Richtungsfeld u. allg. Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Aufgabe:
Bestimme die allgemeine Lösung der Diff.gleichung
x' = [mm] x^{2}-1-t^{2} [/mm]
und skizziere das Richtungsfeld.
Tipp:
Eine spezielle Lösung kann aus dem Richtungsfeld abgelesen werden, und dann kann man eine Diff.gleichung für die Differenz einer beliebigen Lösung der Diff.gleichung mit dieser bekannten Lösung aufgestellen. |
Hallo,
ich hab bei der obigen Aufgabe Schwierigkeiten, das Richtungsfeld zu zeichnen, weil ich nicht weiß, wie das aussieht. Kann mir da bitte jemand helfen?  Aus der Zeichnung soll ich dann eine spez. Lösung ablesen können.
Dann kann ich doch die Differenz bilden:
d(t) = x(t) - [mm] x_{0} [/mm] , wobei x(t) eine beliebige Lösung ist und [mm] x_{0} [/mm] die abgelesene.
Daraus kann ich dann die DGL aufstellen. Als Tipp wurde mir hier die Substitution genannt.
Leider weiß ich aber nicht, wie ich hier auf die beliebige Lösung komme, weil ich aus der gegebenen Gleichung x' nicht auf die Stammfunktion komme. Wie muss man denn hier vorgehen?
Vielen Dank für die Hilfe!
Gruß, milka
|
|
| |
|
Hallo milka,
ich habe keine mühe gescheut, mal das richtungsfeld der GDG zu plotten....
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe
a) dass ich das mit dem hochladen hinkriege
und
b) das die grafik richtig ist... 
Aber die eine leichte lösung kann man auf jeden fall ablesen und sie stimmt auch....
VG
Matthias
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Do 11.05.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Matthias,
vielen dank für das hübsche Bild!
Mit welchem Programm lassen sich denn solche Bilder zeichnen? Kann ich mir das auch irgendwie installieren?
Lg, milka
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe versucht, an dieser Aufgabe weiterzuarbeiten. Habe aber noch einige Schwierigkeiten, bis ich zur Lösung komm.
Die spezielle Lösung, die ich aus dem Richtungsfeld von Matthias ablesen kann, ist doch die Null oder? Also hab ich [mm] x_{0}(t) [/mm] = 0 gesetzt.
Also ist die Differenzgleichung einer bel. Lösung mit diesem [mm] x_{0} [/mm] doch so:
d(t) = x(t) [mm] -x_{0} [/mm] = x(t)-0 = x(t)
Mein Problem ist jetzt, wie komme ich jetzt auf die beliebige Lösung x(t)? Kann man die auch ablesen?
Um auf die DGL zu kommen, soll man die Substitution anwenden. Ich weiß nicht genau, was ich hier in der Differenzgleichung substituieren soll. Wie kann ich hieraus meine gesuchte allgemeine Lösung finden (durch Rückschluss)?
Vielen Dank für die weitere Hilfe!
Milka
|
|
|
| |
|
Hallo milka,
so ganz leicht war es leider nicht, dieses bildchen zu erstellen, man muß schon ein wenig frickeln.... was ich aber gerne getan habe, weil ich das selbst sehr interessant finde und das mein erster versuch war mit GNUPLOT. Gnuplot ist eine plot-software, die du dir frei herunterladen kannst. Allerdings muss man sich da erstmal ein wenig reinfinden (kommt halt von linux...) und für solche richtungsfelder muß man sich erstmal eine datei mit den vektorfeld-daten erstellen, wofür man eine programmiersprache braucht (obwohl, sollte auch mit excel gehen).
Gut, nun zu der GDG: weißt du wie solche richtungsfelder zu lesen sind? im grunde muß man sich vorstellen, man wirft ein partikelchen in das feld und lässt es treiben, die stromlinien sind dann die lösungen.
Insofern frage ich mich wie du auf die 0 kommst.... außerdem kannst du ja ganz leicht die probe machen, und die besteht die 0 leider auch nicht....
ein kleiner tip: wirf den partikel mal in der linken oberen ecke ins richtungsfeld und schau was passiert....
wenn du dann die substitution machst, erhältst du eine bernoulli-DG (-> Wikipedia), die du in eine lineare GDG überführen kannst....
alles recht aufwändig aber bestimmt ein gutes gefühl, wenn du am ende die allgemeine lösung heraushast!
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
Hallo Matthias,
danke erstmal für den Tipp, wie ich mir diese Software runterladen kann.
Da mir Richtungsfelder sehr neu sind, hab ich ehrlich gesagt, nicht die geringste Ahnung, wie man etwas aus solchen Feldern ablesen kann. Ich hab mir die Null als Lösung gedacht, weil sich irgendwie alles um die Null konzentriert auf dem Bild. Ist aber leider falsch...
