Richtige Induktion? < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Sa 15.09.2007 | | Autor: | baw |
| Aufgabe | Für $x [mm] \geq [/mm] 4$ , $x [mm] \in \IN$ [/mm] gilt: [mm] $x^3 \geq 3*x^2+x$
[/mm]
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Ist mein Lösungsweg korrekt?
Meine Lösung:
IA: $64 = [mm] 4^3 \geq [/mm] 3 [mm] \cdot 4^2 [/mm] + 4 = 52$
IV: [mm] $x^3 \geq [/mm] & 3 [mm] x^2+x$
[/mm]
IS:
[mm] $(x+1)^3 [/mm] = [mm] x^3+3x^2+3x+1 [/mm] $
[mm] $\geq (3x^2+3x^2) [/mm] + (3x+x) +1$, wegen IV
[mm] $\geq (3x^2+12x) [/mm] + (3x+4) +1$
[mm] $\geq 3x^2 [/mm] + 7x + 4$
$ = [mm] 3(x+1)^2 [/mm] + (x+ 1)$
Bin für einen kritischen Blick dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
baw
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> Für [mm]x \geq 4[/mm] , [mm]x \in \IN[/mm] gilt: [mm]x^3 \geq 3*x^2+x[/mm]
>
> Ist mein Lösungsweg korrekt?
>
> Meine Lösung:
>
> IA: [mm]64 = 4^3 \geq 3 \cdot 4^2 + 4 = 52[/mm]
>
> IV: [mm]x^3 \geq & 3 x^2+x[/mm]
>
> IS:
> [mm](x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1[/mm]
> [mm]\geq (3x^2+3x^2) + (3x+x) +1[/mm],
> wegen IV
> [mm]\geq (3x^2+12x) + (3x+4) +1[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich würde an dieser Stelle noch einfügen: (wegen [mm] x\ge [/mm] 4)
> [mm]\geq 3x^2 + 7x + 4[/mm]
(wegen x>0)
> [mm]= 3(x+1)^2 + (x+ 1)[/mm]
>
> Bin für einen kritischen Blick dankbar.
Du hst es sehr gut gemacht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 19.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Hi,
wie kommt man beim IS auf die rechte Seite der Gleichung?
Mfg
dau2
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Hallo dau2,
da ist die Induktionsvoraussetzung eingebaut und umgestellt:
IV: [mm] $\red{x^3\ge 3x^2+x}$
[/mm]
IS: zz. ist: [mm] $(x+1)^3\ge 3(x+1)^2+(x+1)$
[/mm]
Also: [mm] $(x+1)^3=\red{x^3}+3x^2+3x+1$ [/mm] ausmultipliziert
[mm] $\ge\red{3x^2+x}+3x^2+3x+1$ [/mm] Ind.vor. eingebaut
Und dann weiter umformen wie oben
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:20 Mi 19.09.2007 | | Autor: | dau2 |
Aber ist:
[mm] 3(x+1)^2+(x+1)
[/mm]
nicht:
3*(x+1)*(x+1)+(x+1)
[mm] 3*(x^2+x+x+1)+(x+1)
[/mm]
[mm] 3x^2+3x+3x+3+x+1
[/mm]
[mm] 3x^2+7x+4 [/mm]
?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Disap |
> Aber ist:
>
> [mm]3(x+1)^2+(x+1)[/mm]
>
> nicht:
>
> 3*(x+1)*(x+1)+(x+1)
> [mm]3*(x^2+x+x+1)+(x+1)[/mm]
> [mm]3x^2+3x+3x+3+x+1[/mm]
> [mm]3x^2+7x+4[/mm]
> ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Stimmt. Und nun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Do 20.09.2007 | | Autor: | dau2 |
> IS: zz. ist: [mm](x+1)^3\ge 3(x+1)^2+(x+1)[/mm]
>
> Also: [mm](x+1)^3=\red{x^3}+3x^2+3x+1[/mm] ausmultipliziert
Was wird in diesem Schritt gemacht?
