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Richardsonsche Extrapolation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Fr 17.01.2020
Autor: Drake_ij

Hallo an alle!


Wir hatten vor ein paar Wochen die Richardsonsche Extrapolation zum Limes kurz behandelt. Ich hatte das damals nicht verstanden, daher habe ich mich mal gestern hingesetzt und versucht, die Methode zu verstehen.


Die Aufschriebe zu dieser Methode sind identisch zur Lektüre, die uns der Prof vorgeschlagen hat. Daher verlinke ich die Lektüre, da meine Handschrift nicht die leserlichste ist:

https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf (Seite 35)



Zur Extrapolation zum Limes steht am Anfang des Kapitels folgendes:



"Eine wichtige Anwendung der Polynominterpolation ist die sogenannte "Richardsonsche Extrapolation zum Limes". Ein numerischer Prozess liefere für jeden Wert eines Parameters $h [mm] \in \mathbb{R}_{+}( [/mm] h [mm] \rightarrow [/mm] 0)$ einen Wert $a(h)$.

Gesucht ist die nicht direkt berechenbare Größe

$a(0) = [mm] \lim\limits_{h \rightarrow 0} [/mm] a(h)$.


Zur Annäherung von $a(h)$ berechnet man [mm] $a(h_{i})$ [/mm] für gewisse Werte [mm] $h_{i}, [/mm] i = 0, [mm] \ldots, [/mm] n,$ und nimmt den Wert [mm] $p_{n}(0)$ [/mm] des zugehörigen Interpolationspolynoms zu [mm] $(h_{i}, a(h_{i}))$ [/mm] als Schätzung für $a(0)$."



Danach kommen nur noch Beispiele.


Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich den Anfang richtig verstanden habe. Ich schreibe nämlich bald eine Klausur und möchte mir sozusagen ein allgemeines Schema zur Extrapolation aufschreiben, den man in jedem Fall anwenden kann. Natürlich geht es mir auch ums Verständnis :-)




Also, ich erkläre mal, wie ich das verstanden habe und versuche schon mal ein allgemeines Schema zu schreiben.






Extrapolation zum Limes
____________________



Gegeben
_______


Gegeben ist eine Funktion $a: [mm] \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] a(x)$.


Gesucht
_______



Gesucht ist die nicht direkt berechenbare Größe $a(0) = [mm] \lim\limits_{h \rightarrow 0} [/mm] a(h)$.


Hier habe ich schon ein paar Fragen:


1.) Wie ist hier $h$ definiert ? Kann $h$ irgend eine Zahl sein ?

2.) Warum muss $h$ gegen $0$ gehen ? Also was genau soll dieses $a(0)$ bedeuten ? Dass man den Funktionswert $a(0)$ an der Stelle $x = 0$ approximieren will, oder wie ? Oder ist das allgemeiner zu fassen ? Das nachfolgende Beispiel zeigt auch, dass man den Funktionswert $a(0)$ an der Stelle $x = 0$ approximiert. Aber ich denke nicht, dass $x $ unbedingt $0$ sein muss. Vielleicht brauche ich ein anderes Beispiel.




Vorgehensweise
_____________


Wähle eine Folge [mm] $(h_{i})_{i \in \mathbb{N}}$ [/mm] mit [mm] $\lim\limits_{i \rightarrow \infty} h_{i} [/mm] = 0$


Berechne dann [mm] $a(h_{i})$ [/mm] für $i = 0, [mm] \ldots, [/mm] n$, um $a(0)$ zu approximieren.

Berechne dann das zugehörige Interpolationspolynom [mm] $P_{n}$ [/mm] zu den Daten [mm] $(h_{i}, a(h_{i}))$ [/mm] und nehme [mm] $P_{n}(0)$ [/mm] als Schätzung für $a(0)$.





Hier habe ich auch noch eine Frage:



Warum nimmt man [mm] $P_{n}(0)$ [/mm] als Schätzung für $a(0)$ ?

Ich meine, [mm] $P_{n}$ [/mm] interpoliert zwar die Daten [mm] $(h_{i}, a(h_{i}))$, [/mm] aber es kann auch eine ganz andere Funktion sein als $a$.

Wieso approximiert [mm] $P_{n}$ [/mm] die Funktion $a$ besser als z.B. [mm] $P_{n - 1}$ [/mm] ?

Diese Frage ist etwas doof. Ich kann es mir eigentlich fast denken, aber vielleicht denke ich falsch.





Also das wären erst einmal meine Fragen. Das Verfahren ist bestimmt nicht kompliziert, aber ich möchte das sauber und verständlich, Schritt für Schritt , aufschreiben.


