Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Sei f(x,y) eine Funktion mit gradient(f) = (1,1) und parallel zur Gerade x+y-1=0. Für welchen der folgenden Versoren v ist die Richtungsableitung der Funktion f in Richtung von v im Punkt (1,1) = 0
a) [mm] \vektor{ 1/ \wurzel{2} \\ - 1/ \wurzel{2}}
[/mm]
b) [mm] \vektor{ 1\\ 0}
[/mm]
c) [mm] \vektor{ 1/ \wurzel{2} \\ 1/ \wurzel{2}}
[/mm]
d) [mm] \vektor{ - 1/ \wurzel{2} \\ 1/ \wurzel{2}} [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Vorweg, die Lösung c ist die Richtige.
Also ich habe mit folgender Formel gearbeitet, welche ich auf Wikipedia gefunden habe, und zwar besagt diese:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v} [/mm] = || gradient(f) [mm] (x_{0},y_{0)}) [/mm] || * [mm] ||v||*cos(\alpha)
[/mm]
Diese Bedingung muss in meinem Fall = 0 sein, somit ergibt sich, dass der Wert von [mm] \alpha [/mm] oder [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] oder [mm] \bruch{3*\pi}{2} [/mm] annehmen muss, also der Vektor muss senkrecht auf meine Funktion stehen.
Also denke ich, ist es das Einfachste für mich, wenn ich die Winkel zwischen den Normalvektor meiner Funktion n (1,1) welche parallel zur Gerade x+y-1 steht und von welcher ich auch den Normalvektor habe, und den Vektoren die zur Auswahl stehen zu untersuchen.
Die Allgemeine Formel hierfür wäre:
[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{a*b}{|a| * |b|}
[/mm]
in Fall a) wäre das: cos [mm] (\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{1* 1/ \wurzel{2} - 1/ \wurzel{2} }{ \wurzel{2} * 1 } [/mm] = 0, somit hätte ich schon einen Wert für [mm] \alpha [/mm] gefunden, welcher meinen Ansprüchen genügen würde.
Nur leider ist dies nicht richtig so.
Kann mir bitte hier jemand helfen? Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Frohe Ostern und Dankesehr für eure Aufmerksamkeit
lg
Zuggel
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Hallo,
wenn die Richtungsableitung der Funktion f(x,y) = x+y+c in Richtung des Vektors [mm] $\vec [/mm] v$ Null werden soll, dann bedeutet das doch, dass das Skalarprodukt [mm] $\nabla [/mm] f [mm] *\vec [/mm] v$, wobei [mm] $\vec [/mm] v$ ein Einheitsvektor ist, Null werden soll; d. h., der Vektor [mm] $\vec [/mm] v$ muss senkrecht auf dem Gradienten stehen und nicht auf der Geraden.
Damit muss der Vektor [mm] $\vec [/mm] v$ parallel zur Geraden sein. Also sind a) und d) die Lösungen.
Das sieht man auch direkt an dieser Formulierung der Richtungsableitung:
[mm] $\bruch{df(x,y)}{d\vec v}=\nabla [/mm] f [mm] *\vec [/mm] v = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} \end{pmatrix} [/mm] = 0$
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
Das war in der Tat auch mein erster Gedanke, nur ist hier mit Sicherheit nur eine Lösung richtig (ist eine Prüfung mit Multiple Choice Fragen, gelöst vom Professor).
Deshalb bin ich auch auf den anderen Weg gekommen mit dem Winkel... Nur da komme ich auch nicht weiter...
lg
Zuggel
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Hallo,
ich vermute einen Druckfehler in der Aufgabenstellung oder Lösung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ich hoffe es ist erlaubt, den Link zu posten:
http://www.ing.unitn.it/~sabatini/comp/comp07/comp2007imm/calc2.2007.04.26.A.pdf
Hier der Direktlink zur Aufgabenstellung, in der ersten Zeile steht auch geschrieben: "Una ed una sola della quattro affermazioni é coretta" was soviel heißen will, dass nur eine einzige der 4 Aufgabenstellungen richtig ist, welche ich durch ein Kreuz kennzeichnen soll.
Also kommen 2 Lösungen nicht in Frage.
PS: Es handelt sich übrigens um Aufgabe Nummer 2, welche ich übersetzt und euch gestellt habe. Ich habe jetzt nochmal kontrolliert, ob ich auch wirklich korrekt übersetzt habe.
lg
Zuggel
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Hallo,
Du hast die Aufgabe falsch übersetzt.
Da steht:
"Sei f eine Funktion derart, daß grad f(1,1) parallel ist zu x+y-1=0."
Also ist grad [mm] f(1,1)=\vektor{-1 \\1}.
[/mm]
Daraus ergibt sich dann die richtige Lösung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 20.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
Ach du Schande. Eigentlich hätte ich das schon verstehen müssen, noch dazu, da ich an einer ital. Hochschule studiere. *Schande über mich*
Jedenfall, der Gradient muss so sein, dass er parallel zu x+y-1 verläuft. Wie kommst du dann auf -1 und 1?
