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Forum "Zahlentheorie" - Restsystem, Eulersche \phi F.
Restsystem, Eulersche \phi F. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Restsystem, Eulersche \phi F.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Mo 17.09.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Wir hatten einen Satz:
Seien m,n [mm] \in \IN, \{r_1,..,r_{\phi(m)}\} [/mm] ein primes Restsystem modulo m, [mm] \{s_1,..,s_{\phi(n)}\} [/mm] ein primes Restsystem modulo n und ggT(m,n)=1. Dann ist [mm] \{n r_i + m s_j | 1 <= i <= \phi(m),1 <= j <= \phi(n)\} [/mm] ein primes Restsystem modulo mn.

[mm] \phi(m) [/mm] ist die Eulersche [mm] \phi-Funktion [/mm]
[mm] \phi(m) [/mm] = Anzahl [mm] \{ k \in \IZ| 0 <=k<=m-1, ggT(k,m)=1\} [/mm]

Hallo,

Wieso folgt aus den Satz dass:
Wenn m,n [mm] \in \IN [/mm] und ggT(m,n)=1, dann gilt [mm] \phi(mn) [/mm] = [mm] \phi(m) \phi(n) [/mm]
Mir ist das leider nicht klar.


Liebe Grüße

        
Bezug
Restsystem, Eulersche \phi F.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:01 Mo 17.09.2012
Autor: hippias


> Wir hatten einen Satz:
>  Seien m,n [mm]\in \IN, \{r_1,..,r_{\phi(m)}\}[/mm] ein primes
> Restsystem modulo m, [mm]\{s_1,..,s_{\phi(n)}\}[/mm] ein primes
> Restsystem modulo n und ggT(m,n)=1. Dann ist [mm]\{n r_i + m s_j | 1 <= i <= \phi(m),1 <= j <= \phi(n)\}[/mm]
> ein primes Restsystem modulo mn.
>  
> [mm]\phi(m)[/mm] ist die Eulersche [mm]\phi-Funktion[/mm]
>  [mm]\phi(m)[/mm] = Anzahl [mm]\{ k \in \IZ| 0 <=k<=m-1, ggT(k,m)=1\}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> Wieso folgt aus den Satz dass:
>  Wenn m,n [mm]\in \IN[/mm] und ggT(m,n)=1, dann gilt [mm]\phi(mn)[/mm] =
> [mm]\phi(m) \phi(n)[/mm]
>  Mir ist das leider nicht klar.
>  
>
> Liebe Grüße

Es genuegt zu zeigen , dass [mm] $\{n r_i + m s_j | 1 <= i <= \phi(m),1 <= j <= \phi(n)\}$ [/mm] genau [mm] $\phi(n)\phi(m)$ [/mm] Elemente hat, denn weil nach obigem Satz ja [mm] $\phi(nm)= |\{n r_i + m s_j | 1 <= i <= \phi(m),1 <= j <= \phi(n)\}|$ [/mm] gilt, waere dann die Behauptung gezeigt. Dazu ueberlege Dir, dass die Zahlen $n [mm] r_i [/mm] + m [mm] s_j$ [/mm] alle verschieden sind, d.h. mache den Ansatz $n [mm] r_i [/mm] + m [mm] s_j= [/mm] n [mm] r_k [/mm] + m [mm] s_l$ [/mm] und schliese [mm] $r_i= r_k$ [/mm] und [mm] $s_j= s_l$. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Restsystem, Eulersche \phi F.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:24 Mi 19.09.2012
Autor: sissile

Der Beweis des Satzes ist schon klar, wo du mir den Ansatz gibst

[mm] \{r_1,..,r_{\phi(m)} \} [/mm] hat [mm] \phi(m) [/mm] Elemente
[mm] \{s_1,..,s_{\phi(n)} \} [/mm] hat [mm] \phi(n) [/mm] Elemente
$ [mm] \{n r_i + m s_j | 1 <= i <= \phi(m),1 <= j <= \phi(n)\} [/mm] $  hat [mm] \phi(m)\phi(n) [/mm] Elemente

Und nach dem Satz, den wir in der Vorlesung bewiesen haben sind das alles prime Restsysteme.
[mm] \{r_1,..,r_{\phi(m)} \} [/mm] mod m
[mm] \{s_1,..,s_{\phi(n)} \} [/mm] mod n
$ [mm] \{n r_i + m s_j | 1 <= i <= \phi(m),1 <= j <= \phi(n)\} [/mm]  mod mn

Wieso folgt aber nun [mm] \phi(m) [/mm] * [mm] \phi(n) [/mm] = [mm] \phi(m*n)? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Restsystem, Eulersche \phi F.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:54 Mi 19.09.2012
Autor: hippias


> Der Beweis des Satzes ist schon klar, wo du mir den Ansatz
> gibst
>  
> [mm]\{r_1,..,r_{\phi(m)} \}[/mm] hat [mm]\phi(m)[/mm] Elemente
>  [mm]\{s_1,..,s_{\phi(n)} \}[/mm] hat [mm]\phi(n)[/mm] Elemente
>  [mm]\{n r_i + m s_j | 1 <= i <= \phi(m),1 <= j <= \phi(n)\}[/mm]  
> hat [mm]\phi(m)\phi(n)[/mm] Elemente
>  
> Und nach dem Satz, den wir in der Vorlesung bewiesen haben
> sind das alles prime Restsysteme.
> [mm]\{r_1,..,r_{\phi(m)} \}[/mm] mod m
>  [mm]\{s_1,..,s_{\phi(n)} \}[/mm] mod n
>  $ [mm]\{n r_i + m s_j | 1 <= i <= \phi(m),1 <= j <= \phi(n)\}[/mm]
>  mod mn
>  
> Wieso folgt aber nun [mm]\phi(m)[/mm] * [mm]\phi(n)[/mm] = [mm]\phi(m*n)?[/mm]  

Wenn der Satz gilt, bildet die Menge $R:= [mm] \{n r_i + m s_j | 1 <= i <= \phi(m),1 <= j <= \phi(n)\}$ [/mm] ein Vertretersystem fuer die primen Restklassen Modulo $nm$. Damit ist nach Definition der  [mm] $\phi$ [/mm] Funktion $|R|= [mm] \phi(nm)$. [/mm] Zaehlst Du die Elemente in $R$ aber direkt aus, so erhaelst Du $|R|= [mm] \phi(n)\phi(m)$. [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Restsystem, Eulersche \phi F.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Mi 19.09.2012
Autor: sissile

Hallo,
Danke jetzt hab ich es verstanden;)
Liebe Grüße,


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