Riemann-Integral/ Hauptsatz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Leute,
ich weiß nicht genau, wie folgende Aufgabe zu rechnen ist - ich habe Ansätze, aber den Beweis kann ich irgendwie nicht auf die Reihe:
Also: Sei F,f: [a,b] nach R stetig und F sei in (a,b) eine Stammfunktion von f. D.h. es gelte F' (x) = f(x) für alle xE(a,b) .
Beweisen sie, dass gilt (und jetzt kommt de3r Hauptsatz der Diff. und Integralrechnung)
Integral in den Grenzen a und b f (x) dx = F (b) - F (a)
Wie mache ich das???
Wisst ihr einen Lösungsansatz????
Vielen Dank CATHY
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 So 09.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo CATHY
aus deiner unter enormem Zeitdruck hingeschriebene Aufgabe geht nicht so richtig hervor, ob auch der Hauptsatz der Diff. und Integralrechnung zu beweisen ist, oder nur:
[mm]\int_{a}^{b}f(x)\, dx = F(b) - F(a)[/mm]
Ich nehme mal an, dass nur das Untere zu beweisen ist.
Zum Beweis nehme ich als Stammfunktion die zugehörige Flächenfunktion
(Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse):
[mm]F(x) = \int_{a}^{x}f(x)\, dx[/mm]
und hier gilt offensichtlich:
[mm]F(a) = 0[/mm]
Somit ist tatsächlich:
[mm]\int_{a}^{b}f(x)\, dx = F(b) = F(b) - F(a)[/mm]
qed 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 So 09.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hi Paulus,
also den Hauptsatz haben wir in der Vorlesung bewiesen.
Hier soll bewiesen werden, dass es egal ist, ob das Intervall offen ist oder geschlossen.
Ist das so richtig gewesen in meiner Aufgabe?
Irgendwie war ja auch die Stetigkeit noch wichtig, oder?
Danke für die Mühe!!!
Cathy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 So 09.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Cathy
>Also: Sei F,f: [a,b] nach R stetig und F sei in (a,b) eine Stammfunktion von >f. D.h. es gelte F' (x) = f(x) für alle xE(a,b) .
>
>Beweisen sie, dass gilt (und jetzt kommt de3r Hauptsatz der Diff. und >Integralrechnung)
>
>Integral in den Grenzen a und b f (x) dx = F (b) - F (a)
Also, unter diesen Umständen muss ich auch passen!
ich denke aber, dass meine Interpretation, wie ich sie in der ersten Antwort gegeben habe, doch richtig war. Denn ich meine, dass der Ausdruck F (b) - F (a) ja gar nicht definiert ist, weil ja die Stammfunktion
F(x) in den Punkten a resp. b überhaupt nicht definiert ist (Sie ist ja gemäss Voraussetzung nur auf dem offenen Intervall (a,b) definiert!
Ich muss leider den Status der Frage wieder auf halbbeantwortet stellen!
Es würde mich aber doch interessieren (in einigen Tagen), ob nicht doch meine 1. Antwort richtig war!
Teilst du mir das bei Gelegenheit bitte mit?
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hi Paulus,
klar kann ich machen.
Ich werde es mir aufschreiben, allerdings musst du leider bis Freitag warten, weil wir erst dann unsere Übungsblätter zurück bekommen.
Ich glaube auch, dass die Antwort richtig ist, da ja xE (a,b)...
Ist das damit nicht schon klar???
Gruß Cathy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo nochmal,
weiß jemand, wie man diese Aufgabe auf Stetigkeit, bzw. F auf gleichmäßige Stetigkeit überprüft?
Allerdings steht dann F(x)= Integral in den Grenzen a und x f(t)dt
Wie kann man die Behauptung dazu begründen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Di 11.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Catherine,
sehe ich das richtig, dass du die gleichmäßige Stetigkeit von
[mm]F\, :\, [a,b] \to \IT[/mm]
[mm]F(x) = \int_a^x f(t)\, dt[/mm] [mm](x \in [a,b])[/mm]
zeigen willst, wenn
[mm]f\, :\, [a,b] \to \IR[/mm]
stetig ist?
Nun ja, das ist nicht schwierig. 
Die stetige Funktion [mm]f[/mm] ist auf dem kompakten Intervall [mm][a,b][/mm] beschränkt. Daher gilt:
[mm]L:= \sup\limits_{t \in [a,b]} |f(t)| < + \infty[/mm].
Man erhält nun für alle [mm]x,y\in [a,b][/mm]
[mm]\qquad |F(x)-F(y)[/mm]
[mm]= |\int_y^x f(t)\, dt|[/mm]
[mm] \le L \cdot |x-y|[/mm],
d.h. [mm]F[/mm] ist Lipschitz-stetig und damit gleichmäßig stetig.
