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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale durch Berechnung geeigneter Ober- und Untersummen:
1) [mm] \integral_{a}^{b}{xdx} [/mm] durch äquidistante Zerlegung [mm] x_{i} [/mm] = a + i/n (b - a), i = 0,...n des Integrationsintervalls
2) [mm] \integral_{a}^{b}{1/x} [/mm] für 0<a<b durch logarithmisch äquidistante Zerlegung [mm] x_{i}= b/a^{i/n} [/mm] a, i=0,..,n |
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgaben lösen soll, kann mir jemand weiterhelfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 So 20.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie die folgenden Integrale durch Berechnung
> geeigneter Ober- und Untersummen:
>
> 1) [mm]\integral_{a}^{b}{xdx}[/mm] durch äquidistante Zerlegung
> [mm]x_{i}[/mm] = a + i/n (b - a), i = 0,...n des
> Integrationsintervalls
>
> 2) [mm]\integral_{a}^{b}{1/x}[/mm] für 0<a<b durch logarithmisch
> äquidistante Zerlegung [mm]x_{i}= b/a^{i/n}[/mm] a, i=0,..,n
> Hallo,
>
> ich habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgaben lösen
> soll, kann mir jemand weiterhelfen?
na, da musst Du schon einfach nur die Definitionen mal bemühen, was
insbesondere voraussetzt, dass Du sie nachschlägst und verstehst.
Zu a), da diese fast trivial ist:
Erinnerung:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral#Ober-_und_Untersummen
Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist mit [mm] $a+\frac{0}{n}(b-a)=a=x_0 [/mm] < [mm] a+\frac{1}{n}(b-a)=x_1 [/mm] < ... < [mm] a+\frac{n-1}{n}(b-a)=x_{n-1} [/mm] < [mm] b=a+\frac{n}{n}(b-a)=x_n$ [/mm]
offensichtlich eine Zerlegung des Intervalls [mm] $(a,b)\,$ [/mm] gefunden.
(Nebenbei: Es gibt da sauberere Notationen, wie den des Zerlegungsvektors; sowas wird etwa
hier (klick!) (erste Komponente) benutzt...)
Was ist denn, Deines Erachtens, hier
[mm] $\sup_{x_{k-1} < x < x_k} x\;\;=\;\;\sup\{x:\;\;x_{k-1} < x < x_k\}$
[/mm]
bzw.
[mm] $\inf_{x_{k-1} < x < x_k} x\;\;=\;\;\inf\{x:\;\;x_{k-1} < x < x_k\}$?
[/mm]
Hinweis:
Beachte [mm] $x_{k-1} [/mm] < [mm] x_k$ [/mm] für jedes $1 < k < [mm] n\,.$ [/mm] Zudem bedenke für [mm] $-\infty [/mm] < r [mm] \le [/mm] s < [mm] \infty$:
[/mm]
[mm] $\sup ]r,s[\;\;=\;\;s$ [/mm] und [mm] $\inf ]r,s[\;\;=\;\;r.$
[/mm]
(Je nach Argumentationskoffer kann man auch zu Mitteln greifen, die die
Stetigkeit und (strenge) Monotonie (monoton wachsend) von $x [mm] \mapsto \text{id}(x)=x$
[/mm]
heranziehen.)
Schreibe jetzt mal [mm] $U(Z_n)$ [/mm] und [mm] $O(Z_n)$ [/mm] hin und lasse mal $n [mm] \to \infty$ [/mm] streben.
Dann denke drüber nach (wie ich das genau meine, das findest Du im
Wiki-Artikel, den ich verlinkt habe oder sicher auch in Deiner
Vorlesungsmitschrift), was das für Konsequenzen bzgl.
[mm] $\overline{\int_a^b}x\,dx$
[/mm]
bzw.
[mm] $\underline{\int_a^b}x\,dx$
[/mm]
nach sich zieht. Achte darauf, dass dabei Deine Argumente sauber und
schlüssig formuliert sind bzw. werden. Es ist nicht wirklich schwer, aber
eine wirklich gute Übung, um derartige Beweise anhand dieses einfachen
Beispiels mal "mitzudurchlaufen".
