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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Richtung stärkstes Gefälle
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Richtung stärkstes Gefälle: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 Sa 11.04.2015
Autor: dodo1924

Aufgabe
Man fährt Ski auf einem Berg, welcher zufällig der Graph der Funktion [mm] f:\IR^2->\IR, f(x,y)=10-x^2-y^4 [/mm] ist. Man befindet sich im Punkt (1,1,8). In welche Richtung muss man von diesem Punkt aus starten, wenn man in die Richtung des stärksten Gefälles abfahren will, d.h. für welchen Einheitsvektor v ist [mm] \partial_vf(1,1,8) [/mm] am kleinsten?

Hinweis: Verwenden Sie die Formel des Skalarproduktes für Vektoren [mm] u*v=|u||v|*cos(\alpha), [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel zwischen den Vektoren ist.

Für den Abschluss der Aufgabe fehlt mir igendwie noch der nötige Durchblick!

Für den Vektor [mm] \nabla [/mm] f(x,y) gilt:
[mm] \nabla f(x,y)=\vektor{-2x \\ -4y^3} [/mm]

Hier meine erste Frage: kann ich hier die 3. Komponente meines Punktes (also 8) für weitere vorgehensweisen ignorieren? Keine Ahnung, für was ich die hier noch brauchen könnte?

nun gilt ja: [mm] \partial_vf(1,1,8)=\nabla [/mm] f(1,1,8)*v

[mm] \nabla f(1,1,8)=\vektor{-2 \\ -4 \\ 0} [/mm] #wobei ich keine Ahnung habe, ob ich die 0 hier noch reinbringen muss/darf/soll, da meine Funktion ja nur 2 Variablen hat?

dann würde mit dem Hinweis gelten:

[mm] \nabla f(1,1,8)*v=||\nabla f(1,1,8)||*||v||*cos(\alpha)=||\nabla f(1,1,8)||*cos(\alpha), [/mm] da ||v||=1 weil v ja ein Einheitsvektor ist

Ausgerechnet: [mm] ||\nabla f(1,1,8)||*cos(\alpha)=\wurzel{20}*cos(\alpha) [/mm]

nun [mm] \partial_vf(1,1,8) [/mm] ja dann am kleinsten, wenn [mm] cos(\alpha)=-1 [/mm] gelten würde!

Aber wie komme ich dadurch jetzt auf die gesuchte Richtung des stärksten Gefälles??

        
Bezug
Richtung stärkstes Gefälle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Sa 11.04.2015
Autor: fred97


> Man fährt Ski auf einem Berg, welcher zufällig der Graph
> der Funktion [mm]f:\IR^2->\IR, f(x,y)=10-x^2-y^4[/mm] ist. Man
> befindet sich im Punkt (1,1,8). In welche Richtung muss man
> von diesem Punkt aus starten, wenn man in die Richtung des
> stärksten Gefälles abfahren will, d.h. für welchen
> Einheitsvektor v ist [mm]\partial_vf(1,1,8)[/mm] am kleinsten?


Steht in der Aufgabenstellung wirklich [mm]\partial_vf(1,1,8)[/mm]  ? Oder steht da [mm]\partial_vf(1,1)[/mm] ?

Der Punkt (1,1,8) ist ein Punkt auf dem Graph von f, nämlich (1,1,f(1,1)) !!


Die Frage sollte also lauten:

    für welchen Einheitsvektor v ist [mm]\partial_vf(1,1)[/mm] am kleinsten?

FRED

>  
> Hinweis: Verwenden Sie die Formel des Skalarproduktes für
> Vektoren [mm]u*v=|u||v|*cos(\alpha),[/mm] wobei [mm]\alpha[/mm] der Winkel
> zwischen den Vektoren ist.
>  Für den Abschluss der Aufgabe fehlt mir igendwie noch der
> nötige Durchblick!
>  
> Für den Vektor [mm]\nabla[/mm] f(x,y) gilt:
>  [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{-2x \\ -4y^3}[/mm]
>
> Hier meine erste Frage: kann ich hier die 3. Komponente
> meines Punktes (also 8) für weitere vorgehensweisen
> ignorieren? Keine Ahnung, für was ich die hier noch
> brauchen könnte?
>  
> nun gilt ja: [mm]\partial_vf(1,1,8)=\nabla[/mm] f(1,1,8)*v
>  
> [mm]\nabla f(1,1,8)=\vektor{-2 \\ -4 \\ 0}[/mm] #wobei ich keine
> Ahnung habe, ob ich die 0 hier noch reinbringen
> muss/darf/soll, da meine Funktion ja nur 2 Variablen hat?
>  
> dann würde mit dem Hinweis gelten:
>  
> [mm]\nabla f(1,1,8)*v=||\nabla f(1,1,8)||*||v||*cos(\alpha)=||\nabla f(1,1,8)||*cos(\alpha),[/mm]
> da ||v||=1 weil v ja ein Einheitsvektor ist
>  
> Ausgerechnet: [mm]||\nabla f(1,1,8)||*cos(\alpha)=\wurzel{20}*cos(\alpha)[/mm]
>  
> nun [mm]\partial_vf(1,1,8)[/mm] ja dann am kleinsten, wenn
> [mm]cos(\alpha)=-1[/mm] gelten würde!
>  
> Aber wie komme ich dadurch jetzt auf die gesuchte Richtung
> des stärksten Gefälles??