(Man kann ein eindimensionales Integral betragsmäßig durch das Produkt des Supremums des Integranden auf dem Integrationsintervalls und der Länge des Integrationsintervalls abschätzen. Dies folgt aus der Monotonie des Integrals und der Tatsache, dass das Integral über eine Konstante einfach die Konstante mal die Lönge des Integrationsintervalls ist.)
Melde dich bitte wieder, wenn du konkrete Fragen zu dem Beweis hast.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 11.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hi Stefan,
also es sieht so aus:
Es sein f: [a,b] Pfeil nach R eine R-integrierbare Abb. . Man soll nun beweisen, dass die Abb. F: [a,b] Pfeil nach R definiert durch
F(x) = Integral von a nach x f(t)dt
stetig ist.
Frage: Ist F gleichmäßig stetig? Behauptung muss begründet werden.
Übrigens haben wir bei uns die Lipschitz-Stetigkeit nicht gemacht. Ich weiß nicht genau, ob das dann benutzen darf. Ich habe darüber gelesen, aber eben nicht in der Vorlesung. Darum kenne ich mich da überhaupt nicht aus.
Vielen Dank schon mal, Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Di 11.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine,
okay, dann vergessen wir den Begriff der Lipschitz-Stetigkeit!
Hast du denn verstanden, wie ich
$|F(x) - F(y)| [mm] \le [/mm] L [mm] \cdot [/mm] |x-y|$
gezeigt habe?
Dann ist der Rest nur noch Formsache.
Zu zeigen ist bei der gleichmäßigen Stetigkeit:
Für ein beliebig vorgegebens [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]\delta >0[/mm], so dass für alle [mm]x,y \in [a,b][/mm] mit [mm]|x-y|<\delta[/mm] die Beziehung
[mm]|F(x)-F(y)| < \varepsilon[/mm]
gilt:
Es sei nun [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben. Wir wählen [mm]\delta:=\frac{\varepsilon}{L}>0[/mm]. Dann gilt für alle [mm]x,y \in [a,b][/mm] mit
[mm]|x-y|<\delta[/mm]
die Ungleichungskette:
[mm]|F(x)-F(y)| \le L \cdot |x-y| < L \cdot \delta = L \cdot \frac{\varepsilon}{L} = \varepsilon[/mm],
also insgesamt:
[mm]|F(x)-F(y)| < \varepsilon[/mm],
was zu zeigen war. Daher ist [mm]F[/mm] gleichmäßig stetig und insbesondere stetig.
Klar?
Liebe Grüße
Julius (Wusste meinen Namen offenbar nicht mehr... )
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Do 13.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Julius,
du hast die Definition der gleichmäßigen Stetigkeit benutzt...!
Und ich verstehe auch alles bis auf das L!!!
Ist das einfach eine beliebige Zahl aus R, die du L genannt hast..?
Ich muss doch jetzt nur noch die Behauptung begründen (so verlangt es die Aufgabe) und das ganze in eine ordentlich Form auf meinem Blatt bringen, oder?
Hast du dann nicht doch fast die ganze Aufgabe gelöst? (Was heißt "Fast"...)
Tausend Dank, Cathrine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Do 13.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine,
hier noch einmal der Abschnitt, wo das $L$ definiert wurde:
Die stetige Funktion [mm]f[/mm] ist auf dem kompakten Intervall [mm][a,b][/mm] beschränkt. Daher gilt:
[mm]L:= \sup\limits_{t \in [a,b]} |f(t)| < + \infty[/mm].
Man erhält nun für alle [mm]x,y\in [a,b][/mm]
[mm]\qquad |F(x)-F(y)[/mm]
[mm]= |\int_y^x f(t)\, dt|[/mm]
[mm] \le L \cdot |x-y|[/mm].
Dadurch bekam man die schöne Ungleichung:
$|F(x)-F(y)| [mm] \le [/mm] L [mm] \cdot [/mm] |x-y|$.
Den Rest habe ich ja dann im letzten Beitrag erledigt.
Stimmt, damit ist die Aufgabe gelöst.
(Man hätte sie aber auch einfacher lösen können, siehe hier: https://matheraum.de/read?f=17&t=518&i=518 und meine darauf folgende Antwort.)
Schreib ruhig beide Lösungen auf.
Liebe Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathy,
> Also: Sei F,f: [a,b] nach R stetig und F sei in (a,b) eine
> Stammfunktion von f. D.h. es gelte F' (x) = f(x) für alle
> xE(a,b) .