P.S. Wenn der Groschen noch gar nicht fällt, dann schreibe Dir mal das
Ganze hin für bspw. [mm] $a=3\,$ [/mm] und [mm] $b=5\,,$ [/mm] und wähle Dir ein paar [mm] $n\,$'s [/mm] dann
auch erstmal aus, etwa:
1.) [mm] $n=2\,,$
[/mm]
2.) [mm] $n=5\,,$
[/mm]
3.) [mm] $n=20\,,$
[/mm]
4.) [mm] $n=100\,.$
[/mm]
Sowas kann auch oft (gerade anfangs) helfen...
P.S. [mm] $x_k:=a+\frac{k}{n}(b-a)$ [/mm] für [mm] $k=0,\ldots,n$ [/mm] meint das Gleiche wie bei Dir in der
Aufgabenstellung (ich finde nur die Indexbezeichnung [mm] $k\,$ [/mm] "lesbarer" als
die Indexbezeichnung [mm] $i\,$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo,
ich habe jetzt in meine Mitschriften geguckt und versucht das analog dazu zu machen. Könnte das Folgende vielleicht richtig sein?
Auf [mm] [x_{i-1}, x_{i}] [/mm] gilt wegen Monotonie:
[mm] x_{i-1} \le [/mm] x [mm] \le x_{i}
[/mm]
= a + ((i-1)/n) (b-a) a + (i/n) (b-a)
Untersumme
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (a+ ((i-1)/n) (b-a) ) [mm] (x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1} [/mm] )
= a * ((b-a)/n) [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] ((b-a)/n)^(i-1)
So in etwa?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 So 20.10.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo xxela89xx,
etwas mehr Gründlichkeit dürfen wir wohl schon erwarten.
> ich habe jetzt in meine Mitschriften geguckt und versucht
> das analog dazu zu machen.
Gute Idee. Am besten macht man das sogar vor der ersten Anfrage.
> Könnte das Folgende vielleicht
> richtig sein?
>
> Auf [mm][x_{i-i}, x_{i}][/mm] gilt wegen Monotonie:
[mm] x_{i-i}? [/mm] Das wäre doch leichter zu notieren.
> [mm]x_{i} \le[/mm] x [mm]\le x_{i}[/mm]
Aha. [mm] x_i=x
[/mm]
Meinst Du das wirklich?
> = a + i-1/n (b-a) a + i/n (b-a)
Wer ist hier gleich irgendwas? Wo fängt ein Bruch an, wo endet er? Steht (b-a) hier im Zähler oder im Nenner? Du bist doch nun lang genug dabei, um so ein bisschen LaTeX zu verwenden. Wenn das immer noch nicht geht, dann setze wenigstens alle nötigen Klammern.
> Untersumme
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (a+ i-1/n (b-a) ) [mm](x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1}[/mm] )
>
> = a * (b-a)/n [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] ((b-a)/n)^(i-1)
Notation: dito. Wir könnten uns das Richtige zurechtlesen, aber wissen nicht, ob Du das überhaupt meinst.
> So in etwa?
Keine Ahnung. Ich bin Prophet, aber kein Hellseher.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 So 20.10.2013 | | Autor: | xxela89xx |
Hallo reverend,
deine Witze kannst du unter einem anderen Artikel veröffentlichen, es hätte auch ausgereicht, wenn du gesagt hättest, dass ich den Artikel überarbeiten soll, weil es wirklich ein paar Tippfehler gab.
Gruß
Ela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 So 20.10.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
da hast Du irgenwas missverstanden.
Ich habe keinen Witz gemacht und nichts irgendwie lustig gemeint.
Du bist dran.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Di 22.10.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Schritt schreibe [mm] x_i-x_|i-1) [/mm] hin.
2 Schritt bilde die Summe über das ausgerechnete [mm] (x_i-x_|i-1) )*f(x_i) [/mm] als Obersumme.
entsprechend die Untersumme
3. vielleicht zeichnest du dir die funktion f(x)=x mal auf und teilst die Strecke von a bis b in n (z.B, n=7 Schritte ein und zeichnest auf, was die unter und obersumme darin bedeutet.
Gruss leduart
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