Riccati DGL Beweis < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Sa 17.12.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Guten Abend Mathematiker,
Ich verstehe leider nicht wieso der folgende Beweis aus meinem Skript beweist, dass die Kostenfunktion J durch den Eingang u(t) = [mm] -R^{-1}(t)*B^{T}*P(t)*x(t) [/mm] minimiert wird.
Es gilt x'(t) = A*x(t) + [mm] B*u(t),x(t_{0}) [/mm] = [mm] x_{0}
[/mm]
Gegeben ist die Kostenfunktion J in Abhängigkeit vom Statevector x(t) und andrerseits vom Input u(t), welche minimiert werden soll.
J := [mm] x^{T}(t_{1})*P_{t_{1}}*x(t_{1}) [/mm] + [mm] \integral_{t_{0}}^{t_{1}}{[x^{T}(t)*Q(t)*x(t) + u^{T}(t)*R(t)*u(t)]dt}
[/mm]
Q(t) gewichtet die Kosten für x(t), R(t) gewichtet die Kosten für u(t)
und P(t) erfüllt die Matrix-Riccati-Differentialgleichung
P'(t) = [mm] -A^{T}*P(t) [/mm] - P(t)*A + [mm] P(t)*B*R(t)^{-1}*B^{T}*P(t) [/mm] - Q(t), mit [mm] P(t_{1}) [/mm] = [mm] P_{t_{1}}
[/mm]
Beweis:
1.) "Addiere Null"
J := [mm] x^{T}(t_{1})*P_{t_{1}}*x(t_{1}) [/mm] + [mm] \integral_{t_{0}}^{t_{1}}{[x^{T}(t)*Q(t)*x(t) + u^{T}(t)*R(t)*u(t)]dt} [/mm] - [mm] \integral_{t_{0}}^{t_{1}}{x^{T}(t)*[P'(t) + A^{T}*P(t) + P(t)*A - P(t)*B*R^{-1}(t)*B^{T}*P(t) + Q(t)]x(t)dt}
[/mm]
2.) Aumultiplizieren und erneute Addition von Null ergibt
J = [mm] x^{T}(t_{1})*P_{t_{1}}*x(t_{1}) [/mm] - [mm] \integral_{t_{0}}^{t_{1}}{[Ax(t) + Bu(t)]^{T}*P(t)*x(t) + x^{T}(t)*P'(t)*x(t) + x^{T}(t)*P(t)*[Ax(t) + Bu(t)]dt}
[/mm]
+ [mm] \integral_{t_{0}}^{t_{1}}{u^{T}(t)*R(t)*u(t) + u^{T}*B^{T}*P(t)*x(t) + x^{T}(t)*P(t)*B*u(t) + x^{T}(t)*P(t)*B*R^{-1}(t)*B^{T}*P(t)*x(t) dt}
[/mm]
Das erste Integral enthält das totale Differential von [mm] x^{T}(t)*P(t)*x(t) [/mm] und kann analytisch integriert werden.
3.) Es folgt
J = [mm] x^{T}_{0}*P(t_{0})*x_{0} [/mm] + [mm] \integral_{t_{0}}^{t_{1}}{[u(t) + R^{-1}(t)*B^{T}*P(t)*x(t)]^{T}*R(t)*[u(t) + R^{-1}*B^{T}*P(t)*x(t)]dt}
[/mm]
wenn also u(t) = - [mm] R^{-1}*B^{T}*P(t)*x(t) [/mm] wird der Integrand Null.
Was ich nun nicht verstehe ist, wer sagt, dass [mm] x^{T}_{0}*P(t_{0})*x_{0} [/mm] nicht noch minimiert werden kann durch ein anderes P(t) sodass [mm] P(t_{0}) [/mm] noch kleiner wird... Mit ist das nicht so klar.
Und dann noch eine Frage: Wie kommt man als Mathematiker überhaupt auf die Idee, dass dieses P(t) in einer DGL zu suchen ist? Wie ist man darauf gekommen?
Danke.
Beste Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Sa 24.12.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Weil noch keiner geantwortet hat, versuche ich es mal mit einer eventuell unbefriedigenden Antwort.
Die Aussage ist ja äquivalent dazu, dass das Integral für alle anderen Eingaben von $u(t)$ positiv ist und somit stets $J$ für diese Eingabe größer als $J$ mit der Eingabe [mm] $-R^{-1}B^TP(t)x(t)$ [/mm] ist. Dazu müsste man aber noch wissen, wie die Matrizen so aussehen. Sind da nur positive Funktionen zulässig usw...?
Also: [mm] $\int_{t_0}^{t_1}[u(t)...x(t)]dt\geq [/mm] 0$ (in abgekürzter Schreibweise ;). Dann ist klar, dass der Wert $J$ minimal ist, wenn dieses Integral verschwindet.
Du kannst leider kein anders $P(t)$ verwenden, da $P(t)$ eine DGL (mit gewissen Voraussetzungen) erfüllt, und es einen Startwert [mm] $P(t_0)$ [/mm] dafür gibt. Ein Satz aus der Mathematik (Picard-Lindelöf) besagt, dass somit $P$ eindeutig festgelegt ist.
Zur zweiten Frage: Formeln aus der Wirtschaft werden oft mit Approximation hergeleitet. Ein Bsp:
Du hast zum Zeitpunkt $i$ das Geld $x(i)$ auf dem Konto (und änderst aktiv nix daran)
Nun gilt mit Zinssatz $p$ folgende Gleichung (in der Mathematik heißt das Differenzengleichung).
$x(i+1)=(1+p)x(i)$, also $x(i+1)-x(i)=px(i)$.
Nun kann ja eine Verzinsung theoretisch jährlich, monatlich, wöchentlich, täglich, stündlich, minütlich, sekündlich, ... stattfinden, also die Verzinsungszeitpunkte haben immer geringeren Abstand. Hierbei macht man einen Fehler, der hier vernachlässigt werden soll. Man ersetzt also die diskrete Variable $i$ durch eine kontinuierliche.
Dann ist $x(i+1)-x(i)$ die infinitesimale Veränderung des Kontostandes zum Zeitpunkt $i$, also in etwa $x'(i)$.
Und schon hat man eine Differentialgleichung $x'=px$, aus der man ablesen kann, dass bei einem Konto das Geld exponentiell zunimmt.
Vielleicht sagt dir nomineller und effektiver Jahreszins etwas. Wegen Zinseszins ist klar, dass eine einmalige Verzinsung mit Zinssatz $p$ schlechter ist, als eine zweimalige Verzinsung mit Zinssatz $p/2$. Wenn man 100 mal mit $p/100$ verzinst, kommt am Ende immer mehr Geld raus... Das Geld am Ende lässt sich aber nicht durch kleinere Verzinsungszeiträume beliebig steigern, denn bei n Verzinsungen mit Zinssatz $p/n$ gilt
[mm] $x(ende)=x(anfang)(1+\frac{p}{n})^n \rightarrow x\cdot e^p$.
[/mm]
Sorry für das Abdriften am Ende... bin nur grad in Schreiblaune gewesen ;)
Grüße, Harris
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