Riccati Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | zu lösen ist folgende Riccati DGL
[mm] \frac{dV(t)}{dt} [/mm] = [mm] \frac{2}{T-t}V(t)-V(t)^2, [/mm] V(0)=v. |
Ich habe mit dem Transformationssatz gearbeitet : http://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung
[mm] g(t)=\frac{2}{T-t} [/mm] und f(t)=-1
ergibt [mm] z''(t)-\frac{2}{T-t}z'(t) [/mm] = 0
Setze: z'=p
[mm] p'=\frac{2}{T-t}p
[/mm]
-> p= [mm] \frac{C}{(T-t)^2} [/mm] = z'
[mm] z=-\frac{C}{(T-t)}+D
[/mm]
V(t) = - [mm] \frac{z'}{f*z} [/mm] = [mm] \frac{\frac{C}{(T-t)^2}}{-\frac{C}{(T-t)}+D} =\frac{1}{(T-t)(\frac{D}{C}(T-t)-1)}
[/mm]
mit V(0)=v
ergibt sich [mm] \frac{D}{C}= \frac{1}{T} (1+\frac{1}{vT})
[/mm]
wenn ich das jetzt einsetze und auflöse, erhalte ich:
V(t) = [mm] \frac{1}{(T-t)[(\frac{1}{vT^2}+\frac{1}{T})(T-t)-1]}=
[/mm]
...= [mm] \frac{v}{1+t(-v-\frac{1}{T})} *\frac{T}{(T-t)}
[/mm]
und hier müsste vor dem v ein + stehen aber wo ist mein Fehler? Finde ihn einfach nicht :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mi 08.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> zu lösen ist folgende Riccati DGL
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> [mm]\frac{dV(t)}{dt}[/mm] = [mm]\frac{2}{T-t}V(t)-V(t)^2,[/mm] V(0)=v.
>
> Ich habe mit dem Transformationssatz gearbeitet :
> http://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung
>
> [mm]g(t)=\frac{2}{T-t}[/mm] und f(t)=-1
>
> ergibt [mm]z''(t)-\frac{2}{T-t}z'(t)[/mm] = 0
>
> Setze: z'=p
>
> [mm]p'=\frac{2}{T-t}p[/mm]
>
> -> p= [mm]\frac{e^C}{(T-t)^2}[/mm]
Das stimmt nicht. Die allgemeine Lösung der homogenen lin. Dgl. [mm]p'=\frac{2}{T-t}p[/mm] ist
[mm] p(t)=c(t-T)^2
[/mm]
Edit: was ich da geschrieben habe ist Quatsch. Die allg. Lösung lautet:
[mm] p(t)=\frac{c}{(T-t)^2}
[/mm]
FRED
> = z'
> [mm]z=-\frac{e^C}{(T-t)}+D[/mm]
>
> V(t) = - [mm]\frac{z'}{f*z}[/mm] =
> [mm]\frac{\frac{C}{(T-t)^2}}{-\frac{C}{(T-t)}+D} =\frac{1}{(T-t)(\frac{D}{C}(T-t)-1)}[/mm]
>
> mit V(0)=v
>
> ergibt sich [mm]\frac{D}{C}= \frac{1}{T} (1+\frac{1}{vT})[/mm]
>
> wenn ich das jetzt einsetze und auflöse, erhalte ich:
>
> V(t) =
> [mm]\frac{1}{(T-t)[(\frac{1}{vT^2}+\frac{1}{T})(T-t)-1]}=[/mm]
>
> ...= [mm]\frac{v}{1+t(-v-\frac{1}{T})} *\frac{T}{(T-t)}[/mm]
>
> und hier müsste vor dem v ein + stehen aber wo ist mein
> Fehler? Finde ihn einfach nicht :(
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Für $ [mm] p(t)=c(t-T)^2 [/mm] $
erhalte ich aber p'(t) = 2c(t-T)
und [mm] \frac{2}{T-t} c(t-T)^2 [/mm] = - 2c(t-T)
das stimmt ja nicht überein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mi 08.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Für [mm]p(t)=c(t-T)^2[/mm]
>
> erhalte ich aber p'(t) = 2c(t-T)
>
> und [mm]\frac{2}{T-t} c(t-T)^2[/mm] = - 2c(t-T)
>
> das stimmt ja nicht überein?
Pardon ! In meiner ersten Antwort habe ich Mist gebaut !
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Mi 08.08.2012 | | Autor: | torstentw |
ok das ist schlecht :)
hatte nämlich auch p = [mm] \frac{C}{(T-t)^2}
[/mm]
und dann ergibt sich das ab V(t).. hatte das mit der e-funktion falsch abgetippt und nicht mitgedacht sorry.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mi 08.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> zu lösen ist folgende Riccati DGL
>
> [mm]\frac{dV(t)}{dt}[/mm] = [mm]\frac{2}{T-t}V(t)-V(t)^2,[/mm] V(0)=v.
>
>
> Ich habe mit dem Transformationssatz gearbeitet :
> http://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung
>
> [mm]g(t)=\frac{2}{T-t}[/mm] und f(t)=-1
>
> ergibt [mm]z''(t)-\frac{2}{T-t}z'(t)[/mm] = 0
>
> Setze: z'=p
>
> [mm]p'=\frac{2}{T-t}p[/mm]
>
> -> p= [mm]\frac{C}{(T-t)^2}[/mm] = z'
> [mm]z=-\frac{C}{(T-t)}+D[/mm]
>
> V(t) = - [mm]\frac{z'}{f*z}[/mm] =
> [mm]\frac{\frac{C}{(T-t)^2}}{-\frac{C}{(T-t)}+D} =\frac{1}{(T-t)(\frac{D}{C}(T-t)-1)}[/mm]
>
> mit V(0)=v
>
> ergibt sich [mm]\frac{D}{C}= \frac{1}{T} (1+\frac{1}{vT})[/mm]
>
> wenn ich das jetzt einsetze und auflöse, erhalte ich:
>
> V(t) =
> [mm]\frac{1}{(T-t)[(\frac{1}{vT^2}+\frac{1}{T})(T-t)-1]}=[/mm]
>
> ...= [mm]\frac{v}{1+t(-v-\frac{1}{T})} *\frac{T}{(T-t)}[/mm]
Das letzte "=" ist mir schleierhaft.
FRED
>
> und hier müsste vor dem v ein + stehen aber wo ist mein
> Fehler? Finde ihn einfach nicht :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mi 08.08.2012 | | Autor: | torstentw |
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Hallo torstentw,
> oder?
Dein V(t) löst die gegeben DGLnicht.
Der Fehler ist schon vorher passiert.
Es ist
[mm]p= \frac{C}{(T-t)^2} = z'[/mm]
Dann ergibt sich z zu:
[mm]z=\blue{+}\frac{C}{(T-t)}+D[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Loddar |
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Auch hier dasselbe egoistische Verhalten: brav Antwort abgreifen, anschließend Fragen unkenntlich machen.
![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
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