Riemann Integrierbarkeit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich habe eine Frage zu folgendem Beweis.
Ausgangspunkt ist die epsilon-delta-Definition der Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion. O(Z) ist die Obersumme über einer Zerlegung Z und U(Z) ist die Untersumme. S ist das Integral der Funktion f von a nach b. Es soll nun gezeigt werden, dass [mm] O(Z)-U(Z)\le \varepsilon [/mm] .
S(Z,x) ist die Riemann Summe wobei x ein Punkt im Intervall [a,b] ist.
Dazu wähle zunächst [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig und dazu ein passendes [mm] \delta [/mm] > 0 sodass [mm] |Z|\le\delta [/mm]
Dann folgt unmittelbar aus der Definition
[mm] S-(\varepsilon [/mm] / 2 ) < S(Z,x) < S+ [mm] (\varepsilon [/mm] / 2 )
Jetzt wird gesagt:
Da x ein völlig beliebiger Punkt im Intervall [a,b] ist gilt:
[mm] S-(\varepsilon [/mm] / 2 ) < U(Z) < O(Z) < S+ [mm] (\varepsilon [/mm] / 2 )
Das verstehe ich nicht, da doch
S(Z,x)<U(Z) offensichtlich falsch ist und somit
[mm] S-(\varepsilon [/mm] / 2 ) < S(Z,x) < U(Z) nicht gelten kann.
Das ganze kann man sich im Heuser auf Seite 468 nochmal nachleswen. Ist ganz unten auf der Seite. Abschnitt 83.
Würde mich freuen wenn man mir helfen könnte.
Gruß
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aaah...kann es sein, dass das eine nur ein spezialfall des anderen ist...?!?!?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mi 11.02.2009 | | Autor: | max3000 |
Diese Abschätzung ist schon richtig so.
Es ist ein [mm] \epsilon [/mm] vorgegeben.
Dann wählst du das [mm] \delta, [/mm] was einfluss auf deine obere und untere Treppenfunktion hat so, dass die Untersumme minus das halbe [mm] \epsilon [/mm] kleiner ist als die eigentliche Lösung.
Quasi sind die Ober- und Unterlösung genauer als epsilon/2.
Wie du bereits sagtest. [mm] \epsilon [/mm] ist beliebig vorgegeben, [mm] \delta [/mm] kannst du in Abhängigkeit davon wählen.
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