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| Aufgabe | zeigen sie, die Funktion:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x=\mbox{ 0} \\
sin(\frac{1}{x}), & \mbox{wenn }0
auf dem Intervall [0,1] riemann integrierbar ist |
Hey
Ich weiß, dass eine Funktion riemann integrierbar ist, wenn Ober- und Untersumme übereinstimmen. Leider bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich dies zeigen soll, da ich nicht ganz genau weiß, wie ich Abschätzungen mit [mm] \epsilon [/mm] an dieser Stelle vornehmen soll.
Ich hätte jetzt die Idee , die Obersumme mit Hilfe des Supremums abzuschätzen, aber das hilft mir wahrscheinlich auch nicht großartig weiter oder?:
in diesem Fall:
[mm] O_{f}(P) \le [/mm] sin(1)*(b-a) da dass Supremum bei x=1 liegt im Intervall [0,1]
und dann müsste ich jetzt noch [mm] \epsilon [/mm] geeignet wählen.. irgendiwe ist das aber alles ein bisschen schwammig und so wirklich weiter komme ich leider nicht. Ich würde mich daher über Hilfe freuen
LG
un
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Sa 03.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> zeigen sie, die Funktion:
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }x=\mbox{ 0} \\
sin(\frac{1}{x}), & \mbox{wenn }0
>
> auf dem Intervall [0,1] riemann integrierbar ist
> Hey
> Ich weiß, dass eine Funktion riemann integrierbar ist,
> wenn Ober- und Untersumme übereinstimmen. Leider bin ich
> mir nicht ganz sicher, wie ich dies zeigen soll, da ich
> nicht ganz genau weiß, wie ich Abschätzungen mit [mm]\epsilon[/mm]
> an dieser Stelle vornehmen soll.
> Ich hätte jetzt die Idee , die Obersumme mit Hilfe des
> Supremums abzuschätzen, aber das hilft mir wahrscheinlich
> auch nicht großartig weiter oder?:
> in diesem Fall:
> [mm]O_{f}(P) \le[/mm] sin(1)*(b-a) da dass Supremum bei x=1 liegt
> im Intervall [0,1]
>
> und dann müsste ich jetzt noch [mm]\epsilon[/mm] geeignet wählen..
> irgendiwe ist das aber alles ein bisschen schwammig und so
> wirklich weiter komme ich leider nicht. Ich würde mich
> daher über Hilfe freuen
Du sollst das Integral doch nicht berechnen ! Du sollst zeigen, dass f über [0,1] Riemann integrierbar ist .
f ist nur an einer Stelle im Intervall [0,1] unstetig. Sagt Dir das was ?
FRED
>
>
> LG
>
> un
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Hey
ich verstehe denke ich was du meinst. Ich nehme also den Satz: "Jede stetige Funktion ist riemann-integrierbar" hier als Baustein, richtig?
Nun betrachte ich also die Funktion f(x) und untersuche sie auf Unstetigkeitsstellen auf dem Intervall [0,1 ]
aber wo soll f denn eine Unstetigkeitsstelle besitzen? Wenn ich den kritischen Punkt [mm] x_{0}= [/mm] 0 betrachte stimmen doch dennoch rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert überein, denn [mm] \lim_{x \to 0}sin(1/x)=0
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf [mm] \limes_{x\rightarrow0}sin(1/x) [/mm] =0
welche Werte nimmt denn sin(1)x an wenn [mm] x=1/n*\pi [/mm] und [mm] x=2/(2n+1)*\pi) [/mm] ist?
vielleich läßt du die sin(1/x) für x<0.1 mal plotten!
richtig ist, dass die fkt in [mm] [a,\\inftty) [/mm] stetig ist für alle a>0
"Riemann Integrität" gibt es nicht, du meinst Riemann integrierbar!
Gruß leduart.
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Hey
ja, du hast recht, für ganz kleine Werte für x->0 nimmt sin(1/x) negative Funktionswerte an [mm] \not=0, [/mm] dass diese eine Unstetigkeitsstelle existiert, schließt ja dann doch das Kriterium aus, dass jede stetige Funktion riemann integrierbar ist.
Wie kann man dies denn Alternativ beweisen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 So 04.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> ja, du hast recht, für ganz kleine Werte für x->0 nimmt
> sin(1/x) negative Funktionswerte an [mm]\not=0,[/mm] dass diese eine
> Unstetigkeitsstelle existiert, schließt ja dann doch das
> Kriterium aus, dass jede stetige Funktion riemann
> integrierbar ist.
> Wie kann man dies denn Alternativ beweisen?
