Ring-Nachweise < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei M eine Menge und R ein Ring. F (M,R) := {f: M-->R}.
1. Weisen Sie nach, dass F (M,R) ein Ring ist.
2.Für welches R ist die Verknüpfung + bzw. * kommutativ? Geben Sie ein hinr. und notw. Kriterium an.
3. Sei der Ring R nullteilerfrei. Stellen Sie eine Bedingung an M, die notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür ist, dass auch F(M,R) nullteilerfrei ist.
4. Sei R sogar ein Körper. Ist dann auch F(M,R) ein Körper?
5. Bilden die injektiven Funktionen in F(M,R) einen Unterring? Bilden die surjektiven Funktionen in F (M;R) einen Unterring? Beweis oder Gegenbeispiel.
6. Geben Sie ein Bsp. für einen Ring mit Eins, der einen Unterring mit Eins besitzt, wobei das Einselement des unterrings nicht gleich dem Einselement des Rings ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf keiner anderen Internetseite gestell.
Hallo, bis jetzt habe ich so ein paar Ansätze, weiß aber oft nicht, ob das genügt:
zu 1. F(M,R) := {f: M-->R}. Da R Ring ist => (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x). Kommutativität bewiesen
[(f+g)+k](x)=[f(x)+g(x)] + k(x)= f(x)+[g(x)+k(x)]=[f+(g+k)](x). Assoziativität bewiesen.
Nun muss ich doch aber noch beweisen, dass es zu jedem a ein Inverses gib und ein einselement. Aber wie?
zu 2.: Notwendig ist doch die Kommutativität, die für + immer gilt, da abelsche Gruppe (aber wie beweise ich sie für *). Für das hinreichende Kriterium dachte ich an das Einselement, aber da habe ich auch das Problem des Beweises.
zu 4. Ich dachte nein, nur wenn der Ring kommutativ mit Einselement ist. Sitmmt das?
zu 3., 5., 6. habe ich noch keinen Plan.
Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Sa 01.12.2007 | | Autor: | ossi83 |
Guten Morgen!
Also zu deiner Aufgabe:
Ich kenn zwar nicht eure genaue Definition für einen Ring, aber ich denke
du musst die Ringaxiome nachweisen.
Du sollst zeigen, dass F(M,R) eine abelsche Gruppe ist, dass das Assoziativgesetz bzgl. der Multiplikation gilt und das bzgl. der beiden Verknüpfungen + und * das Distributivgesetz gilt.
> 1. Weisen Sie nach, dass F (M,R) ein Ring ist.
> zu 1. F(M,R) := {f: M-->R}. Da R Ring ist =>
> (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x). Kommutativität
> bewiesen
> [(f+g)+k](x)=[f(x)+g(x)] + k(x)=
> f(x)+[g(x)+k(x)]=[f+(g+k)](x). Assoziativität bewiesen.
1. Zeige, dass F(M,R) eine abelsche (kommutative) Gruppe ist, d.h. unter anderem dass die Abbildungen
[(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x)
gleich sind.
Überlege dir dazu, wann zwei Abbildungen gleich sind.
Du schreibst, dass
> [(f+g)+k](x)=[f(x)+g(x)] + k(x)=
> f(x)+[g(x)+k(x)]=[f+(g+k)](x)
aber dass ist nicht ganz korrekt.
[(f+g)+k](x) ist eine Abbildung und
[f(x)+g(x)] + k(x) sind drei Ringelemente und diese sind nunmal nicht gleich.
> Nun muss ich doch aber noch beweisen, dass es zu jedem a
> ein Inverses gib und ein einselement. Aber wie?
Überlege dir, welche Abbildung bzgl. der Addition das neutrale Element (also die "neutrale Abbildung" ist, d.h. welche Abbildung musst du mit einer beliebigen verknüpfen, danit nicht viel passiert)
Wenn du die 1. Aufgabe bearbeitet hast, kannst du dich an die anderen machen.
Mach dir aber die 1. erstmal genau verständlich.
LG
ossi83
|
|
|
| |
|
Ok, aso zu 1. hab ich jetzt die 3 ringaxiome:
RA1: [(f+g)+h](x)=(f+g)(x)+h(x)=[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+k(x)]=
f(x)+(g+h)(x)=[f+(g+h)](x).
Also (f+g)+h=f+(g+h)
Die Kommutativität hab ich schon nachgewiesen.
Bezüglich + ist die Nullfunktion doch neutral. Kann ich einfach 0+f=f+0=f schreiben?
