Rezept für Untervektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Fr 06.02.2009 | | Autor: | pawlow |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen der [mm] $\IR²$ [/mm] bilden mit der üblichen Vektoraddition und Skalarmultiplikation einen Untervektorraum des Vektorraums [mm] $\IR²$ [/mm] über dem Körper [mm] $\IR$?
[/mm]
a) [mm] $\{(a,a) | ~a \in \IR\}$
[/mm]
...
f) [mm] $\{(a,a²) | ~a \in \IR\}$
[/mm]
g) [mm] $\{(a,a) | ~a \in \IR, a \ge 0, b \ge 0\}$
[/mm]
h) [mm] $\{(a,a) | ~a \in \IR, ab=0\}$
[/mm]
... |
Hallo und schönen Abend allerseits!
Ich suche nach einem Rezept, wie man schnell und sicher ohne Fallstricke formal aufschreiben kann, ob eine Teilmenge (eines Vektroraums) nun Untervektorraum ist oder nicht.
Meine Mitschriften heißen mich das Suchen nach dem neutralen und inversen Element und die Überprüfung auf Abgeschlossenheit von [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\otimes$. [/mm]
Bei dem neutralen element ist sicherlich [mm] $\oplus$ [/mm] gemeint, beim inversen auch? Genügt da einfach die Angabe (wie bei a, siehe Aufgabe):
$a=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (0,0) [mm] \in [/mm] U$
Und wie gebe ich formal die Abgeschlossenheit von [mm] $\oplus$ [/mm] und [mm] $\otimes$ [/mm] an?
Vielen Dank und viele Grüße
~ pawlow
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Welche der folgenden Teilmengen der [mm]\IR²[/mm] bilden mit der
> üblichen Vektoraddition und Skalarmultiplikation einen
> Untervektorraum des Vektorraums [mm]\IR²[/mm] über dem Körper [mm]\IR[/mm]?
>
> a) [mm]\{(a,a) | ~a \in \IR\}[/mm]
> ...
> f) [mm]\{(a,a²) | ~a \in \IR\}[/mm]
> g) [mm]\{(a,a) | ~a \in \IR, a \ge 0, b \ge 0\}[/mm]
>
> h) [mm]\{(a,a) | ~a \in \IR, ab=0\}[/mm]
> ...
> Hallo und schönen Abend allerseits!
>
> Ich suche nach einem Rezept, wie man schnell und sicher
> ohne Fallstricke formal aufschreiben kann, ob eine
> Teilmenge (eines Vektroraums) nun Untervektorraum ist oder
> nicht.
Hallo,
Du brauchst die Unterraumkriterien, und ich habe den Verdacht, daß Du sie irgendwie mit Untegruppenkriterien o.ä. in den Shaker geworfen hast.
Die Unterraumkriterien:
Willst Du wissen, ob [mm] U\subseteq [/mm] V eine Teilmenge des VRes V über [mm] \IR [/mm] ist, so mußt Du prüfen:
1. Ist [mm] U\not=\emptyset. [/mm] Es ist an dieser Stelle sehr praktisch, nachzuschauen, ob die Null aus V in U liegt. Wenn nicht, ist's kein Vektorraum.
2. Ist für alle [mm] x,y\in [/mm] U auch [mm] x+y\in [/mm] U ? (abgeschl bzgl Addition)
3. Ist für alle [mm] r\in \IR [/mm] und für alle [mm] x\in [/mm] U auch [mm] rx\in [/mm] U ? (abgeschl. bzgl Multiplikation mit Skalaren?)
Ich mache es Dir mal für f) vor.
1. das neutrale Element von [mm] \IR^2 [/mm] ist (0,0). Es ist [mm] (0,0)=(0,0^2), [/mm] also ist [mm] (0,0)\in [/mm] U. Also ist [mm] U\not=\emptyset.
[/mm]
2. Jetzt nehme ich zwei beliebige Elemente aus U und gucke, ob die Summe auch in U liegt.
Seien [mm] (a,a^2) [/mm] und (b, [mm] b^2) \in [/mm] U.
Es ist [mm] ((a,a^2) [/mm] *(b, [mm] b^2)=(a+b, a^2 +b^2).
[/mm]
Wegen [mm] a^2+b^2\not=(a+b)^2 [/mm] ist U nicht abgeschlossen bzgl der Addition, also kein VR.
