Richtung des größten Temperatu < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Temperatur bei den Koordinaten (x,y) sei gegeben durch
[mm] T(x,y)=20+\bruch{4x}{x^2+y^2}.
[/mm]
Eine Ameise befindet sich im Punkt (1,2). In welche Richtung muss sie laufen, um der Hitze schnellstmöglich zu entkommen?
(Die Richtung ist hier ein Vektor der Länge 1) |
Hallo matheraum!
Ich nehme an, hier brauche ich den Gradienten von T(x,y). Dieser gibt ja die Richtung des steilsten Anstiegs an. Muss ich also nur den Punkt (1,2) in den Gradienten einsetzen und das Ergebnis negieren, um die Richtung des steilsten Abfalls zu erhalten?
Ich schreib mal, was ich bisher habe:
Gradient(T(x,y)): [mm] (\bruch{4}{x^2+y^2}-\bruch{8x^2}{(x^2+y^2)^2}, \bruch{-8x^2y}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
(1,2) eingesetzt ergibt dann: [mm] (\bruch{12}{25},\bruch{-16}{25})
[/mm]
Sind auch die Ableitungen richtig?
Vielen Dank im Vorraus!!
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Mo 25.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Gradient(T(x,y)):
> [mm](\bruch{4}{x^2+y^2}-\bruch{8x^2}{(x^2+y^2)^2}, \bruch{-8x^2y}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> (1,2) eingesetzt ergibt dann:
> [mm](\bruch{12}{25},\bruch{-16}{25})[/mm]
> Sind auch die Ableitungen richtig?
ich habe für den Gradienten folgendes raus:
Gradient(T(x,y)):
[mm](\bruch{4}{x^2+y^2}-\bruch{8x^2}{(x^2+y^2)^2}, \bruch{-8xy}{(x^2+y^2)^2})[/mm]
Das entspricht deiner Ableitung; nur das [mm] x^2 [/mm] stimmt nicht bei deiner Ableitung nach y.
MfG
barsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Di 26.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der grad gibt die Richtung der größten Änderung! ob die rauf oder runter geht musst du entscheiden!
[mm] f_x [/mm] ist richtig, [mm] f_y [/mm] falsch woher hast du die [mm] x^2 [/mm] im Zähler?
Gruss leduart
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stimmt, bei der Ableitung hab ich mich vertan.
Aber wie erkennt man denn, ob die Änderung rauf oder runter geht?
mfg
bratwurst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mi 27.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
daran, ob die fkt wenn du ein Ministück in Richtung grad gehst kleiner oder größer wird.
Guss leduart
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Hallo! Ich hab das leider noch nicht verstanden. Wenn ich jetzt in den Gradienten größere Werte einsetze (meintest du das?), dann wird doch die x-Ableitung größer und die y-Ableitung kleiner, weil die ja negativ ist.
Bedeutet das, das die Änderung negativ ist?
mfg
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Ich bin mir zwar nicht sicher, aber hier kannst du vielleicht auch die lokale Minima/Maxima Methode anwenden.
Ist die zweite Ableitung, also die Steigung der Steigung > 0, dann ist ein Minimum.
Ist die zweite Ableitung, also die Steigung der Steigung < 0, dann ist ein Maximum.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Do 28.06.2007 | | Autor: | bratwurst |
Das ist natürlich ne Idee  Vielen Dank!
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Also, ich krieg das irgendiwe nicht hin. Kann mir bitte jemadn erklären, wie man ermittelt, ob die Steigung positiv oder negativ ist?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo wurst
ich hab dir leider ne falsche Antwort gegeben. der grad zeigt zur steilsten Richtung, also muss dein Wurm umgekehrt wegkriechen. Tut mir leid für deine Zeit.
Gruss leduart
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