Richtungsfeld < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeichnen Sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung [mm]yy'=x[/mm] und zeichnen Sie die Lösungskurve durch den Punkt (2,1) ein.
Schätzen Sie dann anhand der Zeichnung den Wert für x=4 und zeigen Sie, dass für jede Lösung y(x) die Größe [mm]y^2-x^2[/mm] unabhängig von x ist. |
Hallo zusammen,
das Richtungsfeld samt Lösungskurve [mm] ($y'=\frac{x}{y}$) [/mm] habe ich bereits gezeichnet.
Die beiden weiteren Teilaufgaben bereiten mir allerdings Schwierigkeiten:
Wie schätze ich nun anhand der Zeichnung den Wert für einen gegebenen x-Wert (ohne die DGL zu lösen)? Meine Zeichnung gibt mir ja nur Aufschluss über die Steigung am gesuchten Punkt, nicht aber für den Wert von (in diesem Fall) y(4).
Und kann ich bei der letzten Teilaufgabe (dem Beweis) vorgehen? Muss ich hier (doch) eine arithmetische Lösung für die DGL finden?
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeichnen Sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung
> [mm]yy'=x[/mm] und zeichnen Sie die Lösungskurve durch den Punkt
> (2,1) ein.
>
> Schätzen Sie dann anhand der Zeichnung den Wert für x=4
> und zeigen Sie, dass für jede Lösung y(x) die
> Größe [mm]y^2-x^2[/mm] unabhängig von x ist.
>
>
> Hallo zusammen,
>
> das Richtungsfeld samt Lösungskurve habe ich bereits
> gezeichnet. Dabei wird deutlich, dass die Funktion
> achsensymmetrisch ist. Die Lösungskurve spiegelt sich
> daher im Graphen.
>
> Die beiden weiteren Teilaufgaben bereiten mir allerdings
> Schwierigkeiten:
> Wie schätze ich nun anhand der Zeichnung den Wert für
> einen gegebenen x-Wert (ohne die DGL zu lösen)? Meine
> Zeichnung gibt mir ja nur Aufschluss über die Steigung am
> gesuchten Punkt, nicht aber für den Wert von (in diesem
> Fall) y(4).
Ich dachte , Du hast die Lösungskurve gezeichnet ? Dann kannst Du doch y(4) in der Zeichnung ablesen.
Kann es sein , dass Dir nicht klar ist, was ein "Richtungsfeld" ist ?
>
> Und kann ich bei der letzten Teilaufgabe (dem Beweis)
> vorgehen? Muss ich hier (doch) eine arithmetische Lösung
> für die DGL finden?
Aus $ y(x)y'(x)=x $ folgt
(*) $ 2y(x)y'(x)=2x $
nach der Kettenregel hat die Funktion [mm] y(x)^2 [/mm] die Ableitung $ 2y(x)y'(x)$
Integration rechts und links in (*) liefert also was ?
FRED
>
> Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Danke für Deine Antwort!
> > Zeichnen Sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung
> > [mm]yy'=x[/mm] und zeichnen Sie die Lösungskurve durch den Punkt
> > (2,1) ein.
> >
> > Schätzen Sie dann anhand der Zeichnung den Wert für x=4
> > und zeigen Sie, dass für jede Lösung y(x) die
> > Größe [mm]y^2-x^2[/mm] unabhängig von x ist.
> >
> >
> > Hallo zusammen,
> >
> > das Richtungsfeld samt Lösungskurve habe ich bereits
> > gezeichnet. Dabei wird deutlich, dass die Funktion
> > achsensymmetrisch ist. Die Lösungskurve spiegelt sich
> > daher im Graphen.
> >
> > Die beiden weiteren Teilaufgaben bereiten mir allerdings
> > Schwierigkeiten:
> > Wie schätze ich nun anhand der Zeichnung den Wert für
> > einen gegebenen x-Wert (ohne die DGL zu lösen)? Meine
> > Zeichnung gibt mir ja nur Aufschluss über die Steigung am
> > gesuchten Punkt, nicht aber für den Wert von (in diesem
> > Fall) y(4).
>
> Ich dachte , Du hast die Lösungskurve gezeichnet ? Dann
> kannst Du doch y(4) in der Zeichnung ablesen.
>
> Kann es sein , dass Dir nicht klar ist, was ein
> "Richtungsfeld" ist ?