3. bräuchte man jetzt nicht mehr zu untersuchen, aber Du kannst es übungshalber ja trotzdem mal tun.
Sei [mm] r\in \IR [/mm] und [mm] (a,a^2)\in [/mm] U. Es ist ...
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 06.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Himmel, das ging aber SEHR schnell! Danke!
Das deckt sich doch fast mit dem, was ich mir gedacht habe... Ich versuchs mal:
...
3. Sei $ [mm] r\in \IR [/mm] $ und $ [mm] (a,a^2)\in [/mm] $ U.
Es ist $r [mm] \otimes (a,a^2) [/mm] = (ra, [mm] ra^2)$
[/mm]
Wegen $(ra, [mm] ra^2) \ne [/mm] (ra, [mm] (ra)^2) ~\forall [/mm] r [mm] \in \IR$ [/mm] ist U nicht abgeschlossen bzgl [mm] $\otimes$, [/mm] also kein Untervektorraum des Vektorraums $ [mm] \IR² [/mm] $ über dem Körper $ [mm] \IR [/mm] $.
Hui! Ich fühl mich dennoch nicht sicher, wenn ich so was schreibe!
Liebe Grüße und vielen Dank!
~ pawlow
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> Himmel, das ging aber SEHR schnell! Danke!
Hallo,
das ist der mathematische Notdienst. der ist schneller als die Feuerwehr.
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> Das deckt sich doch fast mit dem, was ich mir gedacht
> habe... Ich versuchs mal:
>
> ...
> 3. Sei [mm]r\in \IR[/mm] und [mm](a,a^2)\in[/mm] U.
> Es ist [mm]r \otimes (a,a^2) = (ra, ra^2)[/mm]
> Wegen [mm](ra, ra^2) \ne (ra, (ra)^2) ~\forall r \in \IR[/mm]
> ist U nicht abgeschlossen bzgl [mm]\otimes[/mm], also kein
> Untervektorraum des Vektorraums [mm]\IR²[/mm] über dem Körper [mm]\IR [/mm].
Ja, so ist das schon sehr nett.
Ich habe in es meiner Vorlage absichtlich nicht getan, weil ich Dir ein Muster an die Hand geben wollte, was auch zum Beweisen und nicht nur zum Widerlegen taugt, aber:
wenn Du feststellst, daß wie hier [mm] ra^2 [/mm] i.a. nicht dasselbe ist wie [mm] (ra)^2, [/mm] ist es besser und richtiger, ein Gegenbeispiel zu bringen, also beispielsweise zu schreiben:
es ist (2,4) [mm] \in [/mm] U, jedoch ist 3*(2.4)=(6, 12) [mm] \not\in [/mm] U, weil [mm] 12\not=6^2.
[/mm]
In meiner Vorlage hätte ich also, nachdem ich auf Schmierpapier festgestellt habe, daß i.d.R. [mm] (a+b)^2 \not=a² +b^2 [/mm] , lieber geschrieben:
nicht abgeschlossen bzgl +, denn es ist (1,1)+(2,4)=(3,5), jedoch ist [mm] 5\not= 3^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Fr 06.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Der mathematische Notdienst! :)
Jetzt fühle ich mich schon besser! Zum einen wegen dieser grandiosen Unterstützung und zum anderen natürlich, weil ich ein kleines bissl schlauer geworden bin. Mit Gegenbeispielen lässt es sich auch einfacher umgehen!
Auf folgende Frage kann ich dieses Schema aber noch nicht anwenden...
Welche der folgenden Teilmengen des Vektorraums [mm] $\IR[x]_n$ [/mm] aller Polynome
vom Grad [mm] $\le [/mm] n$ bilden Untervektorräume von [mm] $\IR[x]_n$?
[/mm]
[mm] $U_1 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ p(0) = 0\}$
[/mm]
Das bedeutet doch, das das Absolutglied immer "0" ist. Und das neutrale Element...
1. von [mm] $\IR[x]_n$ [/mm] ist $0$ und da $ 0=p(0)$, also ist $ 0 [mm] \in [/mm] $ U. Also ist $ U [mm] \ne\emptyset. [/mm] $
Hm, wenn ich das gerade so aufschreibe wird es schon ein bisschen klarer!