Ich vesteh nicht, wie man aus dem Bild was ablesen kann. ISt mir alles fremd.
Die Bernoulli-DGL hab ich schon gehört; die hat doch allgemein folgende Form: x' + g(t) x + h(t) [mm] x^{\alpha} [/mm] = 0
Äquivalent dazu ist doch [mm] (x^{1-\alpha})' [/mm] + (1- [mm] \alpha) [/mm] g(t) [mm] x^{1-\alpha}+(1-\alpha) [/mm] h(t) =0
Es handelt sich hier doch um eine Ortstransformation wie folgendermaßem: y:= [mm] \mu [/mm] (x) := [mm] x^{^-\alpha}, [/mm] dies führt dann zu
y' + [mm] (1-\alpha) [/mm] g(t) y = [mm] (\alpha-1) [/mm] h(t), also eine inhomogene lineare DGL.
Also muss x:= [mm] \mu^{-1}(y) [/mm] := [mm] y^{ \bruch{1}{1-\alpha}} [/mm] die Lös. der Bernoulli-DGL im allgemeinen FAll sein.
Aber wie kann ich das jetzt auf meine Aufgabe anwenden?
Ich jetzt die gegebene Gleichung [mm] x'(t)-x(t)^{2}+(1+t^{2})=0 [/mm] mit einem Faktor multiplizieren, sodass- wie beim allg. Fall- im 2. Summand die Stammfkt. von dem im 1. Summanden steht. Aber wie komm ich da drauf?
Kannst du mir da bitte weiterhelfen?
Vielen Dank,
milka
|
|
|
| |
|
Hallo milka,
also in den richtungsfeldern kannst du, wie der name schon sagt, die richtung (->ableitung) von lösungen in bestimmten punkten ablesen.
wenn du einen partikel bspw. in der linken oberen ecke in das feld wirfst (stell dir die pfeile als strömungen vor), dann wird er geradeaus bis in die rechte untere ecke getrieben.... Klar? die 'leicht' ablesbare lösung deiner GDG ist also $x=-t$. wenn du jetzt $y=x-(-t)$ substituierst, erhältst du eine bernoulli-DG für $y$.Probier das mal aus!
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank für die Hilfe bei der speziellen Lösung [mm] x_{0}(t) [/mm] = -t. Ich wusste nicht, dass die Gerade auf dem Richtungsfeld die gesuchte spezielle Lösung ist und dass man es so lecith ablesen kann.Ich dachte, man muss die anderen Pfeile die hoch und runter gehen auch mit berücksichtigen bei der Bewegung des Partikels.
Wenn ich jetzt [mm] x_{0} [/mm] ableite kommt -1 heraus; setze ich das jetzt in die gegebene Gleichung ein, steht da also: [mm] x_{0}'(t) [/mm] = [mm] x_{0}(t)^{2}-1-t^{2}, [/mm] also -1 = [mm] t^{2}-1-t^{2}, [/mm] stimmt.
Ich hab versucht d(t) = x(t)-(-t)=x(t)+t zu substituieren,aber ich kapier ich irgendwie nicht wie ich da was ersetzen muss.
Die Bernoulli-DGL hat doch folg. Form: [mm] x'+g(t)x+h(t)x^{\alpha}=0
[/mm]
Wie soll ich jetzt für d(t) =x(t)+t eine DGL aufstellen, sodass dann am Ende eine Bernoulli-Gleichung entsteht? Ich hab doch gar keine Ableitung in d(t) = x(t) + t. Muss ich jetzt annehmen, dass d(t) die Ableitung ist? Dann wäre die Stammfunktion von d(t): D(t)= [mm] \integral_{}^{}{d(t) dt}= \bruch{1}{2}x(t)^{2}+ \bruch{1}{2}t^{2}
[/mm]
Wie muss ich jetzt genau Ersetzung durchführen, um eine Bernoulli-Form erkennen zu können?
Danke vielmals!
Milka
|
|
|
| |
|
Hallo milka,
du hast die DG
[mm] $x'=x^2-1-t^2$ [/mm]
und die spezielle lösung [mm] $x_0(t)=-t$. [/mm] So, setze jetzt [mm] $d=x-x_0=x+t$. [/mm] Versuche jetzt, in der obigen DG von $x$ nach $d$ überzugehen. Aus $x=d-t$ folgt $x'=d'-1$ und [mm] $x^2=d^2-2t\cdot d+t^2$. [/mm] Also durch einsetzen
[mm] $d'-1=d^2-2t\cdot d+t^2-1-t^2$
[/mm]
[mm] $\gdw d'=d^2-2t\cdot [/mm] d$
Auf diese DG in $d$ kannst du jetzt dein Bernoulli-Wissen anwenden...
VG
Matthias
|
|
|
|