Invers zu f ist die Abbildung -f, also f+(-f)=0.
RA2: (R,°) [f°(g°h)](x)=f(x)[(g°h)(x)]=f(x)[g(x)h(x)]=[f(x)g(x)]h(x)=[(f°g)(x)]h(x)=[(f°g)°h](x).
Also f°(g°h)=(f°g)°h
RA3:[f°(g°h)](x)=f(x)[(g+h)(x)]=f(x)[g(x)+h(x)]=f(x)g(x)+f(x)h(x)=
(f°g)(x)+(f°h)(x)=[(f°g)+(f°h)](x)
Ist das denn so richtig? Bei den anderen Aufgaben hakt es immer noch.
|
|
|
| |
|
> Ok, aso zu 1. hab ich jetzt die 3 ringaxiome:
>
> RA1:
> [(f+g)+h](x)=(f+g)(x)+h(x)=[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+k(x)]=
> f(x)+(g+h)(x)=[f+(g+h)](x).
Hallo,
das ist so in Ordnung, Du solltest allerdings Deine Schritte begründen, damit man sieht, wo Du die Def. der Verknüpfung in Abb(M,R) verwendet hast, und wo Du Eigenschaften des Ringes verwendest.
> Also (f+g)+h=f+(g+h)
> Die Kommutativität hab ich schon nachgewiesen.
> Bezüglich + ist die Nullfunktion doch neutral. Kann ich
> einfach 0+f=f+0=f schreiben?
Nein.
Ich würde das so machen:
sei [mm] n:M\to [/mm] R
mit
[mm] n(x):=0_R [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] M.
Es ist...
Also ist n das neutrale Element in Abb(M,R)
> Invers zu f ist die Abbildung -f,
Auch diese Abbildung würde ich erstmal definieren:
sei [mm] -f:M\to [/mm] R
mit
(-f)(x):=-f(x) für alle x [mm] \in [/mm] M.
Dann ist ...,
> also f+(-f)=0.
>
> RA2: (R,°)
Der Kringel soll die Elementweise Multiplikation in Abb(M,R) sein?
Dann verstehe ich nämlich "(R,°)" nicht. Aber verwenden tust Du es unten richtig.
Mir gefällt das sehr, wie Du gründlich zwischen der Multiplikation in Abb(M, R) und der im Ring R unterscheidest.
> [f°(g°h)](x)=f(x)[(g°h)(x)]=f(x)[g(x)h(x)]=[f(x)g(x)]h(x)=[(f°g)(x)]h(x)=[(f°g)°h](x).
> Also f°(g°h)=(f°g)°h
>
> RA3:[f°(g+h)](x)=f(x)[(g+h)(x)]=f(x)[g(x)+h(x)]=f(x)g(x)+f(x)h(x)=
> (f°g)(x)+(f°h)(x)=[(f°g)+(f°h)](x)
>
> Ist das denn so richtig? Bei den anderen Aufgaben hakt es
> immer noch.
> 2.Für welches R ist die Verknüpfung + bzw. * kommutativ? Geben Sie ein hinr. und notw. Kriterium an.
Sind mit + und [mm] \* [/mm] hier die elementweisen Verknüfungen in Abb(M,R) gemeint?
Abb(M,R) ist mit diesen Verknüpfungen kommutativ gdw R bzgl. der Addition und Multiplikation kommutativ ist.
zu 3) Weißt Du denn, was Nullteiler sind?
> zu 4. Ich dachte nein, nur wenn der Ring kommutativ mit Einselement ist. Sitmmt das?
Naja, das Einselement hat R sowieso, wenn's ein Körper ist.
Ich würde bei dieser Frage darüber nachdenken, ob jede Funktion in Abb(M,R) ionvertierbar ist, wenn R ein Körper ist, also jedes E.lement (außer Null) in R invertierbar.
zu 5) solltest Du erstmal ein wenig exprimentieren.
zu 6) fällt mir im Moment nichts ein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke erstmal. Bei 4. würde ich sagen ja, da Z,+,* ja kein Körper ist. Wenn ich Q oder R dagegen nehme müsste es doch bei jeder abb ein inverses geben. Oder vergesse ich da was
|
|
|
| |
|
> Danke erstmal. Bei 4. würde ich sagen ja, da Z,+,* ja kein
> Körper ist. Wenn ich Q oder R dagegen nehme müsste es doch
> bei jeder abb ein inverses geben. Oder vergesse ich da was
Hallo,
ja, Du denkst hier nicht weit genug.