Ok, ich probiere mal 2.:
Seien $ [mm] p_1(x) [/mm] = [mm] a_n x_n [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] x,~ [mm] p_2(x) [/mm] = [mm] b_n x_n [/mm] + ... + [mm] b_1 [/mm] x [mm] \in [/mm] U$.
Es ist $ [mm] p_1(x) \oplus p_2(x) [/mm] = [mm] (a_n+b_n)x_n+ [/mm] ... [mm] +(a_1+b_1)x_1 [/mm] = q(x)$
Wegen $q(0) = [mm] (a_n+b_n)*0+ [/mm] ... [mm] +(a_1+b_1)*0 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] q(x) [mm] \in [/mm] U$ ist U abgeschlossen bzgl. [mm] $\oplus$.
[/mm]
Oh... das könnte stimmen, oder? Und weiter...
3. Sei $ p(x) = [mm] a_n x_n [/mm] + ... + [mm] a_1 [/mm] x [mm] \in [/mm] U$ und $r [mm] \in \IR$
[/mm]
Es ist $r [mm] \otimes [/mm] p(x) = r [mm] a_n x_n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + r [mm] a_1 x_1 [/mm] = q(x)$
Wegen $q(0) = r [mm] a_n [/mm] *0 + [mm] \ldots [/mm] + r [mm] a_1 [/mm] *0 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] q(x) [mm] \in [/mm] U$ ist U abgeschlossen bzgl. [mm] $\otimes$.
[/mm]
Also das ist doch jetzt schon was! Ich staune ein wenig über mich selber, hehe! Bei den übrigen fällt es mir nun aber nicht so einfach...
[mm] $U_2 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ p(0) = 1\}$
[/mm]
Hier gibts kein neutrales Element?
Wegen $0$ ist neutrales Element von [mm] $\IR[x]_n$, [/mm] aber $0 [mm] \not\in [/mm] U$ folgt: U ist kein Untervektorraum!
Hm, jetzt wirds schon schlüpfrig!
[mm] $U_3 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ p(1) = 0\}$
[/mm]
$p(1)$ ist neutrales Element, im Prinzip geht das hier wie oben...
Und jetzt wird es spannender. Nicht mehr so langatmig wie bisher :)
[mm] $U_4 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ \integral_{0}^{1}{p(x) dx} = 0\}$
[/mm]
[mm] $U_5 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0) + p''(0) = 0\}$
[/mm]
[mm] $U_6 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0)*p(''0) = 0\}$
[/mm]
Oh mein Gott... da hoffe ich, dass sowas nicht dran kommt!
Liebe Grüße und DANKE, DANKE, DANKE!
PS: Ein Ansatz reicht mir! Hab hier jetzt ewig an dem Latex getippert. Schmierzettel wäre vermutlich wirklich sinnvoll gewesen! :)
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> Der mathematische Notdienst! :)
... ist später am Abend manchmal ganz schön müde.
> Auf folgende Frage kann ich dieses Schema aber noch nicht
> anwenden...
> Welche der folgenden Teilmengen des Vektorraums [mm]\IR[x]_n[/mm]
> aller Polynome
> vom Grad [mm]\le n[/mm] bilden Untervektorräume von [mm]\IR[x]_n[/mm]?
>
> [mm]U_1 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ p(0) = 0\}[/mm]
>
> Das bedeutet doch, das das Absolutglied immer "0" ist. Und
> das neutrale Element...
> 1. von [mm]\IR[x]_n[/mm] ist [mm]0[/mm] und da [mm]0=p(0)[/mm], also ist [mm]0 \in[/mm] U.
> Also ist [mm]U \ne\emptyset.[/mm]
> Hm, wenn ich das gerade so
> aufschreibe wird es schon ein bisschen klarer!
>
> Ok, ich probiere mal 2.:
> Seien [mm]p_1(x) = a_n x_n + ... + a_1 x,~ p_2(x) = b_n x_n + ... + b_1 x \in U[/mm].
>
> Es ist [mm]p_1(x) \oplus p_2(x) = (a_n+b_n)x_n+ ... +(a_1+b_1)x_1 = q(x)[/mm]
>
> Wegen [mm]q(0) = (a_n+b_n)*0+ ... +(a_1+b_1)*0 = 0 \Rightarrow q(x) \in U[/mm]
> ist U abgeschlossen bzgl. [mm]\oplus[/mm].
>
> Oh... das könnte stimmen, oder? Und weiter...
