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Hallo
Beweise mit Hilfe der Formel
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) [mm] dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}{f(a+((k/n)*(b-a))*((b-a)/n)}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b} {xdx}=(b^2-a^2)/2
[/mm]
setz ich da einfach in die Formel ein
[mm] \integral_{a}^{b} {xdx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}{(a+((k/n)*(b-a))*((b-a)/n)}
[/mm]
weiter gleich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}{(1/n^2)*(k*(a+b)^2+a*b*n-a^2*n^2)}
[/mm]
und wie jetzt weiter....
Danke Stevo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Mi 14.09.2005 | | Autor: | statler |
Hallo erstmal,
> Beweise mit Hilfe der Formel
> [mm]\integral_{a}^{b}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f(x)
> [mm]dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}{f(a+((k/n)*(b-a))*((b-a)/n)}[/mm]
Der Summationsindex ist bestimmt k und nicht i. Außerdem gibt es 6 linke Klammern und nur 5 rechte.
>
> [mm]\integral_{a}^{b} {xdx}=(b^2-a^2)/2[/mm]
>
> setz ich da einfach in die Formel ein
>
> [mm]\integral_{a}^{b} {xdx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}{(a+((k/n)*(b-a))*((b-a)/n)}[/mm]
>
Mit den obigen Bemerkungen ist das OK! Jetzt muß man wissen, was die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist: (1/2)*n*(n+1), und die Summe mal für ein festes n umformen. (b-a)/n kann ich dann vor die Summe ziehen. Ferner ist zu berücksichtigen, daß ich das a jedesmal mitaddiere, das ergibt n*a.
> weiter gleich
>
Nee, das gefällt mir nicht so gut und scheint mir auch falsch zu sein.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}{(1/n^2)*(k*(a+b)^2+a*b*n-a^2*n^2)}[/mm]
>
> und wie jetzt weiter....
Nach meinem Rezept....
>
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Weitere Fragen sind willkommen!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo
Ich verstehnicht ganz was du mit umformen für festes n meinst wenn ich ein festet n einsetz brauch ich nichts umformen da kommt ja dann ein fixer Wert raus???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, wir haben für festes $n$:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{a\cdot (b-a)}{n} + \frac{k}{n^2}(b-a)^2 \right)$
[/mm]
$= [mm] \frac{a(b-a)}{n} \underbrace{\sum\limits_{k=1}^n 1}_{=\, n} [/mm] + [mm] \frac{(b-a)^2}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n [/mm] k$
$= a(b-a) + [mm] \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
$ = a(b-a) + [mm] \frac{(b-a)^2}{2} \cdot \frac{n+1}{n}$
[/mm]
$= [mm] \frac{2ab-2a^2+b^2-2ab+a^2}{2} \cdot \frac{n+1}{n}$
[/mm]
$= [mm] \frac{b^2 - a^2}{2} \cdot \frac{n+1}{n}$.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{k=1}^n \left( \frac{a\cdot (b-a)}{n} + \frac{k}{n^2}(b-a)^2 \right) [/mm] = [mm] \frac{b^2-a^2}{2}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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Vielleicht steh ich etwas auf der Leitung aber das n vor der ersten Summe fällt weg weil es 1 gesetzt wird?!?
Wieso kann ich das 1 setzen?
$ = [mm] \frac{a(b-a)}{n} \underbrace{\sum\limits_{k=1}^n 1}_{=\, n} [/mm] + [mm] \frac{(b-a)^2}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n [/mm] k $
Danke Stevo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 14.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, hier wurde nicht $1$ gesetzt. 
Es gilt: [mm] $\sum\limits_{k=1}^n [/mm] 1 = n$ (da $n$ mal die $1$ aufsummiert wird), und dieses $n$ kürzt sich mit dem anderen $n$ weg...
Viele Grüße
Julius
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