Wenn R ein Körper ist, gibt es in R ein Einselement [mm] 1_R [/mm] und jedes Element ist invertierbar.
Tatsächlich gibt es in diesem Fall auch in Abb(M,R) eine Einselement, nämlich die Funktion e mit [mm] e(x):=1_R [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] M.
So, jetzt nehmen wir mal M:={a,b} und betrachten eine Funktion
[mm] g:M\to [/mm] R mit
[mm] g(a):=1_R [/mm] und [mm] g(b):=0_R.
[/mm]
Offensichtlich ist das nicht die Null in Abb(M,R).
So, und nun versuch diese Funktion mal zu invertieren.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich habe mir das selbe wie lenz gedacht:
notw. M ist nullteilerfrei
hinr. R ist nullteilerfrei, denn
für ein m1 und ein m2M gilt: m1*m2=0, m1 und m2 ungleich 0
=> für f (m) gilt: f(m1)* f(m2) = 0 => f(m1*m2)= 0
Kann das sein?
|
|
|
| |
|
> notw. M ist nullteilerfrei
Hallo,
jetzt geht hier etwas ganz gründlich schief:
um darüber zu reden, ob M Nullteiler hat oder viellecht doch eher nicht, mußte ja in M eine Verknüpfung definiert sein. Das ist nicht der Fall.
> f(m1*m2)
m1*m2 gibt es nicht!
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 So 02.12.2007 | | Autor: | lenz |
hallo nochmal
ich weiß nicht ob das erwähnt wurde
es ist folgende verknüpfung definiert (f+g)(x)=f(x)+g(x)
und(f*g)(x)=f(x)*g(x)
das ist ein homomorphismus richtig?
ich hatte mich gefragt ob das nicht schon ausreichend ist,da R
ja nullteilerfrei das auch die abb.(M,R) nullteilerfrei ist.selbiges für vier
lenz
|
|
|
| |
|
> hallo nochmal
> ich weiß nicht ob das erwähnt wurde
> es ist folgende verknüpfung definiert (f+g)(x)=f(x)+g(x)
> und(f*g)(x)=f(x)*g(x)
> das ist ein homomorphismus richtig?
Hallo,
ich weiß nicht genau was Du meinst mit "das".
Welche Abbildung von wo nach wo soll ein Homomorphismus sein?
> ich hatte mich gefragt ob das nicht schon ausreichend
> ist,da R
> ja nullteilerfrei das auch die abb.(M,R) nullteilerfrei
Es wäre in etwas längeren Threads hilfreich, wenn die Nr. der Teilaufgabe genannt würde oder gar der Text.
Ich nehme an, Du redest über die 3.
Dort ist nach einer notwendigen und hinreichenden Bedingung an M gefragt dafür, daß bei nullteilerfreiem R Abb(M,R) nullteilerfrei ist.
Machen wir doch mal ein Beispiel.
Sei [mm] M:=\{a,b\} [/mm] und [mm] R:=\IR.
[/mm]
Da [mm] \IR [/mm] ein Körper ist, ist also unser R nullteilerfrei.
Nun sei [mm] f:M\to [/mm] R mit
f(a):=3
f(b):=0.
MIR fiele eine Funktion [mm] g\not=n [/mm] ein, mit welcher ich f multiplizieren könnte so, daß die Nullfunktion n herauskommt.
Dir auch?
Dieses M scheidet dann schonmal aus.
Gruß v. Angela
> ist.selbiges für vier
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mo 03.12.2007 | | Autor: | lenz |
hallo danke schonmal
was du da meinst f(a),g(a) ist ja nicht M sondern die abb.(M,R)
oder nicht?von M selber ist ja gar keine struktur bekannt oder nicht?
wie kann man da bedingungen an M stellen?
freundliche grüße lenz
|
|
|
| |
|
> hallo danke schonmal
> was du da meinst f(a),g(a) ist ja nicht M sondern die
> abb.(M,R)
Hallo,
naja, F(M,R) müssen wir schon betrachten in dem Zusammenhang, denn wir wollen ja herausfinden, unter welchen Bedingungen an M die Menge F(M,R) nullteilerfrei ist.
> oder nicht?von M selber ist ja gar keine struktur bekannt
> oder nicht?
M ist einfach eine Menge. Keine Verknüpfungen drauf.
> wie kann man da bedingungen an M stellen?