> > [mm]3(x+1)^2+(x+1)[/mm]
> >
> > nicht:
> >
> > 3*(x+1)*(x+1)+(x+1)
> > [mm]3*(x^2+x+x+1)+(x+1)[/mm]
> > [mm]3x^2+3x+3x+3+x+1[/mm]
> > [mm]3x^2+7x+4[/mm]
Wenn das ausmultiplizierte Ergebnis richtig ist sehe ich nicht wie er das angestellt hat.
Mfg
dau2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Do 20.09.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo zusammen,
es stellt sich allerdings die Frage, warum man das überhaupt per Vollst. Ind. machen sollte. Man kann nämlich sehr leicht die stärkere Behauptung zeigen, daß die Ungleichung sogar für alle reellen Zahlen ab ca. 3.31 gülig ist und zwar über die Nullstellen des betreffenden Polynoms, die hier durch Ausklammern und pq-Formel leicht zu sehen sind. Zusammen mit Stetigkeit und einem Probewert ergibt sich sofort die Behauptung.
Gruß, wk
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Hallo dau2,
nun, es ist doch unter der Induktionsvoraussetzung
[mm] $\red{x^3\ge 3x^2+x}$ [/mm] für ein [mm] $x\in\IN$ [/mm] zu zeigen, dass dann gefälligst auch
[mm] $(x+1)^3\ge \underbrace{3(x+1)^2+(x+1)}_{=3x^2+7x+4}$ [/mm] ist.
Dazu haben wir das [mm] $(x+1)^3$ [/mm] mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung nach
unten gegen einen Term abgeschätzt, der [mm] \underline{\text{größer/größergleich}} [/mm] ist als [mm] $3x^2+7x+4$
[/mm]
Damit ist dann [mm] $(x+1)^3$ [/mm] erst recht größer(-gleich) [mm] $3x^2+7x+4$
[/mm]
Nochmal im Einzelnen:
[mm] $(x+1)^3=\red{x^3}+3x^2+3x+1\underset{\text{nach IV}}{\ge}\red{3x^2+x}+3x^2+3x+1=3x^2+4x+\underbrace{(3x^2+1)}_{\ge 3x+4}\ge 3x^2+4x+(3x+4)=3x^2+7x+4$
[/mm]
Also haben wir so insgesamt die Anschätzung (ohne den ganzen Mittelteil):
[mm] $(x+1)^3\ge 3x^2+7x+4=3(x+1)^2+(x+1)$
[/mm]
Und genau das war zu zeigen
Falls es noch nicht klar wird, hak einfach nochmal nach
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Sa 22.09.2007 | | Autor: | dau2 |
> Hallo dau2,
>
> nun, es ist doch unter der Induktionsvoraussetzung
>
> [mm]\red{x^3\ge 3x^2+x}[/mm] für ein [mm]x\in\IN[/mm] zu zeigen, dass dann
> gefälligst auch
>
> [mm](x+1)^3\ge \underbrace{3(x+1)^2+(x+1)}_{=3x^2+7x+4}[/mm] ist.
>
> Dazu haben wir das [mm](x+1)^3[/mm] mit Hilfe der
> Induktionsvoraussetzung nach
>
> unten gegen einen Term abgeschätzt, der
> [mm]\underline{\text{größer/größergleich}}[/mm] ist als [mm]3x^2+7x+4[/mm]
Warum nimmt man nicht [mm] 3x^2+7x+4 [/mm] ? Das ist doch schon n+1, warum muss es ein anderer Term sein...und wo kommt der her?
Mfg
dau2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Sa 22.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dau!
Der Term [mm] $3x^2+7x+4$ [/mm] kommt daher, wenn man den Term in der zu zeigenden Induktionsbehauptung ausmultipliziert:
[mm] $$3*(x+1)^2+(x+1) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] 3x^2+7x+4$$
[/mm]
Und direkt dagegen Abschätzen ist doch etwas unnachvollziehbar, von daher wird hier der Zwischenschritt [mm] $3x^2+1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 3x+4$ eingefügt, um damit exakt auf den gewünschten Term [mm] $\red{(x+1)^3 \ \ge \ } 3x^2+7x+4 [/mm] \ = \ [mm] \red{3*(x+1)^2+(x+1)}$ [/mm] zu gelangen.
Gruß
Loddar
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