Riemann-Summe für Integralber. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Fr 07.11.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Zu berechnen ist das folgende Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{\wurzel{x} dx}
[/mm]
Hierbei soll die Berechnung nicht mit Hilfe des Hauptsatzes der Diff.- und Int.rechnung, sondern mit Hilfe von Riemann-Summen erfolgen.
Bilden Sie hierzu für jedes natürliche n eine nicht äquidistante Zerlegung [mm] Z_{n} [/mm] , bei der Sie die Zwischenpunkte [mm] \xi_{n,j} [/mm] so wählen können, dass [mm] \wurzel{\xi_{n,j}}=\bruch{j}{n} [/mm] gilt. Warum genügt die Betrachtung einer einzigen Riemann-Folge? |
Mich verwirrt der Doppelindex bei dem [mm] \xi [/mm] ... warum soll man das mit n und j machen? Muss ich eine Doppelreihe berechnen?
Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Fr 07.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zu berechnen ist das folgende Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\wurzel{x} dx}[/mm]
>
> Hierbei soll die Berechnung nicht mit Hilfe des Hauptsatzes
> der Diff.- und Int.rechnung, sondern mit Hilfe von
> Riemann-Summen erfolgen.
> Bilden Sie hierzu für jedes natürliche n eine nicht
> äquidistante Zerlegung [mm]Z_{n}[/mm] , bei der Sie die
> Zwischenpunkte [mm]\xi_{n,j}[/mm] so wählen können, dass
> [mm]\wurzel{\xi_{n,j}}=\bruch{j}{n}[/mm] gilt. Warum genügt die
> Betrachtung einer einzigen Riemann-Folge?
> Mich verwirrt der Doppelindex bei dem [mm]\xi[/mm] ... warum soll
> man das mit n und j machen?
[mm] \xi_{n,j} [/mm] ist der j-te Zwischenpunkt der Zerlegung [mm] Z_n
[/mm]
> Muss ich eine Doppelreihe
> berechnen?
Schreib doch mal die zu [mm] Z_n [/mm] gehörige Riemannsumme hin ....
FRED
>
> Dank im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Fr 07.11.2014 | | Autor: | bquadrat |
Ah okay. Ich möchte auf einen Ausdruck:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{j=1}^{n}(f(\xi_{n,j})(x_{n,j}-x_{n,j-1})))=\limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{j=1}^{n}(\wurzel{\xi_{n,j}}(x_{n,j}-x_{n,j-1}))) [/mm] und hinterher irgendwie dazu kommen, dass [mm] \wurzel{\xi_{n,j}}=\bruch{j}{n} [/mm] gilt. Auf jeden Fall muss gelten: [mm] \xi_{n,j}\in[x_{n,j-1},x_{n,j}] [/mm] und [mm] |Z_{n}| [/mm] muss gegen 0 konvergieren. Und ich habe ehrlich gesagt nicht die leiseste Ahnung, wie ich dieses [mm] Z_{n} [/mm] wählen sollte....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Fr 07.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Zwischenpunkte. die du [mm] x_i [/mm] nennst sollen doch die [mm] \Xi_{i,n} [/mm] sein! schreib das doch mal für n=2 und 4 auf!
wenn du gewohnt bist die Punkte [mm] x_i [/mm] zu nennen dann schreib einfach für n=4 etwa [mm] x_i=i^2/4, [/mm] i =0,1,2,3,4)
und zeichne es für dich mal auf!
Gruß leduart
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