Rieszsche Lemma < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Di 17.04.2007 | | Autor: | dena |
| Aufgabe | Setze [mm] d(x,A)=inf_{a \in A} \parallel [/mm] x-a [mm] \parallel [/mm] für eine abgeschlossene Teilmenge A eines normierten Raums X
Ist dimX < [mm] \infty, [/mm] so darf im Rieszschen Lemma [mm] \delta [/mm] = 0 zugelassen werden. (*) |
Hallo!
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
(*) heißt ja: zu jedem echten abgeschlossenen Unterraum A von X existiert ein x [mm] \in [/mm] X mit [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = 1 und d(x,A) = 1.
ich kopfe schon eine Zeit lang..
schwierig, schwierig..
danke!
lg dena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Di 17.04.2007 | | Autor: | wauwau |
also zuviel verstehe ich nicht von dem Thema, aber ich würde das so machen:
Auf einem endlichdimensionalen Raum sind ja je zwei Normen äquivalent, daraus folgt aber dass in jedem endlichdimensionalem Raum abgeschlossenen und beschränkte Mengen Kompakt sind.
Und aus der Kompaktheit des Unterraumes folgt, dass [mm] \delta [/mm] mit 0 angenommen werden kann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Di 17.04.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
Deine Antwort verstehe ich nicht ganz. Der Unterraum ist ja sicher nicht kompakt, falls er nicht der Nullraum ist. Man könnte aber folgendermaßen argumentieren: Man kann die Norm durch eine äquivalente euklidische Norm ersetzen, eine ON-Basis für den Unterraum wählen und damit den ON-Projektor auf eben jenen Raum hinschreiben. Der gesuchte Punkt mit [mm] \delta=0 [/mm] ist dann die Projektion des gegebenen Punktes. Das sollte man sich mal zeichnerisch klarmachen.
Volker
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:10 Do 26.04.2007 | | Autor: | dena |
Hallo Leute!
Ich bin jetzt zum folgendem Ergebnis gekommen, könntet ihr mir sagen, ob ich damit richtig liege?
Sei dimX< [mm] \infty
[/mm]
Das Rieszsche Lemma besagt, dass zu jedem [mm] \delta [/mm] ein [mm] x_{\delta} [/mm] in U existiert mit dem Abstand [mm] \ge 1-\delta.
[/mm]
Die [mm] x_{\delta} [/mm] sind beschränkt und sie liegen im Einheitsball, da ja nach dem Rieszschen Lemma [mm] \parallel x_{\delta}\parallel [/mm] = 1 ist.
Also: [mm] \parallel x_{\delta} [/mm] - u [mm] \parallel \ge [/mm] | [mm] \parallel x_{\delta} \parallel [/mm] - [mm] \parallel [/mm] u [mm] \parallel [/mm] | [mm] \ge [/mm] 1
lg dena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Mi 02.05.2007 | | Autor: | dena |
Hallo!
Mir konnte noch leider keiner sagen, ob mein Beweis so passt.. doch vielleicht klappt es ja jetzt..
Vielen Dank!
dena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 18.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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