Riemann Formel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Sa 06.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Guten Abend...
Ich hab hier sone Formel, die mit dem Riemann Integral zu tun haben soll, was mir aber nicht ganz klar ist.
Hier die Formel(ich musste übrigens beweisen, dass das immer 1 ist, trotzdem weiss ich nicht für was sie gut ist):
(k + 1) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\summe_{i=0}^{n} * i^{k}}{(n+1)^{k+1}} [/mm] = 1
So...die Riemann Summe ist doch aber [mm] \summe_{i=0}^{n} x_{i}^{k}*\bruch{1}{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=0}^{n} x_{i}^{k}}{n+1} [/mm]
Das müsst doch jetzt die Stammfunktion von [mm] x^{k} [/mm] sein? Und wenn ich es über den Bekannten Weg ausrechne ist [mm] \integral_{}^{}{x^{k} dx} [/mm] = [mm] \bruch{x^{k+1}}{k+1}.
[/mm]
Wenn ich das jetzt "verknüpfe" mit meiner Formel, die ich nicht verstehe, dann komme ich auf: [mm] \bruch{\summe_{i=0}^{n} x_{i}^{k}}{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)^{k}}{k+1} [/mm] ???
Ich weiss selber nicht genau was ich jetzt genau fragen soll, aber einfach eine Erklärung für was die Formel ist wäre gut, denke ich.
Gruss
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Hallo!
> Guten Abend...
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> Ich hab hier sone Formel, die mit dem Riemann Integral zu
> tun haben soll, was mir aber nicht ganz klar ist.
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> Hier die Formel(ich musste übrigens beweisen, dass das
> immer 1 ist, trotzdem weiss ich nicht für was sie gut
> ist):
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> (k + 1) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\summe_{i=0}^{n} * i^{k}}{(n+1)^{k+1}}[/mm]
> = 1
Deine Formel hat durchaus etwas mit dem Riemann-Integral zu tun, allerdings in leicht veränderter Form:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\summe_{i=0}^{n}i^{k}}{(n+1)^{k+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{k+1}$
[/mm]
Du hast $f(x) = [mm] x^{k}$. [/mm] Du möchtest von 0 bis a integrieren.
Als n+1 Stützstellen wählen wir [mm] $x_{i} [/mm] = [mm] \frac{i}{n}*a$, [/mm] i = 1,..,n.
Dann lautet die Riemann-Summe (in Form der Obersumme):
[mm] $\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})*(x_{i}-x_{i-1})$
[/mm]
$= [mm] \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}*a\right)^{k}*\frac{a}{n}$
[/mm]
[mm] $=a^{k+1}*\left(\frac{1}{n^{k}}*\sum_{i=1}^{n}i^{k}\right)$
[/mm]
Und nach deiner Formel konvergiert das für [mm] n\to\infty [/mm] gegen:
$= [mm] \frac{a^{k+1}}{k+1}$,
[/mm]
was ja durchaus richtig ist.
(Wenn n [mm] \to \infty, [/mm] ist es egal, ob im Nenner [mm] n^{k} [/mm] oder [mm] (n+1)^{k} [/mm] steht - es kommt nur auf den Koeffizienten des n's mit der größten Potenz an (da im Zähler ja auch ein Polynom steht), und der ist in beiden Fällen "1").
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Sa 06.03.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Perfekt! Danke Stefan.
Jetzt kapier ichs. Es gibt jetzt alles einen Sinn; ). Ich musste darum auch zeigen, dass
[mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{n-1} [/mm] f(a + [mm] \bruch{i}{n}*(b-a) [/mm]
=
[mm] \bruch{b-a}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=0}^{n-1} [/mm] f(a + [mm] \bruch{i+1}{n}*(b-a) [/mm]
ist. Und da kann man ja den Index verschieben und weil es für n -> [mm] \infty
[/mm]
eine Unendlich kleine verschiebung ist, ist das auch gleich.
Gruss
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