Riemannsche Zwischensummen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zu zeigen: Ist f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] stetig, so konvergieren die Riemannschen Zwischensummen (S(f, [mm] (x_k), [/mm] ( [mm] \gamma_k)) [/mm] für k aus [mm] \IN [/mm] für jede Zerlegung [mm] (x_k) [/mm] von [a,b] und beliebige Zwischenpunkte [mm] \gamma_k [/mm] aus [mm] [x_k, x_k+1] [/mm] gegen [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] f(x) dx, wenn die Feinheit der Zerlegung [mm] (x_k) [/mm] gegen 0 strebt. |
Hallo,
könntet ihr mir einen Tipp für den Ansatz geben? Wie könnte ich hier anfangen? Was ist wichtig? DIe Definitionen könnte ich wiedergeben, aber ich kann die Aufgabe nicht bearbeiten und wäre über jeglich Hilfe sehr erfreut.
Gruß
Ela
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Hiho,
du weißt f ist stetig und du betrachtest das kompakte Intervall [a,b], damit ist f insbesondere gleichmäßig stetig.
Folgere daraus, dass für eine Zerlegung, deren Feinheit gegen Null strebt, und für jedes [mm] \varepsilon [/mm] irgendwann gilt:
[mm] $f(\gamma_k) \in \left[f(x_k) - \varepsilon,f(x_k) + \varepsilon\right]$
[/mm]
(Gleiches gilt, wenn du statt [mm] x_k [/mm] ein beliebiges anderes $x [mm] \in [x_k;x_{k+1}]$ [/mm] nimmst)
Betrachten dann äquidistante Zerlegungen (warum reicht das aus?) und folgere mit vorherigem, dass deine Zwischensumme gegen den selben Wert strebt wie die Untersumme bzw Obersumme.
Gruß,
Gono
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Ich verstehe das nicht so. Also wie muss das denn zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:02 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe das nicht so. Also wie muss das denn zeigen?
Vielleicht sagst Du was Du an Gonos Antwort nicht verstanden hast. Gono hat Dir ein prima Kochrezept geliefert.
FRED
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