Richtungs- und partielle Abl. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 So 27.03.2016 | | Autor: | Tin123 |
| Aufgabe | | Was ist der Unterschied zwischen der partiellen Ableitung und der Richtungsableitung bzw. kann man die Richtungsableitung durch die partielle Ableitung beschreiben? Wie hängt die totale Differenzierbarkeit damit zusammen? |
Ich habe mir verschiedene Definitionen für die Richtungsableitung und die partielle Ableitung angeschaut und vermute, dass dass die partiellen Ableitungen quasi in den Richtungsableitungen vorhanden sind. Die Richtungsableitung beschreibt die Ableitung in eine komplette Richtung. Nach meiner Vermutung beschreibt dann die partielle Ableitung die Ableitung in eine Richtung in einem Punkt. Kann man das so sagen? Ist das richtig?
Wie hängt die totale Differenzierbarkeit damit zusammen? Ist das dann die Ableitung in jedem Punkt in jede Richtung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 So 27.03.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja die Paetielle Ableitung nach x gibt die lineare Änderung in x- Richtung an, entsprechend Abl nach y usw
Richtungsableitung kann man dann durch die Linearkombination der 2 darstellen.
total differenzierter, wenn die 2 partiellen abl existieren und stetig sind.
dann ist [mm] dF=F_x*dx+F_y*dy [/mm] die lineare Näherung für F
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Mo 28.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo leduart,
Sei [mm] $F\colon U\to\IR$ [/mm] für eine offene Teilmenge [mm] $U\subseteq\IR^n$.
[/mm]
> ja die Paetielle Ableitung nach x gibt die lineare
> Änderung in x- Richtung an, entsprechend Abl nach y usw
> Richtungsableitung kann man dann durch die
> Linearkombination der 2 darstellen.
(Du betrachtest hier nur den Fall n=2.)
Im Allgemeinen gilt dies nur im Falle totaler Differenzierbarkeit!
Liegt diese nicht vor, kann man selbst im Falle der Existenz partieller Ableitungen keine allgemeine Aussage über Existenz und Wert von Richtungsableitungen treffen!
> total differenzierter, wenn die 2 partiellen abl
> existieren und stetig sind.
Um Missverständnisse zu vermeiden: Die stetige partielle Differenzierbarkeit ist hinreichend, aber nicht notwendig für die totale Differenzierbarkeit.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mo 28.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Tin123!
> Was ist der Unterschied zwischen der partiellen Ableitung
> und der Richtungsableitung bzw. kann man die
> Richtungsableitung durch die partielle Ableitung
> beschreiben? Wie hängt die totale Differenzierbarkeit
> damit zusammen?
> Ich habe mir verschiedene Definitionen für die
> Richtungsableitung und die partielle Ableitung angeschaut
> und vermute, dass dass die partiellen Ableitungen quasi in
> den Richtungsableitungen vorhanden sind.
Ja, partielle Ableitungen entsprechen speziellen Richtungsableitungen.
Man kann dementsprechend das Konzept der Richtungsableitungen als Verallgemeinerung des Konzepts der partiellen Ableitungen ansehen.
> Die
> Richtungsableitung beschreibt die Ableitung in eine
> komplette Richtung. Nach meiner Vermutung beschreibt dann
> die partielle Ableitung die Ableitung in eine Richtung in
> einem Punkt. Kann man das so sagen? Ist das richtig?
Das würde ich so nicht formulieren. Sowohl partielle Ableitungen als auch Richtungsableitungen werden immer "in einem einzelnen Punkt" oder "punktweise" gebildet. Darin sehe ich kein Unterscheidungsmerkmal der beiden Konzepte.
Die partiellen Ableitungen entsprechen wie gesagt den Richtungsableitungen in spezielle Richtungen.
> Wie hängt die totale Differenzierbarkeit damit zusammen?
Im Falle totaler Differenzierbarkeit einer Funktion [mm] $f\colon\IR^n\to\IR$ [/mm] (in einem Punkt [mm] $x\in\IR^n$) [/mm] existieren sämtliche Richtungsableitungen (in diesem Punkt x) und diese Richtungsableitungen lassen sich alleine aus den partiellen Ableitungen im Punkte x berechnen.
> Ist das dann die Ableitung in jedem Punkt in jede Richtung?
Das würde ich so nicht formulieren. Auch totale Differenzierbarkeit kann in einzelnen Punkten vorliegen und in anderen nicht.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Di 29.03.2016 | | Autor: | Tin123 |
Ok, danke! Jetzt ist mir der "Unterschied" (bzw. viel mehr der Zusammenhang) zwischen der Richtungsableitung und der partiellen Ableitung klar geworden. Und das totale Differential setzt sich quasi aus allen Richtungsableitungen in einem bestimmten Punkt zusammen! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Di 29.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ok, danke! Jetzt ist mir der "Unterschied" (bzw. viel mehr
> der Zusammenhang) zwischen der Richtungsableitung und der
> partiellen Ableitung klar geworden.
> Und das totale
> Differential setzt sich quasi aus allen
> Richtungsableitungen in einem bestimmten Punkt zusammen! :)
Ich glaube Dir erst dann, dass Du das verstanden hast, wenn Du sagst, was Du mit dem letzten Satz genau meinst !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mi 30.03.2016 | | Autor: | Tin123 |
Wenn ich in einem bestimmten Punkt die Richtungsableitung in jede Richtung bestimme, dann habe ich das totale Differential.
das meine ich mit meinem letzten Satz! :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 30.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich in einem bestimmten Punkt die Richtungsableitung
> in jede Richtung bestimme, dann habe ich das totale
> Differential.
So ? Wie denn ?
Ich gebe zu bedenken: es gibt Funktionen, die an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] ihres Definitionsbereiches alle Richtungsableitungen besitzen, die aber in [mm] x_0 [/mm] nicht total differenzierbar sind.
FRED
>
> das meine ich mit meinem letzten Satz! :P
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 30.03.2016 | | Autor: | Tin123 |
da muss ich jetzt glaube ich passen.
Also ich meine mich zu errinnern, dass die Richtungsableitungen stetig sein müssen, damit das totale Differential existiert. Allerdings habe ich keine Idee, wie ich auf das "Wie denn?" antworten könnte... Vielleicht magst du mir das genauer erklären?
LG :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mi 30.03.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
das "wie denn" sagt, du sollst die totale Ableitung mal hinschreiben für den fall dass sie existiert.
gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Do 31.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> da muss ich jetzt glaube ich passen.
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> Also ich meine mich zu errinnern, dass die
> Richtungsableitungen stetig sein müssen, damit das totale
> Differential existiert.
Das stimmt nicht !
> Allerdings habe ich keine Idee, wie
> ich auf das "Wie denn?" antworten könnte... Vielleicht
> magst du mir das genauer erklären?
Sei $f: D [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion mit D [mm] \subseteq \IR^n [/mm] offen und [mm] x_0 \in [/mm] D.
Ist f in [mm] x_0 [/mm] total Differenzierbar, so ex. die Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(x_0) [/mm] für jede Richtung $v$ und es gilt
[mm] f'(x_0)=gradf(x_0)^T
[/mm]
FRED
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> LG :)
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