> 3. Sei [mm]p(x) = a_n x_n + ... + a_1 x \in U[/mm] und [mm]r \in \IR[/mm]
>
> Es ist [mm]r \otimes p(x) = r a_n x_n + \ldots + r a_1 x_1 = q(x)[/mm]
>
> Wegen [mm]q(0) = r a_n *0 + \ldots + r a_1 *0 = 0 \Rightarrow q(x) \in U[/mm]
> ist U abgeschlossen bzgl. [mm]\otimes[/mm].
Hallo,
das hast Du komplett richtig gelöst, außer daß hinder den x Hochzahlen angebrachter wären als Exponenten.
>
> Also das ist doch jetzt schon was! Ich staune ein wenig
> über mich selber, hehe! Bei den übrigen fällt es mir nun
> aber nicht so einfach...
>
> [mm]U_2 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ p(0) = 1\}[/mm]
>
> Hier gibts kein neutrales Element?
> Wegen [mm]0[/mm] ist neutrales Element von [mm]\IR[x]_n[/mm], aber [mm]0 \not\in U[/mm]
> folgt: U ist kein Untervektorraum!
Ja, genau so ist es. Da ist man schnelkl fertig.
>
> Hm, jetzt wirds schon schlüpfrig!
>
> [mm]U_3 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ p(1) = 0\}[/mm]
>
> [mm]p(1)[/mm] ist neutrales Element, im Prinzip geht das hier wie
> oben...
Da weiß ich nicht so genau, wie Du das meinst.
Das neutrale Element im Vektorraum der reellen Polynome von Höchstgrad n ist das Polynom n(x):=0 für alle x.
Also ist n(1)=0, womit das neutrale Element in [mm] U_3 [/mm] liegt.
Nun mach weiter. Stelle Dir das doch mal vor: Du addierst Polynome, die an der Stellle 1 de nFunktionswert 0 haben oder multiplizierst mit einer reellen Zahl. Kann da jemals an dieser Stelle etwas von 0 verschiedenes herauskommen?
>
> Und jetzt wird es spannender. Nicht mehr so langatmig wie
> bisher :)
>
> [mm]U_4 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ \integral_{0}^{1}{p(x) dx} = 0\}[/mm]
Überlege, ob das Integral des Nullpolynoms 0 ergibt.
Für die Abgeschlossenheit bzgl +:
Seinen p,q [mm] \in U_4. [/mm] Dann ist [mm] \integral_{0}^{1}{p(x) dx} [/mm] = 0 und [mm] \integral_{0}^{1}{q(x) dx} [/mm] = 0.
Um herauszufinden, ob p+q in [mm] U_4 [/mm] ist, mußt Du prüfen, ob [mm] \integral_{0}^{1}{(p(x)+q(x)) dx} [/mm] = 0 ist. Dabei helfen Dir Deine Kenntnisse übers Rechnen mit Integralen. Du brauchst nicht zu integrieren, sondern lediglich Eigenschaften des Integrals zu verwenden.
Für die Multiplikation mit Skalaren genauso.
>
> [mm]U_5 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0) + p''(0) = 0\}[/mm]
Ist n(x)=0 drin?
Dann: seinen [mm] p,q\in U_5, [/mm] dh. es ist p'(0) + p''(0) = 0 und q'(0) + q''(0) = 0.
Nun mußt Du, um zu entscheiden, ob p+q in [mm] U_5 [/mm] liegt, ausrechnen, was (p+q)'(0)+(p+q)''(0) ergibt.
Mult. analog.
> [mm]U_6 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0)*p''(0) = 0\}[/mm]
Hier überlege nun selbst, was zu tun ist.
Gruß v. Angela
>
> Oh mein Gott... da hoffe ich, dass sowas nicht dran kommt!
Die Unterraumkriterien hinschreiben kann man immer, und auch die Übertraung aufs konkrete Beispiel versuchen. Selbst wenn man dann an einer Klippe scheitert, gibt's doch meist noch ein Pünktchen.
Gruß v. Angela
> PS: Ein Ansatz reicht mir! Hab hier jetzt ewig an dem Latex
> getippert. Schmierzettel wäre vermutlich wirklich sinnvoll
> gewesen! :)
Ober nicht für den, der's angucken soll!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Sa 07.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Hallo!
> > Der mathematische Notdienst! :)
>
> ... ist später am Abend manchmal ganz schön müde.
