Riemannsche Summern < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Di 08.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe Riemannscher Summen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}(\bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+2}} [/mm] + ..... + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2n}}) [/mm] = [mm] 2\wurzel{2}-2.
[/mm]
Hinweis: Betrachten Sie die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}} [/mm] im Intervall [mm] \{0 |1 \} [/mm] |
Für den ersten Teilschritt der Aufgabe habe ich [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}} [/mm] im Intervall von 0,1 integriert und erhalte, die erwartete Lösung [mm] 2\wurzel{2}-2
[/mm]
Für den zweiten Teilschritt sollte ich die Riemannsche Summe berechnen:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\wurzel{x+1}} dx} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1-0}{n} \summe_{i=1}^{n} (0+1(\bruch{1-0}{n})) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} \* \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}
[/mm]
Aber ab da weiss ich nicht wie weiter. Was passiert mit dem Summenzeichen rsp. wie bringt man das weg? Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich weiterrechnen kann? Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Di 08.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] \{0,~1/n,~2/n,..., ~n/n\} [/mm] die äqudistante Zerlegung von [0,1] in n+1 Teilntervalle. Die zugeh. Riemannsumme ist
[mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{n}f(i/n)
[/mm]
Mach Dir klar, dass f(i/n)= [mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{i+n}} [/mm] ist und dass folgt:
[mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{n}f(i/n)= [/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}}(\bruch{1}{\wurzel{n+1}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\wurzel{n+2}} [/mm] + ..... + [mm] \bruch{1}{\wurzel{2n}}) [/mm] .
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 08.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
Vielen Dank für deine Antwort Fred.
Mir ist noch nicht klar von wo man weiss, dass f(i/n) = [mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{i + n}} [/mm] ist?
Vielen Dank für deine Antwort.
Gruss Aucuba
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Moin Aucuba,
> Mir ist noch nicht klar von wo man weiss, dass [mm] f(i/n)=\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{i + n}} [/mm] ist?
Das folgt aus Wurzel-/ Potenzgesetz:
[mm] f(i/n)=\bruch{1}{\wurzel{i/n+1}}=\bruch{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\wurzel{i/n+1}}=\bruch{\sqrt{n}}{\wurzel{i+n}}
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Di 08.11.2011 | | Autor: | Aucuba |
Vielen Dank! =)
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