Parallel wäre doch gleicher Vektor bzw. gleiche Steigung in einem Punkt, und die Steigung ergibt sich durch die 1. Ableitung welche nach x und y 1 ergibt? Oder bin ich auf dem Holzweg?
Dankesehr und Entschuldigung für die falsche Übersetzung!
lg
Zuggel
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> Eigentlich hätte ich das schon verstehen
> müssen.
Ich kann kein Italienisch - bis auf das wenig alltagstaugliche , was ich beim Singen alter Musik lerne.
Es scheint mathematiktauglich zu sein.
>
> Jedenfall, der Gradient muss so sein, dass er parallel zu
> x+y-1 verläuft. Wie kommst du dann auf -1 und 1?
Na! Schau Dir doch die Gerade mal im Koordinatensystem an, alternativ ihren Normalenvektor oder bring' sie in Parameterform...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
Also irgendwie kann ich mir das Ganze herleiten, aber ob das richtigen mathematischen Sinn ergibt, bitte überzeug dich selbst:
Also ich habe mir den Graph x+y-1 = 0 bzw y= 1-x aufgezeichnet, eine fallende Funktion. Eine parallele dazu ist natürlich y=-x bzw. y=c-x wobei c eine frei wählbare Konstante.
Der Gradient ist ja, relativ simpel ausgedrückt, immer in die Richtung des stärksten Gefälles ausgerichtet, und ich will, dass meine Funktion im Punkt (1,1) ein Gefälle abwärts, eben parallel zum Vektor (1,1) hat.
Eine Funktion die so etwas zulassen würde, wäre die Funktion y= 2-x oder x+y-2=0 mit n(1,1) und grad(f)=(1,1).
Nur wie man hier auf 1,-1 hüpft, da fehlt mir echt der Gedankenanschluss...
Dankesehr
lg
Zuggel
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> Also ich habe mir den Graph x+y-1 = 0 bzw y= 1-x
> aufgezeichnet, eine fallende Funktion.
Hallo,
eine Gerade mit negativer Steigung, deren Richtungsvektor der Vektor [mm] \vektor{1//-1} [/mm] ist.
> Der Gradient ist ja, relativ simpel ausgedrückt, immer in
> die Richtung des stärksten Gefälles ausgerichtet, und ich
> will, dass meine Funktion im Punkt (1,1) ein Gefälle
> abwärts, eben parallel zum Vektor (1,1) hat.
Nein, wie kommst Du darauf? Der Gradient im Punkt (1,1) soll parallel sein zum Richtungsvektor der Geraden, also
[mm] gradf(1,1)=\lambda\vektor{1//-1} [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] (Hier hatte ich mir zuvor eine Ungenauigkeit erlaubt.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
>
> > Also ich habe mir den Graph x+y-1 = 0 bzw y= 1-x
> > aufgezeichnet, eine fallende Funktion.
>
> Hallo,
>
> eine Gerade mit negativer Steigung, deren Richtungsvektor
> der Vektor [mm]\vektor{1//-1}[/mm] ist.
>
Da häng ich eben, der Richtungsvektor 1,-1. Wenn ich die Funktion anschaue dann habe ich folgendes:
1y+1x-1= 0
also nehme ich den Vektor (1,1)? Oder ist das der ortogonale Vektor auf diese Gerade? Ergibt sich der Richtungsvektor dann aus der Formel [mm] \Delta [/mm] y / [mm] \Delta [/mm] x?
Danke für die schnelle Antwort
lg
Zuggel
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> >
> > > Also ich habe mir den Graph x+y-1 = 0 bzw y= 1-x
> > > aufgezeichnet, eine fallende Funktion.
> >
> > Hallo,
> >
> > eine Gerade mit negativer Steigung, deren Richtungsvektor
> > der Vektor [mm]\vektor{1//-1}[/mm] ist.
> >
>
> Da häng ich eben, der Richtungsvektor 1,-1. Wenn ich die
> Funktion anschaue dann habe ich folgendes:
>
> 1y+1x-1= 0
> also nehme ich den Vektor (1,1)? Oder ist das der
> ortogonale Vektor auf diese Gerade?
Ja, das ist der Normalenvektor der Geraden.
Ich glaube, Du tätest gut daran, mal das Thema "geraden und Geradengleichungen" etwas aufzufrischen, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier
> Ergibt sich der
> Richtungsvektor dann aus der Formel [mm]\Delta[/mm] y / [mm]\Delta[/mm] x?
Das ist die Steigung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
Allerdings ergibt das Ganze viel mehr Sinn, nachdem man das Thema "Geraden und Geradengleichungen" im Kopf hat!
Danke an alle die geholfen haben! Frohe Ostern euch allen!
lg
Zuggel
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