Ja und deswegen bin ich doppelt dankbar! Und bringe es jetzt zu Ende!
> das hast Du komplett richtig gelöst, außer daß hinder den x
> Hochzahlen angebrachter wären als Exponenten.
verflixt, ja! :|
Ok, los gehts...
$ [mm] U_4 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ \integral_{0}^{1}{p(x) dx} = 0\} [/mm] $
Nun, hier hab ich lange gerätselt und hingeschrieben, dabei ist es letztlich ganz einfach. Das [mm] $\integral_{0}^{1}{p(x) dx}$ [/mm] kann nur $0$ werden, wenn $p(x) = 0$. Oder gehe ich da falsch in meiner Annahme? Meine (ganz persönliche) Klippe hier war die Stammfunktion von $p(x)=0$. Die ist laut meiner Bücher $P(x)=C$ und [mm] $C\in\IR$ [/mm] und somit hat das Integral eine Fläche. ABER, und das hab ich so gar nicht beachtet, selbst wenn $C [mm] \ne [/mm] 0$ ziehen sich die beiden Flächen nach dem Hauptsatz der Integralrechnung voneinander ab.
Also ist [mm] $U_4 [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] und somit ein Untervektorraum. weiter ausführen muss man das nicht, oder?
$ [mm] U_5 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0) + p''(0) = 0\} [/mm] $
[mm] $U_5$ [/mm] enthält alle Polynome der Form $p(x) = [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_3x^3 [/mm] + [mm] a_0$. [/mm]
1. $0 [mm] \in U_5$
[/mm]
2. Sei $p(x) = [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_3x^3 [/mm] + [mm] a_0, [/mm] ~q(x) = [mm] b_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_3x^3 [/mm] + [mm] b_0 \in U_5$
[/mm]
Es ist $p(x) [mm] \oplus [/mm] q(x) = [mm] (a_n+b_n)x^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] (a_n+b_3x)^3 [/mm] + [mm] (a_0+b_0) [/mm] = r(x)$
$r(x) [mm] \in U_5$, [/mm] da es ebenfalls der Form [mm] $a_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_3x^3 [/mm] + [mm] a_0$ [/mm] genügt. Oder anders gesagt, es ebenfalls keine Glieder mit [mm] $n\in\{1,2\}$ [/mm] enthält. (kann man das so sagen?)
3. Sei [mm] $r\in\IR$ [/mm] und $p(x) = [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_3x^3 [/mm] + [mm] a_0 \in U_5$
[/mm]
Es ist $r [mm] \otimes [/mm] p(x) = [mm] ra_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] ra_3x^3 [/mm] + [mm] ra_0 [/mm] = q(x)$
$q(x) [mm] \in U_5$, [/mm] da es ebenfalls keine Glieder mit $n [mm] \in \{1,2\}$ [/mm] enthält.
Und das Beste am Schluß:
[mm] $U_6 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0)\cdot{}p''(0) = 0\} [/mm] $
Anders formuliert: $p(x) [mm] \in U_6 \gdw [/mm] p'(0) = 0 [mm] \vee [/mm] p''(0) = 0$
[mm] $U_6$ [/mm] ist nicht abgeschlossen bezüglich [mm] $\oplus$:
[/mm]
$p(x) = [mm] x^2, [/mm] ~q(x) = x [mm] \in U_6$
[/mm]
$p(x) [mm] \oplus [/mm] q(x) = [mm] x^2 [/mm] + x = r(x)$
$r(x) [mm] \not\in U_6$ [/mm] da $r'(x) = 2x +1, r''(x) = 2 [mm] \Rightarrow [/mm] r'(0)*r''(0) = 2$
Die anderen Kriterien sind erfüllt, aber das spielt ja weiter keine Rolle.
[mm] $\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx$
[/mm]
Liebe Angela, danke nochmals für deine tolle Hilfe!
Viele Grüße und ein schönes Wochenende
~ Achim
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> Ok, los gehts...
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> [mm]U_4 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ \integral_{0}^{1}{p(x) dx} = 0\}[/mm]
>
> Nun, hier hab ich lange gerätselt und hingeschrieben, dabei
> ist es letztlich ganz einfach. Das [mm]\integral_{0}^{1}{p(x) dx}[/mm]
> kann nur [mm]0[/mm] werden, wenn [mm]p(x) = 0[/mm]. Oder gehe ich da falsch
> in meiner Annahme?