>
> Beweisen sie, dass gilt (und jetzt kommt de3r Hauptsatz der
> Diff. und Integralrechnung)
>
> Integral in den Grenzen a und b f (x) dx = F (b) - F (a)
Du mußt folgendes zeigen:
1.) Für alle (weiteren) Stammfunktionen G von f gilt: G(x)=F(x)+c (ganz leicht zu zeigen)
2.) Nun zeigst du, dass die Integralfunktion [mm] J_a [/mm] mit [mm] $J_a(x):=\integral_a^x [/mm] f(t) dt$ ebenfalls eine Stammfunktion ist (z.z.: $J'_a(x)=f(x)$, Standardbeweis mit Zwischenwertsatz)
3.) Nun ist offenbar: [mm] $\integral_a^b [/mm] f(t) [mm] dt=J_a(b)=\underbrace{J_a(b)}_{=F(b)+c,\mbox{ \scriptsize{siehe 1.}}}-\underbrace{J_a(a)}_{=F(a)+c}=(F(b)+c)-(F(a)+c)=F(b)-F(a)$
[/mm]
An Paul: Ich denke, hier war schon zu zeigen, dass der Hauptsatz für die feststehenden Stammfunktion $F$ gilt; du hast dir aber doch eine Stammfunktion (Integralfunktion) selbst gewählt...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Marc,
irgendwie habe ích damit ziemlich Verständnisschwierigkeiten... :-(
1) Kann man den ganz leichten Beweis aus irgendeiner Def. ableiten?
2) Darf ich den Zwischenwertsatz überhaupt benutzen, wenn er in der Vorlesung noch nicht dran kam????
Wir haben den nur in Zusammenhang mit Differentialrechnung gemacht!!!
Vielen Dank, Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:53 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathy,
> 1) Kann man den ganz leichten Beweis aus irgendeiner Def.
> ableiten?
Für eine weitere Stammfunktion G gilt ja ebenfalls: G'(x)=f(x), wie ja auch für F'(x)=f(x).
Ich betrachte nun die Differenzfunktion G-F.
Es ist ja offenbar (G-F)'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0, also hat G-F an jeder Stelle die Steigung 0, was nichts anderes heißt, als dass G-F=const, also G(x)=F(x)+c.
> 2) Darf ich den Zwischenwertsatz überhaupt benutzen, wenn
> er in der Vorlesung noch nicht dran kam????
> Wir haben den nur in Zusammenhang mit Differentialrechnung
> gemacht!!!
Zu welcher Vorlesung gehören denn diese Aufgaben? Habt Ihr Differentialrechnung nicht in einer vorherigen Vorlesung behandelt, auf die die jetztige Vorlesung aufbaut?
Falls nein, dann hattet Ihr aber doch bestimmt schon den Satz, dass jede Integralfunktion eine Stammfunktion ist?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:58 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hi Marc,
die Vorl. ist Analysis 2!
Wir hatten letztes Semester auch Differenzialrechnung und da auch den Zw'wertsatz, aber nicht den Zw'wertsatz der Integration...
Den gibt es doch auch, oder???
Aber dass jede Integralfunktion eine Stammfunktion ist, das haben wir letzte vorl. gemacht,ja!!!
Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:07 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathy,
> die Vorl. ist Analysis 2!
> Wir hatten letztes Semester auch Differenzialrechnung und
> da auch den Zw'wertsatz, aber nicht den Zw'wertsatz der
> Integration...
Nein, ich meinte schon den Zwischenwertsatz der Differenzialrechnung (weiß nicht, ob es einen Zwischenwertsatz der Integration gibt?)
> Den gibt es doch auch, oder???
> Aber dass jede Integralfunktion eine Stammfunktion ist,
> das haben wir letzte vorl. gemacht,ja!!!
Umso besser, denn das ist doch nur bzw. ist genau meine Aussage 2.)!
Damit ist kaum etwas mehr zu zeigen für diese Aufgabe, nur die drei Schritte in meiner ersten Antwort sind zu gehen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:13 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Okay, wenn man den Zw'wertsatz der Differentation benutzt, ist es okay, dann weiß ich es einigermaßen. Ich glaube, ich gebe jetzt so langsam auf! Ich bin soooo müde!
Nochmals danke für alle Hilfe heute Abend!
Bye Cathy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:17 Mo 10.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Cathy!
> Okay, wenn man den Zw'wertsatz der Differentation benutzt,
> ist es okay, dann weiß ich es einigermaßen. Ich glaube, ich
Aber den brauchst du doch jetzt nicht mehr, da Ihr den Satz ("Jede Integralfunktion ist Stammfunktion") doch schon in der Vorlesung bewiesen hatten (wahrscheinlich mit dem Zwischenwertsatz, aber das ist ja jetzt egal).
> gebe jetzt so langsam auf! Ich bin soooo müde!
Ich auch!
> Nochmals danke für alle Hilfe heute Abend!
Das nächste Mal beginnen wir aber früher mit deinem Zettel, okay?
Viele Grüße,
Marc
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