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| Aufgabe | Auf dem kompakten Intervall [a,b] [mm] \subset \IR [/mm] seien [mm] f_{n} [/mm] : [a,b] [mm] \to \IR. [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] Riemann-integierbare Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion f : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] konvergieren.
Zeigen Sie: Die Funktion f ist ebenalls auf [a,b] Riemann-integierbar. |
Hallo!
Ich weiß bei dieser Aufgabe einfach nicht, wie ich sie lösen kann und hoffe, dass Sie mir vielleicht helfen könnten.
Ich hatte mir bisher gedacht, dass die gleichmäßige Stetigkeit ja auf der Definition beruht, dass || [mm] f_{n} [/mm] - f [mm] ||_{\infty , k} \to [/mm] 0 (n [mm] \to \infty [/mm] ) .
Nun geht aus der Aufgabenstellung hervor, dass [mm] f_{n} [/mm] Riemann-integierbar ist, also auch abgeschlossen und beschränkt.
Ebenso wäre ja g:= || [mm] f_{n} [/mm] - f || konvergent und demnach auch beschränkt. Lässt sich nicht hieraus dann folgern, dass auch f beschränkt sein muss; ich denke nämlich, dass g nicht beschränkt wäre, wenn nicht auch f beschränkt ist.
Ich hatte überlegt, ob nicht auch f abgeschlossen ist auf dem Intervall [a,b] nach Aufgabenstellung und dass sich auf diesen beiden Eigeschaften die Riemann-Integierbarkeit von f begründen lässt?
Ich würde mich über Antworten sehr freuen.
Vielen Dank im Voraus,
mathehase
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 21.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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