Ich kann doch Bedingungen an M stellen: z.B. sagen M muß eine Menge sein, die nur runde Gegenstände enthält, oder [mm] M:=\{ getreifte Katze, Türklinke\}. [/mm] Kann ich doch machen...
Ich kann auch Bedingungen an die Anzahl der Elemente v. M stellen.
An meinem Beispiel habe ich gesehen, daß das mit zweielementigen Mengen nicht klappt.
Ich bin mir über zweierlei nicht ganz sicher:
1. Weißt Du eigentlich, was F(M,R) ist? (Ich schreibe i.d.R. Abb(M,R).)
2: Was bedeutet es eigentlich, wenn man sagt "F(M,R) sei nullteilerfrei"?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Mo 03.12.2007 | | Autor: | lenz |
danke nochmal
hat sich jetzt in der ü-gruppe geklärt
lenz
|
|
|
| |
|
> 1. Zeige, dass F(M,R) eine abelsche (kommutative) Gruppe
> ist, d.h. unter anderem dass die Abbildungen
> [(f+g)+h](x)=[f+(g+h)](x)
> gleich sind.
> Überlege dir dazu, wann zwei Abbildungen gleich sind.
> Du schreibst, dass
> > [(f+g)+k](x)=[f(x)+g(x)] + k(x)=
> > f(x)+[g(x)+k(x)]=[f+(g+k)](x)
>
> aber dass ist nicht ganz korrekt.
> [(f+g)+k](x) ist eine Abbildung
Hallo,
das ist nicht richtig.
[(f+g)+k](x) ist ein Ringelement,
nach Def. der Verknüpfungen in F(M,R) gilt
[(f+g)+k](x)= (f+g)(x)+k(x)= (f(x)+g(x))+k(x)
Ich denke, daß Du hier etwas verwechselst.
AnneKatrin muß zeigen, daß (f+g)+k= f+(g+k) gilt, also die Gleichheit der Funktionen.
Wann sind zwei Funktionen gleich?
Wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.
Das bedeutet, daß man, um die Gültigkeit v. (f+g)+k= f+(g+k) zu beweisen, zeigen muß, daß
für alle [mm] x\in [/mm] M gilt: [(f+g)+k](x)= [f+(g+k)](x),
und das hat AnneKatrin im Prinzip völlig richtig getan.
Sie hätte nur noch davor schreiben sollen "Für alle [mm] x\in [/mm] M gilt", und den Schritt "[f(x)+g(x)] + k(x)= f(x)+[g(x)+k(x)]" mit dem Assoziativgesetz in R begründen.
Gruß v. Angela
>
> > Nun muss ich doch aber noch beweisen, dass es zu jedem a
> > ein Inverses gib und ein einselement. Aber wie?
>
> Überlege dir, welche Abbildung bzgl. der Addition das
> neutrale Element (also die "neutrale Abbildung" ist, d.h.
> welche Abbildung musst du mit einer beliebigen verknüpfen,
> danit nicht viel passiert)
>
> Wenn du die 1. Aufgabe bearbeitet hast, kannst du dich an
> die anderen machen.
> Mach dir aber die 1. erstmal genau verständlich.
>
>
> LG
> ossi83
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Sa 01.12.2007 | | Autor: | lenz |
hi
hab zwar selber überhaupt keinen durchblick bei der aufgabe
aber das eins element ist nur bei unitären ringen gefordert
und zu 4 wenn R ein körper ist hat R ein einselement
bei drei kann ich mir so vorstellen ist aber nur eine sehr vage vermutung
das M auch nullteilerfrei sein muß
lenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 02.12.2007 | | Autor: | lenz |
hi
wollte mal fragen:
ist es richtig das auf M gar keine struktur vorliegen muß,und
die abb. erst durch die definierte verknüpfung von R ihre struktur
bekommt?
lenz
|
|
|
| |
|
> ist es richtig das auf M gar keine struktur vorliegen
> muß,und
> die abb. erst durch die definierte verknüpfung von R ihre
> struktur
> bekommt?
Hallo,
ja, für das , was hier getan wird, wird keine Verknüpfung v. Elementen von M benötigt.
Verknüpft werden hier Funktionen, und zwar durch die elementweise definierte Addition und Multiplikation, so daß für das, was dabei herauskommt, die "Machart" des Ringes R entscheidend ist.
Ich hoffe, daß Deine Frage in diese Richtung zielte und Du nun weißt, was Du wissen wolltest.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 So 02.12.2007 | | Autor: | lenz |
ja danke
lenz
|
|
|
|
