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Riemann Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 So 21.04.2019
Autor: rubi

Hallo zusammen,

es geht um die Berechnung des Grenzwertes für n [mm] \to \infty [/mm] für die Reihe

[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] cos(\bruch{\pi * k}{n}) [/mm]

Ich möchte diese mit einer Riemann-Summe berechnen.

Um auf das zugehörige Integral zu kommen, habe ich die Reihe zunächst für n = 1000 ausführlich aufgeschrieben:

1/1000 * [cos(pi/1000) + ... + cos(1000*pi/1000)].

Aus dem Term in der eckigen Klammer erkenne ich glaube ich sowohl die zu intgrierende Funktion als auch das Integrationsintervall.

Ich habe nun jedoch 2 Lösungen, wobei ich nicht weiß, ob hier beide möglich sind:

Lösung 1: [mm] \integral_{0}^{1}{cos(\pi * x) dx} [/mm]
Hier habe ich das [mm] \pi [/mm] in die Kosinusfunktion gesteckt.

Lösung 2: [mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(x) dx} [/mm]
Hier habe ich das [mm] \pi [/mm] als obere Grenze verwendet.

Bei beiden Integralen ergibt sich Null, was auch der Wert der Reihe ist.
Ich weiß aber nicht, ob das nun Zufall ist.

Kann ich beide Integrale als Lösung verwenden ?
Falls nein, woran erkenne ich, welches Integral das richtige ist ?

Danke für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi




        
Bezug
Riemann Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 21.04.2019
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> es geht um die Berechnung des Grenzwertes für n [mm]\to \infty[/mm]
> für die Reihe
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}[/mm] * [mm]cos(\bruch{\pi * k}{n})[/mm]
>  
> Ich möchte diese mit einer Riemann-Summe berechnen.
>
> Um auf das zugehörige Integral zu kommen, habe ich die
> Reihe zunächst für n = 1000 ausführlich aufgeschrieben:
>  
> 1/1000 * [cos(pi/1000) + ... + cos(1000*pi/1000)].
>
> Aus dem Term in der eckigen Klammer erkenne ich glaube ich
> sowohl die zu intgrierende Funktion als auch das
> Integrationsintervall.
>
> Ich habe nun jedoch 2 Lösungen, wobei ich nicht weiß, ob
> hier beide möglich sind:

Beides sind Lösungen.


>  
> Lösung 1: [mm]\integral_{0}^{1}{cos(\pi * x) dx}[/mm]
>  Hier habe
> ich das [mm]\pi[/mm] in die Kosinusfunktion gesteckt.
>
> Lösung 2: [mm]\integral_{0}^{\pi}{cos(x) dx}[/mm]
>  Hier habe ich
> das [mm]\pi[/mm] als obere Grenze verwendet.
>
> Bei beiden Integralen ergibt sich Null, was auch der Wert
> der Reihe ist.
> Ich weiß aber nicht, ob das nun Zufall ist.

Nein, Zufall  ist das nicht.  Obige  Summen sind  Riemann-Summen  fuer beide Integrale.

>
> Kann ich beide Integrale als Lösung verwenden ?

Na klar.


> Falls nein, woran erkenne ich, welches Integral das
> richtige ist ?
>  
> Danke für eure Antworten.
>
> Viele Grüße
>  Rubi
>  
>
>  


Bezug
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