Richtungsableitungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Do 17.05.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Sei [mm] g:\IR^2\to\IR [/mm] wie folgt definiert:
g(0,0):=0
[mm] g(x,y):=\bruch{y^{5}}{2*x^{4}+y^{4}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0)
[/mm]
Ziege, dass alle Richtungsbleitungen von f in (0,0) existieren. |
Hi,
ich weiß nicht so recht, wie ich das zeigen soll.
Ich weiß, dass folgende Formel gilt,
[mm] \partial_{v}g(x)=\limes_{t\rightarrow\ 0}\bruch{g(x+t*v)-g(x)}{t}
[/mm]
weiß diese Formel aber nicht richtig anzuwenden.
Und was ist v? Irgendein Vektor?! Der Einheistvektor?
Kann mir da jemand helfen?
MfG
barsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Do 17.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sei [mm]g:\IR^2\to\IR[/mm] wie folgt definiert:
>
> g(0,0):=0
>
> [mm]g(x,y):=\bruch{y^{5}}{2*x^{4}+y^{4}}[/mm] für [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm]
>
> Ziege, dass alle Richtungsbleitungen von f in (0,0)
> existieren.
die Richtungsableitungen in einer beliebigen Richtung bekommst du, indem du längs beliebiger Geraden durch den Punkt differenzierst, also im Nullpkt die Geraden [mm] x(t)=t*\cos\alpha; y(t)=t*\sin\alpha.
[/mm]
entweder die Kurve einsetzen und dann nach t differenzieren, oder Kettenregel [mm] g_x*x'+g_y*y'
[/mm]
in deiner Formel sind dann x und v Vektoren!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Do 17.05.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die Antwort, aber ich müsste schon mit der angegebenen Gleichung
> [mm] \partial_{v}g(x)=\limes_{t\rightarrow\ 0}\bruch{g(x+t\cdot{}v)-g(x)}{t}
[/mm]
arbeiten.
Dann wäre ja
[mm] \partial_{v}g(x)=\limes_{t\rightarrow\ 0}\bruch{(tv)^5}{t*((2tv)^4+(tv)^5)}
[/mm]
aber ab da weiß ich nicht weiter.
MfG
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Do 17.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hi,
>
> danke für die Antwort, aber ich müsste schon mit der
> angegebenen Gleichung
>
> > [mm]\partial_{v}g(x)=\limes_{t\rightarrow\ 0}\bruch{g(x+t\cdot{}v)-g(x)}{t}[/mm]
>
> arbeiten.
>
>
> Dann wäre ja
>
> [mm]\partial_{v}g(x)=\limes_{t\rightarrow\ 0}\bruch{(tv)^5}{t*((2tv)^4+(tv)^5)}[/mm]
was ist denn bei dir v? es ist doch ein einheitsvektor in ner Richtung, also [mm] (cos\alpha,sin\alpha)^T
[/mm]
ebenso [mm] x=(x,y)^T
[/mm]
wenn du das machst hast du es auf ein gewöhnliches eindimensionales Problem zurückgeführt und darfst fast sicher auf die kenntnisse für 1d. fkt zurückgreifen.
Gruss leduart
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