Riemannsche Flächen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mi 04.05.2011 | | Autor: | manmath |
| Aufgabe | | Es soll (im Rahmen eines Vortrags) beschrieben werden, wie man komplexe elliptische Funktionen als Tori darstellt. |
Im Reellen sind elliptische Funktionen vom Typ [mm] y^{2} [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] + ax + b bekannte Graphen symmetrisch zur x-Achse. Im Komplexen werden sie durch dreidimensionale Körper (Tori) (Riemannsche Flächen) dargestellt.
Wie kommt man (möglichst anschaulich) zu dieser Konstruktion? Trotz Googeln und Lehrbüchern habe ich das nicht hinreichend gut erklärt gefunden. Ich weiss, wie die Riemannsche Zahlenkugel zustande kommt als Umkehrung der stereographischen Projektion: die komplexe Zahlenebene wird auf die Einheitskugel abgebildet, so dass [mm] \infty [/mm] der Ebene auf den Pol der Kugel abgebildet wird. Aber wie geht das mit elliptischen Funktionen oder mit dem komplexen Logarithmus, der bekanntlich zu einer räumlichen Spirale wird.
Vielleicht gibt es ja eine Quelle, wo das gut erklärt ist.
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Berieux |
> Es soll (im Rahmen eines Vortrags) beschrieben werden, wie
> man komplexe elliptische Funktionen als Tori darstellt.
> Im Reellen sind elliptische Funktionen vom Typ [mm]y^{2}[/mm] =
> [mm]x^{3}[/mm] + ax + b bekannte Graphen symmetrisch zur x-Achse. Im
> Komplexen werden sie durch dreidimensionale Körper (Tori)
> (Riemannsche Flächen) dargestellt.
> Wie kommt man (möglichst anschaulich) zu dieser
> Konstruktion? Trotz Googeln und Lehrbüchern habe ich das
> nicht hinreichend gut erklärt gefunden. Ich weiss, wie die
> Riemannsche Zahlenkugel zustande kommt als Umkehrung der
> stereographischen Projektion: die komplexe Zahlenebene wird
> auf die Einheitskugel abgebildet, so dass [mm]\infty[/mm] der Ebene
> auf den Pol der Kugel abgebildet wird. Aber wie geht das
> mit elliptischen Funktionen oder mit dem komplexen
> Logarithmus, der bekanntlich zu einer räumlichen Spirale
> wird.
> Vielleicht gibt es ja eine Quelle, wo das gut erklärt
> ist.
> Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo!
Also ich versuche mal ein wenig das Fragendickicht aufzuklären.
Das was du oben beschreibst sind elliptische Kurven. Die sind gegeben durch die von dir ja schon genannten kubischen Gleichungen.
Komplexe Tori sind zunächst einmal Faktorgruppen [mm]\mathbb{C}/\Gamma [/mm], wobei [mm]\Gamma = x\mathbb{Z}+y\mathbb{Z}[/mm] mit [mm]x, y \in \mathbb{C}[/mm] ein sog. Gitter ist. Gleichzeitig tragen diese Tori die Struktur einer Riemannschen Fläche, d.h. einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit. Das einzusehen ist nicht so furchtbar schwer, aber man muss natürlich mit dem Begriff der Riemannschen Fläche vertraut sein.
Der Name (komplexer Torus) rührt daher, dass diese Riemannschen Flächen topologisch äquivalent (d.h. homöomorph) zur [mm] S^{1}\times S^{1}[/mm] sind.
Jetzt ist es so, dass zu jeder elliptische Kurve E über den komplexen Zahlen ein Gitter [mm]\Gamma[/mm] existiert, sodass [mm]E\cong \mathbb{C}/\Gamma[/mm] (und zwar als Gruppen als auch als Riemannsche Flächen); und umgekehrt liefert auch jedes Gitter eine elliptische Kurve.
Um das einzusehen braucht man aber einiges an Theorie über sog. elliptische Funktionen (Stichwort: Weierstraßsche p-Funktion). Das sind doppelt-periodische meromorphe Funktionen auf der komplexen Zahlenebene; d.h. deren Periode ist gerade so ein Gitter [mm]\Gamma[/mm].
Tja, wie du siehst ist das nicht ganz einfach. Über elliptische Funktionen findest du in jedem Funktionentheorie I Buch was. Zu allem anderen müsstest du dich schon an weiterführende Literatur zu Riemannschen Flächen begeben. Im Lamotke müsste etwa alles drinstehen was du brauchst. Wenig ist das aber, wie du siehst, nun wirklich nicht.
Beste Grüße,
Berieux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Mo 09.05.2011 | | Autor: | manmath |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habe den T.Ekedahl "One Semester of Elliptic Curves"; dort wird in den ersten Seiten angeblich relativ einfach über Elliptische Kurven geschrieben. Auch an anderen Stellen wird schnell über die Konstruktion der Tori hinweggegangen.
Wie du sagst, muss man aber ersteinmal einiges über Funktionentheorie und Topologie lesen bzw. über Riemannsche Flächen zB im Lamotke. Das werde ich nachholen.
Gruß
manmath
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