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Richtungsableitung im Punkt: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Di 07.04.2015
Autor: dodo1924

Aufgabe
Für welche Einheitsvektoren [mm] v\in\IR,v=(cos\theta,sin\theta) [/mm] mit [mm] \theta\in[2,\pi) [/mm] existiert die Richtungsableitung von f im Punkt (0,0) in Richtung v?

[mm] f:\IR^2->\IR, f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm]

Hinweis: Wenden Sie die Formel [mm] 2*sin\theta*cos\theta=sin2\theta [/mm] an.


Hi!

Also ich suche hier ja nach folgender Ableitung:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(0,0) [/mm] = [mm] \partial_vf(0,0) [/mm] mit [mm] v=(cos\theta,sin\theta) [/mm]

Nach einem Satz aus der Vorlesung gilt nun folgende Gleichung (allgemein):
[mm] \partial_vf(a) [/mm] = [mm] \nabla [/mm] f(a)*v
Also benötige ich den Nabla Vektor!

dieser ist, wenn ich alles richtig gemacht habe:

[mm] f_x(0,0) [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t+0,0)-f(0,0)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{0*t-0}{t}=0 [/mm]

analog [mm] f_y(0,0)=0 [/mm]

also [mm] \nabla [/mm] f(a) = (0,0)

das heißt dann ja, dass [mm] \nabla [/mm] f(a)*v immer den Nullvektor als Ergebniss liefert, oder?

was sagt mir das jetzt aus?
was muss ich jetzt weiter machen?
und wie sollte mir der Hinweis hier helfen??

        
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Mi 08.04.2015
Autor: fred97


> Für welche Einheitsvektoren
> [mm]v\in\IR,v=(cos\theta,sin\theta)[/mm] mit [mm]\theta\in[2,\pi)[/mm]
> existiert die Richtungsableitung von f im Punkt (0,0) in
> Richtung v?
>  
> [mm]f:\IR^2->\IR, f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>  
> Hinweis: Wenden Sie die Formel
> [mm]2sin\thetacos\theta=sin2\theta[/mm] an.
>  Hi!
>  
> Also ich suche hier ja nach folgender Ableitung:
>  [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}(0,0)[/mm] = [mm]\partial_vf(0,0)[/mm] mit
> [mm]v=(cos\theta,sin\theta)[/mm]
>  
> Nach einem Satz aus der Vorlesung gilt nun folgende
> Gleichung (allgemein):
>  [mm]\partial_vf(a)[/mm] = [mm]\nabla[/mm] f(a)*v



Wenn Du schon einen Satz aus der Vorlesung bemühst, so informiere Dich auch über die Voraussetzungen !! Obige Formel gilt nur, wenn f in a (total) differenzierbar ist.

Die Funktion f aus der Aufgabenstellung ist aber in a=(0,0) nicht differenzierbar.


Schau also nach, für welche

    $ [mm] v=(cos\theta,sin\theta) [/mm] $

der Grenzwert

[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t} [/mm]

ex. und für welche nicht.

FRED
  

>  Also benötige ich den Nabla Vektor!
>  
> dieser ist, wenn ich alles richtig gemacht habe:
>  
> [mm]f_x(0,0)[/mm] = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t+0,0)-f(0,0)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{0*t-0}{t}=0[/mm]
>  
> analog [mm]f_y(0,0)=0[/mm]
>  
> also [mm]\nabla[/mm] f(a) = (0,0)
>  
> das heißt dann ja, dass [mm]\nabla[/mm] f(a)*v immer den Nullvektor
> als Ergebniss liefert, oder?
>  
> was sagt mir das jetzt aus?
>  was muss ich jetzt weiter machen?
>  und wie sollte mir der Hinweis hier helfen??


Bezug
                
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:56 Mi 08.04.2015
Autor: dodo1924

Mist, hab ich wohl übersehen :P

Okay, neuer Ansatz:

[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t*cos\theta*t*sin\theta}{(t*cos\theta)^2+(t*sin\theta)^2}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t*cos\theta*t*sin\theta}{t^2*(cos\theta^2+sin\theta^2)}}{t} [/mm]

nun gilt: [mm] cos^2\theta+sin^2\theta [/mm] =1, also

[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t^2*cos\theta*sin\theta}{t^2}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{t^2*cos\theta*sin\theta}{t^3} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta*sin\theta}{t} [/mm]

und hier hab ich ja wieder das Problem, dass eine division duch 0 nicht möglich ist!