Hallo,
das ist richtig.
> Meine (ganz persönliche) Klippe hier war
> die Stammfunktion von [mm]p(x)=0[/mm]. Die ist laut meiner Bücher
> [mm]P(x)=C[/mm] und [mm]C\in\IR[/mm] und somit hat das Integral eine Fläche.
> ABER, und das hab ich so gar nicht beachtet, selbst wenn [mm]C \ne 0[/mm]
> ziehen sich die beiden Flächen nach dem Hauptsatz der
> Integralrechnung voneinander ab.
> Also ist [mm]U_4 = \{0\}[/mm] und somit ein Untervektorraum. weiter
> ausführen muss man das nicht, oder?
Nun, das ist etwas knapp, die beiden anderen der Kriterien mußt Du auch noch zeigen.
Zum Widerlegen reicht es, wenn ein Punkt nicht erfüllt ist, zum Beweisen mußt Du alles zeigen.
>
>
> [mm]U_5 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0) + p''(0) = 0\}[/mm]
> [mm]U_5[/mm]
> enthält alle Polynome der Form [mm]p(x) = a_nx^n + \ldots + a_3x^3 + a_0[/mm].
Nur, die, die die geforderte Eigenschaft haben.
>
> 1. [mm]0 \in U_5[/mm]
> 2. Sei [mm]p(x) = a_nx^n + \ldots + a_3x^3 + a_0, ~q(x) = b_nx^n + \ldots + b_3x^3 + b_0 \in U_5[/mm]
> Es ist [mm]p(x) \oplus q(x) = (a_n+b_n)x^n + \ldots + (a_n+b_3x)^3 + (a_0+b_0) = r(x)[/mm]
>
> [mm]r(x) \in U_5[/mm], da es ebenfalls der Form [mm]a_nx^n + \ldots + a_3x^3 + a_0[/mm]
> genügt. Oder anders gesagt, es ebenfalls keine Glieder mit
> [mm]n\in\{1,2\}[/mm] enthält. (kann man das so sagen?)
Du mußt das vorrechnen. Entweder, indem Du die Ableitungen berechnest, oder Eigenschaften der Ableitung verwendest, z.B. (f+g)'=f'+g'.
> 3. Sei [mm]r\in\IR[/mm] und [mm]p(x) = a_nx^n + \ldots + a_3x^3 + a_0 \in U_5[/mm]
s.o.
>
> Es ist [mm]r \otimes p(x) = ra_nx^n + \ldots + ra_3x^3 + ra_0 = q(x)[/mm]
>
> [mm]q(x) \in U_5[/mm], da es ebenfalls keine Glieder mit [mm]n \in \{1,2\}[/mm]
> enthält.
>
> Und das Beste am Schluß:
> [mm]U_6 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0)\cdot{}p''(0) = 0\}[/mm]
>
> Anders formuliert: [mm]p(x) \in U_6 \gdw p'(0) = 0 \vee p''(0) = 0[/mm]
>
> [mm]U_6[/mm] ist nicht abgeschlossen bezüglich [mm]\oplus[/mm]:
> [mm]p(x) = x^2, ~q(x) = x \in U_6[/mm]
> [mm]p(x) \oplus q(x) = x^2 + x = r(x)[/mm]
>
> [mm]r(x) \not\in U_6[/mm] da [mm]r'(x) = 2x +1, r''(x) = 2 \Rightarrow r'(0)*r''(0) = 2[/mm]
Das leuchtet mir ein.
>
> Die anderen Kriterien sind erfüllt, aber das spielt ja
> weiter keine Rolle.
Genau.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx\approx[/mm]
>
> Liebe Angela, danke nochmals für deine tolle Hilfe!
>
> Viele Grüße und ein schönes Wochenende
> ~ Achim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 07.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Hallo!
Hm, also immer noch nicht verstanden! ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Oder nur teilweise...
> Nun, das ist etwas knapp, die beiden anderen der Kriterien
> mußt Du auch noch zeigen.
Ok!
$ [mm] U_4 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ \integral_{0}^{1}{p(x) dx} = 0\} [/mm] $
1. $0 [mm] \in U_4$
[/mm]
2. Sei $p(x), q(x) [mm] \in U_4$
[/mm]
Es ist $ p(x) [mm] \oplus [/mm] q(x) = [mm] (a_n+b_n)x^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] (a_n+b_3x)^3 [/mm] + [mm] (a_0+b_0) [/mm] = r(x) $
Wegen [mm] $\integral_{0}^{1}{r(x) dx} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] $
... keine Ahnung, schaue da jetzt 10min drauf und werde nicht schlauer. Prüfung durchgefallen, wenn ich mich da echt so lang mit aufhalte. 3. fange ich jetzt gar nicht erst an.
