Richtungsdifferenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Mi 26.05.2010 | | Autor: | peter_k |
| Aufgabe | Geg. sei die Funktion
[mm] f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}: (x_1, x_2) \mapsto \begin{cases} \bruch{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^4}, & \mbox{für } (x_1,x_2) \not= (0,0) \\ 0, & \mbox{für } (x_1, x_2)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
a) Die Einschränkung von f auf jede Gerade ist stetig, aber f ist nicht stetig.
b) f ist in allen Punkten des [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] richtungsdifferenzierbar, aber in Ursprung nicht differenzierbar. |
Hallo,
also ich habe erst einmal mit der b) angefangen.
Eine Funktion heißt ja richtungsdiff'bar, wenn [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+th)-f(x_0)}{t} [/mm] existiert. Dabei ist ja h die Richtung in der f differenziert wird.
Nun weiß ich schon nicht wie ich das auf diese Funktion übertrage...also erstmal setze
[mm] x_0:=(x_{01}, x_{02})
[/mm]
Also gilt es z.z., dass [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{??? - \bruch{x_{01}x_{02}^2}{x_{01}^2+x_{02}^4}}{t} [/mm] existiert. Aber was steht bei "???"? ziehe ich das "+th" mit in beide Koordinaten von [mm] x_0 [/mm] rein?
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Danke!
Peter
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mi 26.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] t=\vektor{t1 \\ t2} [/mm] einfach einsetzen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 26.05.2010 | | Autor: | peter_k |
Danke für deine rasche Antwort!
Also sieht das dann so aus?
[mm] \lim_{t \rightarrow 0} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{(x_01+t_1h)(x_{02}+t_2h)^2}{(x_{01}+t_1h)^2+(x_{02}+t_2h)^4}-\bruch{x_{01}x_{02}^2}{x_{01}^2+x_{02}^4}}{t}
[/mm]
Aber dann ergibt ja auch das t im Nenner keinen Sinn...ich glaube ich habs noch nicht ganz verstanden, sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mi 26.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte vorhin übersehen, dass du t im Nenner hattest, das ist sicher sinnlos, da steht ne reelle Zahl h
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Do 27.05.2010 | | Autor: | fred97 |
f ist in jedem (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) differenzierbar. In der Vorlesung hattet Ihr sicher den Satz, dass dann f auch in jedem (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) Richtungsdifferenzierbar ist.
Es bleibt also nur der Nullpunkt zu untersuchen.
Zeige also: $ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(th)}{t} [/mm] $ existiert.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Do 27.05.2010 | | Autor: | peter_k |
> f ist in jedem (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) differenzierbar. In der
> Vorlesung hattet Ihr sicher den Satz, dass dann f auch in
> jedem (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) Richtungsdifferenzierbar ist.
Ja, den Satz hatten wir glaube ich.
> Es bleibt also nur der Nullpunkt zu untersuchen.
>
> Zeige also: [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(th)}{t}[/mm]
> existiert.
Hmm, ok.
Also:
[mm] \lim_{t\rightarrow o}\bruch{f(th)}{t} [/mm] (h ist ja die Richtung, also müsste das ja ein Vektor sein, [mm] h:=(h_1, h_2))
[/mm]
Ist nun [mm] f(th)=\bruch{t^2h_1h_2^2}{t^2h_1^2+t^4h^4}, [/mm] oder wie wende ich die Funktion auf (th) an?
Wenn das bis hierhin richtig ist, dann würde folgen:
[mm] \lim_{t\rightarrow o}\bruch{f(th)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t^2h_1h_2^2}{t^2h_1^2+t^4h^4}}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\bruch{th_1h_2^2}{th_1^2+t^3h_2^4}=\lim_{t\rightarrow 0}\bruch{h_1h_2^2}{h_1^2+t^2h_2^4}=\bruch{h_2^2}{h_1}
[/mm]
Damit existiert dieser Limes. Ist das so richtig?
Viele Grüße und Dank!
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Do 27.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> > f ist in jedem (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) differenzierbar. In der
> > Vorlesung hattet Ihr sicher den Satz, dass dann f auch in
> > jedem (x,y) [mm]\ne[/mm] (0,0) Richtungsdifferenzierbar ist.
>
> Ja, den Satz hatten wir glaube ich.
>
> > Es bleibt also nur der Nullpunkt zu untersuchen.
> >
> > Zeige also: [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(th)}{t}[/mm]
> > existiert.
>
> Hmm, ok.
>
> Also:
>
> [mm]\lim_{t\rightarrow o}\bruch{f(th)}{t}[/mm] (h ist ja die
> Richtung, also müsste das ja ein Vektor sein, [mm]h:=(h_1, h_2))[/mm]
>
> Ist nun [mm]f(th)=\bruch{t^2h_1h_2^2}{t^2h_1^2+t^4h^4},[/mm]
Nicht ganz: es ist [mm]f(th)=\bruch{t^3h_1h_2^2}{t^2h_1^2+t^4h^4},[/mm]
Mache am Ende eine Fallunterscheidung: [mm] h_1=0 [/mm] und [mm] h_1 \ne [/mm] 0
FRED
> oder
> wie wende ich die Funktion auf (th) an?
>
> Wenn das bis hierhin richtig ist, dann würde folgen:
>
> [mm]\lim_{t\rightarrow o}\bruch{f(th)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t^2h_1h_2^2}{t^2h_1^2+t^4h^4}}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\bruch{th_1h_2^2}{th_1^2+t^3h_2^4}=\lim_{t\rightarrow 0}\bruch{h_1h_2^2}{h_1^2+t^2h_2^4}=\bruch{h_2^2}{h_1}[/mm]
>
> Damit existiert dieser Limes. Ist das so richtig?
>
> Viele Grüße und Dank!
>
> Peter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:38 Do 27.05.2010 | | Autor: | peter_k |
Heißt das, dass f nur in Richtung [mm] (h_1, h_2) [/mm] mit [mm] h_1 \not= [/mm] 0 richtungsdiffbar ist?
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Fr 28.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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