Riemannscher Hebbarkeitssatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Fr 19.02.2016 | | Autor: | Reynir |
| Aufgabe | Satz:
D sei ein Gebiet, [mm] $z_0 \in [/mm] D$, [mm] $f:D\backslash\{z_0\} \rightarrow \mathbb{C}$ [/mm] holomorph und beschränkt in einer punktierten Umgebung $U:= [mm] U(z_0)\backslash \{z_0\}$. [/mm] Dann lässt sich f nach [mm] $z_0$ [/mm] holomorph fortsetzen, d.h. es existiert eine holomorphe Funktion [mm] $\tilde{f}: [/mm] D [mm] \rightarrow \mathbb{C}$ [/mm] mit [mm] $\tilde{f}(z)=f(z) \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] D [mm] \backlsash \{z_0\}$. [/mm] |
Hi,
ich habe den Satz schon vor einiger Zeit gehört, aber ich habe bei dem Nachprüfen der Voraussetzung der Beschränktheit Verständnisprobleme, oder sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht. ;) Es wird da ja gefordert, dass es eine punktierte Umgebung gibt, in der die Funktion beschränkt ist.
Wir hatten jetzt schon ein Beispiel, ich weis leider nicht, wo ich es habe, da wurde einfach nur gesagt der Grenzwert gegen [mm] $z_0$ [/mm] existiert und damit ist Riemann verwendbar, was man dann ja auch im Bewies braucht, soweit kein Problem.
Wenn jetzt aber beschränkt auf der punktierten Umgebung gesagt wird, dann denke ich z.B. auch an Fälle, wo die Funktion am Rand der Umgebung abhauen kann, wieso tritt sowas nicht auf, oder macht man dann einfach die Umgebung noch etwas kleiner?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Fr 19.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Satz:
> D sei ein Gebiet, [mm]z_0 \in D[/mm], [mm]f:D\backslash\{z_0\} \rightarrow \mathbb{C}[/mm]
> holomorph und beschränkt in einer punktierten Umgebung [mm]U:= U(z_0)\backslash \{z_0\}[/mm].
> Dann lässt sich f nach [mm]z_0[/mm] holomorph fortsetzen, d.h. es
> existiert eine holomorphe Funktion [mm]\tilde{f}: D \rightarrow \mathbb{C}[/mm]
> mit [mm]\tilde{f}(z)=f(z) \forall z \in D \backlsash \{z_0\}[/mm].
>
> Hi,
> ich habe den Satz schon vor einiger Zeit gehört, aber ich
> habe bei dem Nachprüfen der Voraussetzung der
> Beschränktheit Verständnisprobleme, oder sehe den Wald
> vor lauter Bäumen nicht. ;) Es wird da ja gefordert, dass
> es eine punktierte Umgebung gibt, in der die Funktion
> beschränkt ist.
> Wir hatten jetzt schon ein Beispiel, ich weis leider nicht,
> wo ich es habe, da wurde einfach nur gesagt der Grenzwert
> gegen [mm]z_0[/mm] existiert und damit ist Riemann verwendbar, was
> man dann ja auch im Bewies braucht, soweit kein Problem.
> Wenn jetzt aber beschränkt auf der punktierten Umgebung
> gesagt wird, dann denke ich z.B. auch an Fälle, wo die
> Funktion am Rand der Umgebung abhauen kann, wieso tritt
> sowas nicht auf, oder macht man dann einfach die Umgebung
> noch etwas kleiner?
Genau das !
Fred
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:47 Sa 20.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Vielen Dank für deine Antwort,
Reynir
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