> > [mm]U_5 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0) + p''(0) = 0\}[/mm]
> > [mm]U_5[/mm]
> > enthält alle Polynome der Form [mm]p(x) = a_nx^n + \ldots + a_3x^3 + a_0[/mm].
>
> Nur, die, die die geforderte Eigenschaft haben.
Ja, aber das sind doch GENAU diese, da die Glieder für [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $x^1$ [/mm] fehlen, oder nicht? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
$ [mm] U_5 [/mm] = [mm] \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0) + p''(0) = 0\} [/mm] $
> > 1. [mm]0 \in U_5[/mm]
> > 2. Sei [mm]p(x) = a_nx^n + \ldots + a_3x^3 + a_0, ~q(x) = b_nx^n + \ldots + b_3x^3 + b_0 \in U_5[/mm]
>
> > Es ist [mm]p(x) \oplus q(x) = (a_n+b_n)x^n + \ldots + (a_n+b_3x)^3 + (a_0+b_0) = r(x)[/mm]
>
> >
> > [mm]r(x) \in U_5[/mm], da es ebenfalls der Form [mm]a_nx^n + \ldots + a_3x^3 + a_0[/mm]
> > genügt. Oder anders gesagt, es ebenfalls keine Glieder mit
> > [mm]n\in\{1,2\}[/mm] enthält. (kann man das so sagen?)
> Du mußt das vorrechnen. Entweder, indem Du die Ableitungen berechnest, oder Eigenschaften der Ableitung verwendest, z.B. (f+g)'=f'+g'.
2. Sei $ p(x) = [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_3x^3 [/mm] + [mm] a_0, [/mm] ~q(x) = [mm] b_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_3x^3 [/mm] + [mm] b_0 \in U_5 [/mm] $
Es ist $ p(x) [mm] \oplus [/mm] q(x) = [mm] (a_n+b_n)x^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] (a_n+b_3x)^3 [/mm] + [mm] (a_0+b_0) [/mm] = r(x) $
Wegen $r'(x) = [mm] n*(a_n+b_n)x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] 3*(a_n+b_3)x^2 \wedge [/mm] r''(x) = [mm] (n-1)*n*(a_n+b_n)x^{n-2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] 3*2*(a_n+b_3)x \Rightarrow [/mm] r'(0) + r''(0) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] r(x) [mm] \in U_5$
[/mm]
3. Sei $ [mm] r\in\IR [/mm] $ und $ p(x) = [mm] a_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_3x^3 [/mm] + [mm] a_0 \in U_5 [/mm] $
Es ist $ r [mm] \otimes [/mm] p(x) = [mm] ra_nx^n [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] ra_3x^3 [/mm] + [mm] ra_0 [/mm] = q(x) $
Wegen $r'(x) = [mm] n*r*a_nx^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] 3*r*a_nx^2 \wedge [/mm] r''(x) = [mm] (n-1)*n*r*a_nx^{n-2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + 2*3*r*a_nx [mm] \Rightarrow [/mm] r'(0) + r''(0) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] r(x) [mm] \in U_5$
[/mm]
So, und jetzt fühl ich mich mal wieder so richtig blöd, wie es eben nur Mathematik schafft. Wenn das hier durch ist verbrenne ich feierlich alle meine Mathesachen! Ganz langsam! Oder doch lieber ganz schnell???
Víele Grüße und einen schönen Abend noch!
~ pawlow
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> > Nun, das ist etwas knapp, die beiden anderen der Kriterien
> > mußt Du auch noch zeigen.
>
> Ok!
>
> [mm]U_4 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ \integral_{0}^{1}{p(x) dx} = 0\}[/mm]
> 1. [mm]0 \in U_4[/mm]
Hallo,
Du wirst Dich gleich über Dich selbst ärgern, wenn ich's Dir vormache:
> 2. Sei [mm]p(x), q(x) \in U_4[/mm]
Also ist [mm] \integral_{0}^{1}{p(x) dx} [/mm] = 0 und [mm] \integral_{0}^{1}{q(x) dx} [/mm] = 0.