Ich habe den Sinn eines Richtungsfelds wohl tatsächlich nicht verstanden, mich also nochmals schlau gemacht:
Man kann in einem Richtungsfeld Annährungslösungen ablesen. Die Lösungskurve schmiegt sich an den Steigungsgeraden an und somit lässt sich von der Lösungskurve an prinzipiell jedem Punkt eine Näherungslösung ablesen. Je mehr Steigungsgeraden eingezeichnet werden, desto genauer kann die Lösungskurve gezeichnet werden und desto genauer ist die Näherungslösung.
Damit komme ich auf [mm]y(4) \approx 3,7[/mm].
> > Und kann ich bei der letzten Teilaufgabe (dem Beweis)
> > vorgehen? Muss ich hier (doch) eine arithmetische Lösung
> > für die DGL finden?
>
> Aus [mm]y(x)y'(x)=x[/mm] folgt
>
> (*) [mm]2y(x)y'(x)=2x[/mm]
>
> nach der Kettenregel hat die Funktion [mm]y(x)^2[/mm] die Ableitung
> [mm]2y(x)y'(x)[/mm]
>
> Integration rechts und links in (*) liefert also was ?
Damit habe ich jetzt die allgemeine Lösung [mm]y(x)^2 = x^2+C[/mm].
Umgestellt nach C ist der Ausdruck [mm]y^2-x^2[/mm] also immer konstant. Ist das die Begründung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Fr 25.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für Deine Antwort!
>
> > > Zeichnen Sie das Richtungsfeld der Differentialgleichung
> > > [mm]yy'=x[/mm] und zeichnen Sie die Lösungskurve durch den
> Punkt
> > > (2,1) ein.
> > >
> > > Schätzen Sie dann anhand der Zeichnung den Wert für
> x=4
> > > und zeigen Sie, dass für jede Lösung y(x) die
> > > Größe [mm]y^2-x^2[/mm] unabhängig von x ist.
> > >
> > >
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > das Richtungsfeld samt Lösungskurve habe ich bereits
> > > gezeichnet. Dabei wird deutlich, dass die Funktion
> > > achsensymmetrisch ist. Die Lösungskurve spiegelt
> sich
> > > daher im Graphen.
> > >
> > > Die beiden weiteren Teilaufgaben bereiten mir
> allerdings
> > > Schwierigkeiten:
> > > Wie schätze ich nun anhand der Zeichnung den Wert
> für
> > > einen gegebenen x-Wert (ohne die DGL zu lösen)?
> Meine
> > > Zeichnung gibt mir ja nur Aufschluss über die
> Steigung am
> > > gesuchten Punkt, nicht aber für den Wert von (in
> diesem
> > > Fall) y(4).
> >
> > Ich dachte , Du hast die Lösungskurve gezeichnet ?
> Dann
> > kannst Du doch y(4) in der Zeichnung ablesen.
> >
> > Kann es sein , dass Dir nicht klar ist, was ein
> > "Richtungsfeld" ist ?
>
> Ich habe den Sinn eines Richtungsfelds wohl tatsächlich
> nicht verstanden, mich also nochmals schlau gemacht:
>
> Man kann in einem Richtungsfeld Annährungslösungen
> ablesen. Die Lösungskurve schmiegt sich an den
> Steigungsgeraden an und somit lässt sich von der
> Lösungskurve an prinzipiell jedem Punkt eine
> Näherungslösung ablesen. Je mehr Steigungsgeraden
> eingezeichnet werden, desto genauer kann die Lösungskurve
> gezeichnet werden und desto genauer ist die
> Näherungslösung.
>
> Damit komme ich auf [mm]y(4) \approx 3,7[/mm].
>
>
> > > Und kann ich bei der letzten Teilaufgabe (dem Beweis)
> > > vorgehen? Muss ich hier (doch) eine arithmetische
> Lösung
> > > für die DGL finden?
> >
> > Aus [mm]y(x)y'(x)=x[/mm] folgt
> >
> > (*) [mm]2y(x)y'(x)=2x[/mm]
> >
> > nach der Kettenregel hat die Funktion [mm]y(x)^2[/mm] die
> Ableitung
> > [mm]2y(x)y'(x)[/mm]
> >
> > Integration rechts und links in (*) liefert also was ?
>
> Damit habe ich jetzt die allgemeine Lösung [mm]y(x)^2 = x^2+C[/mm].
>
> Umgestellt nach C ist der Ausdruck [mm]y^2-x^2[/mm] also immer
> konstant. Ist das die Begründung?
Ja
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Dankeschön!
|
|
|
|