Bezug
                
Bezug
Richtung stärkstes Gefälle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Sa 11.04.2015
Autor: dodo1924

In der Aufgabenstellung steht [mm] \partial_vf(1,1,8)! [/mm]

Hab aus Unsicherheit unserer Professorin schon vor ein paar Tagen eine Mail geschrieben, ob es sich hier um einen Fehler handeln könnte!

Ihre Antwort:
Die Definitionsmenge ist [mm] R^2, [/mm] aber der Graph ist in [mm] R^3. [/mm] Wenn man auf dem Berg ist, ist man auf dem Graphen.

Hat mich jedoch nur noch mehr verwirrt als ich zuvor schon war ^^

Bezug
                        
Bezug
Richtung stärkstes Gefälle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Sa 11.04.2015
Autor: fred97


> In der Aufgabenstellung steht [mm]\partial_vf(1,1,8)![/mm]

Das ist Unfug !


>  
> Hab aus Unsicherheit unserer Professorin schon vor ein paar
> Tagen eine Mail geschrieben, ob es sich hier um einen
> Fehler handeln könnte!
>  
> Ihre Antwort:
>  Die Definitionsmenge ist [mm]R^2,[/mm] aber der Graph ist in [mm]R^3.[/mm]
> Wenn man auf dem Berg ist, ist man auf dem Graphen.
>  
> Hat mich jedoch nur noch mehr verwirrt als ich zuvor schon
> war ^^


Glaub mir: die einzig sinnvolle Aufgabenstellung lautet: bestimme

$  [mm] \min \{\partial_vf(1,1): v \in \IR^2, ||v||=1\}$ [/mm]


FRED

Bezug
                                
Bezug
Richtung stärkstes Gefälle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Sa 11.04.2015
Autor: dodo1924

War dann bestimmt ein Denkfehler von der Professorin...
Dann mal angenomme, ich suche nach [mm] \partial_vf(1,1)! [/mm]
Dann wäre meine Ansatz (umgeschrieben):

[mm] \nabla f(1,1)=\vektor{-2 \\ -4} [/mm]

[mm] \partial_vf(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot{}v=||\nabla f(1,1)||\cdot{}||v||\cdot{}cos(\alpha)=||\nabla f(1,1)||\cdot{}cos(\alpha)=\wurzel{20}\cdot{}cos(\alpha) [/mm]

wäre am kleinsten, wenn [mm] cos(\alpha)=-1, [/mm] also
[mm] min\{\partial_vf(1,1): v \in \IR^2, ||v||=1\} =-\wurzel(20) [/mm]

was sagt mir das jetzt dann über die Richtung aus?
bzw. wie komme ich jetzt dadurch auf meinen Vektor v?

Bezug
                                        
Bezug
Richtung stärkstes Gefälle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:20 Sa 11.04.2015
Autor: fred97


> War dann bestimmt ein Denkfehler von der Professorin...
>  Dann mal angenomme, ich suche nach [mm]\partial_vf(1,1)![/mm]
>  Dann wäre meine Ansatz (umgeschrieben):
>  
> [mm]\nabla f(1,1)=\vektor{-2 \\ -4}[/mm]
>  
> [mm]\partial_vf(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot{}v=||\nabla f(1,1)||\cdot{}||v||\cdot{}cos(\alpha)=||\nabla f(1,1)||\cdot{}cos(\alpha)=\wurzel{20}\cdot{}cos(\alpha)[/mm]
>
> wäre am kleinsten, wenn [mm]cos(\alpha)=-1,[/mm] also
>  [mm]min\{\partial_vf(1,1): v \in \IR^2, ||v||=1\} =-\wurzel(20)[/mm]
>  
> was sagt mir das jetzt dann über die Richtung aus?
>  bzw. wie komme ich jetzt dadurch auf meinen Vektor v?


Für [mm] $\alpha \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] haben wir

[mm] cos(\alpha)=-1 \gdw \alpha= \pi [/mm] (=180°)


Das bedeutet: der von v und [mm] \nabla [/mm] f(1,1) eingeschlossene Winkel ist 180°.

In welche Richtung zeigt also v ?

Da ||v||=1, ist v= ?

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Richtung stärkstes Gefälle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 Sa 11.04.2015
Autor: dodo1924

Naja, ich hätte dann einen vektor [mm] v_f [/mm] mit [mm] v_f=\vektor{2 \\ 4}, [/mm] also ein vektor der in die entgegengesetzte Richtung von [mm] \nabla [/mm] f(1,1) zeigt!

Nun muss ich diesen Vektor noch normieren, also [mm] \bruch{v_f}{|v_f|} [/mm] wobei [mm] |v_f|=\wurzel{20} [/mm]

Damit erhalte ich [mm] v=\vektor{\bruch{2}{\wurzel{20}} \\ \bruch{4}{\wurzel{20}}}! [/mm]

Richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
Richtung stärkstes Gefälle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 So 12.04.2015
Autor: fred97


> Naja, ich hätte dann einen vektor [mm]v_f[/mm] mit [mm]v_f=\vektor{2 \\ 4},[/mm]
> also ein vektor der in die entgegengesetzte Richtung von
> [mm]\nabla[/mm] f(1,1) zeigt!
>  
> Nun muss ich diesen Vektor noch normieren, also
> [mm]\bruch{v_f}{|v_f|}[/mm] wobei [mm]|v_f|=\wurzel{20}[/mm]
>  
> Damit erhalte ich [mm]v=\vektor{\bruch{2}{\wurzel{20}} \\ \bruch{4}{\wurzel{20}}}![/mm]
>  
> Richtig?


Ja

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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