Nun muß man das Integral von p(x)+q(x) ausrechnen:
[mm] \integral_{0}^{1}{p(x)+q(x)) dx}= \integral_{0}^{1}{p(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{q(x) dx} [/mm] = ???
Punkt 3. sehr ähnlich.
> Es ist [mm]p(x) \oplus q(x) = (a_n+b_n)x^n + \ldots + (a_n+b_3x)^3 + (a_0+b_0) = r(x)[/mm]
> Wegen [mm]\integral_{0}^{1}{r(x) dx} = 0 \gdw[/mm]
> ... keine
> Ahnung, schaue da jetzt 10min drauf und werde nicht
> schlauer. Prüfung durchgefallen, wenn ich mich da echt so
> lang mit aufhalte. 3. fange ich jetzt gar nicht erst an.
>
>
> > > [mm]U_5 = \{p \in \IR[x]_n ~|~ p'(0) + p''(0) = 0\}[/mm]
> > >
> [mm]U_5[/mm]
> > > enthält alle Polynome der Form [mm]p(x) = a_nx^n + \ldots + a_3x^3 + a_0[/mm].
> >
> > Nur, die, die die geforderte Eigenschaft haben.
>
> Ja, aber das sind doch GENAU diese, da die Glieder für [mm]x^2[/mm]
> und [mm]x^1[/mm] fehlen, oder nicht?
Schauen wir erstmal an einem konkreten Beispiel nach:
Sei p ein Polynom 4.Grades, [mm] p(x):=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0, [/mm] von welchen wir jetzt herausfinden wollen, unter welchen Bedingungen es in [mm] U_5 [/mm] liegt:
Es ist p'(x)= [mm] =4a_4x^3+3a_3x^2+2a_2x+a_1
[/mm]
und p''(x)= [mm] =12a_4x^2+6a_3x+2a_2.
[/mm]
[mm] p'(0)=a_1, p''(0)=2a_2.
[/mm]
Damit p [mm] \in U_5, [/mm] muß gelten [mm] 0=p'(0)*p''(0)=a_1+2a_2.
[/mm]
Es muß also ein bestimmer Zusammenhang zwischen [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] gegeben sein. Keinesfalls müssen die zwangsläufig =0 sein.
Entweder rechnest Du jetzt mit diesen spezielle nPolynomen, was aber eigentlich gar nciht erforderlich ist, wenn man die Ableitungsregeln kennt.
zu 2. seinen [mm] p,q\in U_5, [/mm] dh. p'(0) + p''(0) = 0 und q'(0) + q''(0) = 0.
Um zu testen, ob p+q auch in [mm] U_5 [/mm] ist, rechnet man nun aus, was (p+q)'(x)+(p+q)''(x) ergibt.
(p+q)'(x)+(p+q)''(x) =p'(x)+q'(x) + p''(x)+q''(x)= ???
Mult. entsprechend.
> So, und jetzt fühl ich mich mal wieder so richtig blöd, wie
> es eben nur Mathematik schafft. Wenn das hier durch ist
> verbrenne ich feierlich alle meine Mathesachen! Ganz
> langsam! Oder doch lieber ganz schnell???
Ich denke, daß muß man vom persönlichen Temperament abhängig machen. Verbrenn die sachen auch nur, wenn Du ganz sicher bist, sie nie wieder zu benötigen.
Gelegentlich hat's ja doch einen Grund, wenn man im Nebenfach Mahe betreiben muß - daß das oft eine Qual ist, ist mir klar.
Gruß v. Angela
>
> Víele Grüße und einen schönen Abend noch!
> ~ pawlow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 So 08.02.2009 | | Autor: | pawlow |
Hallo!
> Du wirst Dich gleich über Dich selbst ärgern, wenn ich's Dir vormache:
Ja, verflucht, jetzt ärgere ich mich doppelt. Dass ich nicht drauf komme und ewig davor sitze und zudem, dass es dann so "einfach" ist.
Ich habs mir ausgedruckt und behalte es bis zur Verbrennung als Spicker für Unterraumbeweise bei meinen Unterlagen ;)
Vielen Dank und liebe Grüße
~ pawlow
PS: Viel Spaß bei Kaffee und Kuchen! Ich werde auch bisweilen wegen des Laptops auf dem Esstisch angezählt!
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