Schönen Tag noch, Drake :-)



        
Bezug
Richardsonsche Extrapolation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Fr 17.01.2020
Autor: fred97


> Hallo an alle!
>  
>
> Wir hatten vor ein paar Wochen die Richardsonsche
> Extrapolation zum Limes kurz behandelt. Ich hatte das
> damals nicht verstanden, daher habe ich mich mal gestern
> hingesetzt und versucht, die Methode zu verstehen.
>  
>
> Die Aufschriebe zu dieser Methode sind identisch zur
> Lektüre, die uns der Prof vorgeschlagen hat. Daher
> verlinke ich die Lektüre, da meine Handschrift nicht die
> leserlichste ist:
>  
> https://ganymed.math.uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf
> (Seite 35)
>  
>
>
> Zur Extrapolation zum Limes steht am Anfang des Kapitels
> folgendes:
>  
>
>
> "Eine wichtige Anwendung der Polynominterpolation ist die
> sogenannte "Richardsonsche Extrapolation zum Limes". Ein
> numerischer Prozess liefere für jeden Wert eines
> Parameters [mm]h \in \mathbb{R}_{+}( h \rightarrow 0)[/mm] einen
> Wert [mm]a(h)[/mm].
>  
> Gesucht ist die nicht direkt berechenbare Größe
>  
> [mm]a(0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} a(h)[/mm].
>  
>
> Zur Annäherung von [mm]a(h)[/mm] berechnet man [mm]a(h_{i})[/mm] für
> gewisse Werte [mm]h_{i}, i = 0, \ldots, n,[/mm] und nimmt den Wert
> [mm]p_{n}(0)[/mm] des zugehörigen Interpolationspolynoms zu [mm](h_{i}, a(h_{i}))[/mm]
> als Schätzung für [mm]a(0)[/mm]."
>  
>
>
> Danach kommen nur noch Beispiele.
>  
>
> Aber ich bin mir nicht sicher, ob ich den Anfang richtig
> verstanden habe. Ich schreibe nämlich bald eine Klausur
> und möchte mir sozusagen ein allgemeines Schema zur
> Extrapolation aufschreiben, den man in jedem Fall anwenden
> kann. Natürlich geht es mir auch ums Verständnis :-)
>  
>
>
>
> Also, ich erkläre mal, wie ich das verstanden habe und
> versuche schon mal ein allgemeines Schema zu schreiben.
>  
>
>
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>
> Extrapolation zum Limes
>  ____________________
>  
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>
> Gegeben
>  _______
>  
>
> Gegeben ist eine Funktion [mm]a: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto a(x)[/mm].
>  
>
> Gesucht
>  _______
>  
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>
> Gesucht ist die nicht direkt berechenbare Größe [mm]a(0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} a(h)[/mm].
>  
>
> Hier habe ich schon ein paar Fragen:
>  
>
> 1.) Wie ist hier [mm]h[/mm] definiert ? Kann [mm]h[/mm] irgend eine Zahl sein

Du studierst Mathematik,  also hast  Du doch  sicher den Grenzwertbegriff bei Funktionen kennengelernt,  in Analysis I. Schau also nochmal nach.

> ?
>
> 2.) Warum muss [mm]h[/mm] gegen [mm]0[/mm] gehen ? Also was genau soll dieses
> [mm]a(0)[/mm] bedeuten ? Dass man den Funktionswert [mm]a(0)[/mm] an der
> Stelle [mm]x = 0[/mm] approximieren will, oder wie ?


a(0) ist der Funktionswert von a an der  Stelle 0. Ist a stetig,  so gilt


a (0) = [mm] \lim\limits_{h \rightarrow 0} [/mm] a(h)



> Oder ist das
> allgemeiner zu fassen ? Das nachfolgende Beispiel zeigt
> auch, dass man den Funktionswert [mm]a(0)[/mm] an der Stelle [mm]x = 0[/mm]
> approximiert. Aber ich denke nicht, dass [mm]x[/mm] unbedingt [mm]0[/mm] sein
> muss. Vielleicht brauche ich ein anderes Beispiel.
>  
>
>
>
> Vorgehensweise
>  _____________
>  
>
> Wähle eine Folge [mm](h_{i})_{i \in \mathbb{N}}[/mm] mit
> [mm]\lim\limits_{i \rightarrow \infty} h_{i} = 0[/mm]
>  
>
> Berechne dann [mm]a(h_{i})[/mm] für [mm]i = 0, \ldots, n[/mm], um [mm]a(0)[/mm] zu
> approximieren.
>  
> Berechne dann das zugehörige Interpolationspolynom [mm]P_{n}[/mm]
> zu den Daten [mm](h_{i}, a(h_{i}))[/mm] und nehme [mm]P_{n}(0)[/mm] als
> Schätzung für [mm]a(0)[/mm].
>  
>
>
>
>
> Hier habe ich auch noch eine Frage:
>  
>
>
> Warum nimmt man [mm]P_{n}(0)[/mm] als Schätzung für [mm]a(0)[/mm] ?


Sind  die [mm] h_i [/mm]  nahe bei 0,  so ist [mm] P_n(0) [/mm]  eine gute Approximation für a(0)

>
> Ich meine, [mm]P_{n}[/mm] interpoliert zwar die Daten [mm](h_{i}, a(h_{i}))[/mm],
> aber es kann auch eine ganz andere Funktion sein als [mm]a[/mm].

Natürlich

>  
> Wieso approximiert [mm]P_{n}[/mm] die Funktion [mm]a[/mm] besser als z.B.
> [mm]P_{n - 1}[/mm] ?

Je größer n desto besser die Approximation. Mach  Dir  das klar.

>  
> Diese Frage ist etwas doof. Ich kann es mir eigentlich fast
> denken, aber vielleicht denke ich falsch.
>
>
>
>
>
> Also das wären erst einmal meine Fragen. Das Verfahren ist
> bestimmt nicht kompliziert, aber ich möchte das sauber und
> verständlich, Schritt für Schritt , aufschreiben.
>  
>
> Schönen Tag noch, Drake :-)
>  
>  


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