Es gilt der Satz (und den habe ich oben schon gemeint):
Ist f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] beschränkt und hat f nur endlich viele Unstetigkeitsstellen in [a,b], so ist f Riemannintegrierbar.
FRED
>
>
> LG
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Hey
den Satz haben wir aber leider nicht bewiesen, daher darf ich diesen nicht benutzen. Alles was ich weiß ist:
-jede stetige Funktion ist riemann integrierbar (jedoch f ist nicht stetig auf dem Intervatt [0,1]
-jede monotone Funktion ist riemann integrierbar (jedoch f ist nicht monoton auf dem Intervaöö [0,1]
Wie kann man dies nun dann beweisen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 04.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
unterteile in 0 bis [mm] \epsilon, [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] bis a
im 2 ten Teil ist die fkt stetig und deshalb integrierbar, jetzt nimm die Unter und Obersumme für das Anfangsstück und lass [mm] \eosilon [/mm] gegen 0 gehen.
Gruss leduart
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Hey
also für die Obersumme gilt ja:
U(f)= [mm] \sum_{k=1}^{n}sup f(x)*(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
[mm] =\sum_{k=1}^{n}1*(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
und für die Untersumme:
U(f)= [mm] \sum_{k=1}^{n}inf f(x)*(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
[mm] =\sum_{k=1}^{n} [/mm] -1 [mm] *(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
stimmt das so? oder was ist gemeint?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 04.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau. Und diese beiden Summen kannst du sogar explizit ausrechnen. Was bekommst du dann?
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Hey
aber der letzte Faktor in der Summe ist doch von k abhängig? wie kann ich die Summe dann explizit ausrechnen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 So 04.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Schreib doch die erste Summe mal explizit hin und du wirst schon sehen! Meinetwegen probiere es auch erst einmal für n=2,3,4.
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Hey
> Schreib doch die erste Summe mal explizit hin und du wirst
> schon sehen! Meinetwegen probiere es auch erst einmal für
> n=2,3,4.
also für die Obersumme gilt ja:
O(f)= [mm] \sum_{k=1}^{n}sup f(x)*(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
[mm] =\sum_{k=1}^{n}1*(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
für n=1 erhalte ich:
[mm] =1*(x_{1}-x_{0})
[/mm]
für n=2:
[mm] =(x_{2}-x_{1})
[/mm]
und für n=k erhalte ich eben:
[mm] =(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
und für die Untersumme:
U(f)= [mm] \sum_{k=1}^{n}inf f(x)*(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
[mm] =\sum_{k=1}^{n} [/mm] -1 [mm] *(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
für n=1 erhalte ich:
[mm] =-1*(x_{1}-x_{0})
[/mm]
für n=2:
[mm] =-(x_{2}-x_{1})
[/mm]
und für n=k erhalte ich eben:
[mm] =-(x_{k}-x_{k-1})
[/mm]
meinst du das?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 05.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] beschränkt und auf (0,1] stetig ( f ist also höchstens in 0 nicht stetig.
Sei [mm] P=\{x_0,x_1,...,x_n\} [/mm] eine Partition von [0,1] und M [mm] \ge [/mm] 0 so, dass |f| [mm] \le [/mm] M auf [0,1] ist.
Mit U(f,P) bzw. O(f,P) bez. ich die Unter - bzw. Obersumme von f bezüglich P.
Weiter sei [mm] M_j:=sup f([x_{j-1},x_j]) [/mm] und [mm] m_j:=inf f([x_{j-1},x_j]) [/mm]
Dann ist
[mm] O(f,P)-U(f,P)=\summe_{j=1}^{n}(M_j-m_j)(x_j-x_{j-1})
[/mm]
= [mm] (M_1-m_1)(x_1-x_0)+\summe_{j=2}^{n}(M_j-m_j)(x_j-x_{j-1})
[/mm]
Ist nun [mm] \varepsilon>0, [/mm] so überlege Dir, dass Du [mm] x_1 [/mm] so wählen kannst, dass
(1) [mm] (M_1-m_1)(x_1-x_0)< \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
ausfällt . Wähle dann weiter [mm] x_2,...,x_n [/mm] so, dass
(2) [mm] \summe_{j=2}^{n}(M_j-m_j)(x_j-x_{j-1})< \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
ist. Das geht, das f Riemannintegrierbar über [mm] [x_1,b] [/mm] ist.
Aus (1) und (2) folgt dann:
O(f,P)-U(f,P)< [mm] \varepsilon.
[/mm]
Aus dem Riemannschen Integrabilitätskriterium folgt dann die R - Integrierbarkeit von f.
FRED
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