciht nach [mm]\overline{n}[/mm] gefragt.
>
Die eine Lösung reicht.
> LG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Fr 18.11.2011 | | Autor: | davux |
Die b) lässt sich auch im Taschenrechner machen, behaupte ich jetzt mal. Man muss bloß erstmal scharf überlegen, wie man [mm] $4^{3011}$ [/mm] erstmal zerlegt. Dazu sollte man überlegen, was man als 'Einheit' wählt um die Zahl über 3000 bequem zu kürzen. Im [mm] $\IZ/17\IZ$ [/mm] geht das, ist ja klar, es interessieren ja nur die Rest, sind die einzigen Elemente. Was befindet sich also in der Restklasse [mm] $\bar{1}$, [/mm] was uns hier helfen könnte?
O.K., nur damit es nochmal klar wird. Wir suchen eine Zerlegung von [mm] $4^{3011}$, [/mm] wo der Großteil in der Restklasse [mm] $\bar{1}$ [/mm] von [mm] $\IZ/17\IZ$. [/mm] Also suchen wir uns eine Zahl, die durch 17 geteilt, Rest 1 ergibt, und die Basis 4 hat mit einen Exponten durch den sich der Großteil der Zerlegung teilen lässt. Ja, es fällt mir nicht leicht es in Wort zu fassen. Ich baue es mal trial&error mäßig auf, damit es verständlicher als meine Formulierungen ist.
[mm] $4^1$ [/mm] mod $17$ scheidet aus.
[mm] $4^2$ [/mm] mod $17$ bringt uns auch nicht auf 1.
[mm] $4^3$ [/mm] mod $17$ hat den Rest 13.
[mm] $4^4$ [/mm] mod $17 = 256$ mod $17$
So, wie gebe ich das ein, [mm] $4^4$ [/mm] ist klar, da mein TR kein modulo-Rechnen kann, gehe ich den Umweg und ziehe von 256 so oft ein Vielfaches von 17 ab bis der Rest sichtbar wird, der bei Division dezimal geschrieben wäre. Man stellt fest, [mm] $4^4$ [/mm] befindet sich in der Restklasse [mm] $\bar{1}$ [/mm] von [mm] $\IZ/17\IZ$. [/mm] Und das 752-fache vom Exponenten 4 ist gerade 3008, was für unsere Fälle gerade recht kommt. Also zerlegen wir erstmal den Ausdruck
[mm] $4^{3011} [/mm] = [mm] 4^{3008} \cdot 4^3$
[/mm]
Da [mm] $4^4$ [/mm] in der Restklasse [mm] $\bar{1}$ [/mm] war, liegt auch [mm] $4^{3008}$ [/mm] in der Restklasse [mm] $\bar{1}$ [/mm] von [mm] $\IZ/17\IZ$. [/mm] Bleibt also nur noch
[mm] $4^{3011} [/mm] = 1 [mm] \cdot 4^3$.
[/mm]
Was ist [mm] $4^3$? [/mm] *tipp* $64 - [mm] (3\cdot [/mm] 17) = 13$.
[mm] $4^{3011} [/mm] = 13$ in [mm] $\IZ/17\IZ$.
[/mm]
# Edith richtet noch eine Entschuldigung für den Schreibstil aus.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Sa 19.11.2011 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | d) Zeige, für alle $x, [mm] y\in\IZ$ [/mm] gilt: [mm] $\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}=(\bar{x}+\bar{y})^{2}$ [/mm] in [mm] $\IZ/2\IZ$
[/mm]
e) Zeige, für alle $x, [mm] y\in\IZ$ [/mm] gilt: [mm] $\bar{x}^{3}+\bar{y}^{3}=(\bar{x}+\bar{y})^{3}$ [/mm] in [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] |
Zu diesen Aufgabe hatte ich oben schon einmal angemerkt, dass ich mir vorstellen könnte, es tabellarisch zu lösen. Nun bin ich nach reichlicher Überlegung zu dem Schluß gelangt, dass es doch auch mit weniger Schreibarbeit zu zeigen wäre.
Wenn ich den Ausdruck bei der d) auf der linken Seite ausmultipliziere, dann erhalte ich: [mm] $\bar{x}^2+2\bar{x}\bar{y}+\bar{y}^2$. [/mm] Betrachte ich das nun genauer in [mm] $\IZ/2\IZ$, [/mm] dann wird recht schnell klar, dass die Behauptung gilt. Angenommen wir zählen die Elemente von [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] wie folgt auf, [mm] $\{\bar{0},\bar{1}\}$. [/mm] Uns interessiert nur der Term [mm] $2\bar{x}\bar{y}$, [/mm] wenn dieser in [mm] $\bar{0}$, [/mm] dann gilt offensichtlich die Behauptung.
Fall 1: Setzen wir für einen der Faktoren [mm] $\bar{x}$ [/mm] oder [mm] $\bar{y}$ [/mm] die Restklasse [mm] $\bar{0}$ [/mm] ein, dann wird der gesamte Term [mm] $\bar{0}$ [/mm] und die Behauptung gilt.
Fall 2: Setzen wir für [mm] $\bar{x}$ [/mm] und [mm] $\bar{y}$ [/mm] jeweils [mm] $\bar{1}$ [/mm] ein, dann wird es noch mit Faktor 2 multipliziert, ist somit wieder [mm] $\bar{0}$.
[/mm]
Damit ist gezeigt: [mm] $\bar{x}^{2}+\bar{y}^{2}=(\bar{x}+\bar{y})^{2}$ [/mm] in [mm] $\IZ/2\IZ$.
[/mm]
Anstelle einer Tabelle kann ich es doch auch so ausdrücken? Bei der e) läuft es ziemlich genauso.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich kannst dus auch so machen, aber du setzt ja doch beide restklassen ein, ich seh kaum einen Unterschied. In Z
[mm] \IZ1 [/mm] ist alles so einfach, dass schwer zu entscheiden ist, wo irgendein unterschied lieg.
gruss leduart
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