Frage: macht es hier sinn, wenn ich sage, dass [mm] \theta\in [/mm] { [mm] 0,\pi,\bruch{3\pi}{2},2\pi [/mm] } sein muss?
wenn das nämlich der fall ist, gilt immer [mm] cos\theta*sin\theta=0 [/mm]

dann wäre ja [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta*sin\theta}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{0}{t} [/mm] = 0

PS: Habe wieder den Hinweis nicht benötigt, was wahrscheinlich darauf schlißen lässt, dass ich irgendwo einen Fehler habe :P

Bezug
                        
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:36 Mi 08.04.2015
Autor: meili

Hallo,

bist du sicher, dass du den Hinweis richtig wiedergegeben hast, und es nicht

[mm] $sin2\theta [/mm] = [mm] 2sin\theta cos\theta$ [/mm]

heißen soll.

Gruß
meili

Bezug
                                
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:39 Mi 08.04.2015
Autor: dodo1924

Hi!
Nein, steht so im Übungszettel wie angegeben!
Hättest du einen Ansatz wo ich ihn verwenden kann?

Bezug
                                        
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:46 Mi 08.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo dodo,

> Hi!
>  Nein, steht so im Übungszettel wie angegeben!
>  Hättest du einen Ansatz wo ich ihn verwenden kann?

nein tut es sicher nicht.
Schau dir den Hinweis mal genau an, dann wirst du feststellen, dass der angezeigte Hinweis nicht dem auf dem Übungszettel entspricht, da du einen Fehler im Code gemacht hast.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:55 Mi 08.04.2015
Autor: dodo1924

Sorry, hab das total übersehen ^^
Da hat ein * gefehlt! Jetzt müsste es passen ;)

Bezug
                                
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:45 Mi 08.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hallo meili,

der Hinweis entspricht genau deinem.
Allerdings hat der Fragesteller ein \ vergessen im Code, so dass der Hinweis falsch dargestellt wird.

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Mi 08.04.2015
Autor: fred97


> Mist, hab ich wohl übersehen :P
>  
> Okay, neuer Ansatz:
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t*cos\theta*t*sin\theta}{(t*cos\theta)^2+(t*sin\theta)^2}}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t*cos\theta*t*sin\theta}{t^2*(cos\theta^2+sin\theta^2)}}{t}[/mm]
>  
> nun gilt: [mm]cos^2\theta+sin^2\theta[/mm] =1, also
>  
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t^2*cos\theta*sin\theta}{t^2}}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{t^2*cos\theta*sin\theta}{t^3}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta*sin\theta}{t}[/mm]
>  
> und hier hab ich ja wieder das Problem, dass eine division
> duch 0 nicht möglich ist!
>  
> Frage: macht es hier sinn, wenn ich sage, dass [mm]\theta\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{

> [mm]0,\pi,\bruch{3\pi}{2},2\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} sein muss?

>  wenn das nämlich der fall ist, gilt immer
> [mm]cos\theta*sin\theta=0[/mm]



>  
> dann wäre ja [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta*sin\theta}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{0}{t}[/mm] = 0
>  
> PS: Habe wieder den Hinweis nicht benötigt, was
> wahrscheinlich darauf schlißen lässt, dass ich irgendwo
> einen Fehler habe :P


Es gilt (mit Deinen obigen Überlegungen):

$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t} [/mm] $   ex.


[mm] \gdw [/mm]

$v [mm] \in\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}$ [/mm]


FRED


Bezug
                                
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Mi 08.04.2015
Autor: dodo1924

Dann ist die Aufgabe gelöst :)

Wie sieht jetzt dann trotzdem die Lösung aus, in welcher ich den Hinweis [mm] 2*sin\theta*cos\theta [/mm] = [mm] sin2\theta [/mm] gebrauchen muss??
Geht es eventuell noch einfacher?


Bezug
                                        
Bezug
Richtungsableitung im Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:52 Mi 08.04.2015
Autor: fred97


> Dann ist die Aufgabe gelöst :)
>  
> Wie sieht jetzt dann trotzdem die Lösung aus, in welcher
> ich den Hinweis [mm]2*sin\theta*cos\theta[/mm] = [mm]sin2\theta[/mm]
> gebrauchen muss??
>  Geht es eventuell noch einfacher?

Der GW

$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta\cdot{}sin\theta}{t} [/mm] $

existiert , genau dann wenn [mm] cos\theta\cdot{}sin\theta=0 [/mm] ist.

Das ist genau dann der Fall, wenn [mm] cos\theta [/mm] =0 oder [mm] sin\theta=0 [/mm] ist.

Wegen [mm] cos^2\theta+sin^2\theta=1, [/mm] bedeutet dies:


   [mm] cos\theta [/mm] =0 und [mm] sin\theta=\pm [/mm] 1

oder

   [mm] cos\theta [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1 oder [mm] sin\theta=1 [/mm]


DEr Hinweis ist völlig überflüssig !

FRED

>  


Bezug
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