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| Aufgabe | Zeichne das Richtungsfeld der Differentialgleichung: yy'=x
Zeichne eine Lösungskurve durch den Punkt (2,1) ein und schätze anhand der Zeichnung den Wert für x=4.
Zeige: Für jede Lösung y(x) ist die Größe [mm] y^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] unabhängig von x: Hint: Betrachte
die Funktion [mm] f(x):=y^2 -x^2 [/mm] und berechne die Ableitung f'. |
Auf den Ziege: für jede y(x) ... wollte ich eine Frage stellen.
Was heißt es, wenn die Größe [mm] y^2-x^2 [/mm] unabhängig von x ist.
f'(x) = 2y - 2x ist doch als Ableitung richtig?
Jedoch weiß ich nicht, wie sie mir weiterhelfen würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Do 31.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
f'(x) = 2y - 2x ist doch als Ableitung richtig?
nein, das ist falsch!
schreib besser [mm] f(x)=y^2(x)+x^2
[/mm]
dann siehst du vielleicht besser, dass du vei der Ableitung von [mm] y^2 [/mm] die kettenregel vergessen [mm] hast(g^2(x))'=2*g(x)*g'(x)
[/mm]
dann setz ein!
Gruss leduart
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Also bekomme ich f'(x) = 2 * y(x)*y'(x) - 2x raus.
yy' ist ja x. Ist also jede Ableitung 0?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:26 Do 31.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine DGL sagt also , dass f'=0 ist was folgt daraus für f? kann f von x abhängen?
Gruss leduart
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hi nochmal,
ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich den Begriff abhängigkeit interpretieren soll.
Für f ist x eigentlich vollkommen egal. Wenn die Steigung immer null ist, dann verläuft der Graph parallel zur x-Achse.
danke für die Geduld
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Do 31.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn [mm] y^2(x)-x^2 [/mm] unabhängig von x sein soll muss es eine Konstante sein also [mm] y^2=x^2+const [/mm] sein!
Du hast also gezeigt dass aus f'(x)=0 deine Dgl yy'=x bzw yy'-x=0 folgt, dass [mm] y^2=x^2+c [/mm] sein muss! hast also eine Lösung gefunden. [mm] y=\wurzel{x^2+c}
[/mm]
(Mit etwa Übung sieht man das direkt, weil man sieht dass yy'-x=0 die Ableitung der Gleichung [mm] 1/2y^2-1/2x^2=c [/mm] ist.)
Gruss leduart
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