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| Aufgabe | Es sei [mm] \Omega [/mm] eine Menge, [mm] \epsilon \subset \mathcal{P} (\Omega) [/mm] ein Megensystem und [mm] \mathcal{R} [/mm] = [mm] \mathcal{R}(\epsilon) [/mm] der von [mm] \epsilon [/mm] erzeugte Ring. Definieren Sie iterativ [mm] \epsilon_{0} [/mm] := [mm] \epsilon \cup \{\emptyset\} [/mm] und
[mm] \epsilon_{n} [/mm] := {A \ B, A [mm] \cup [/mm] B : A,B [mm] \in \epsilon_{n-1} [/mm] }, für n [mm] \ge [/mm] 1
Zeigen Sie, dass dann die folgende Identität gilt:
[mm] \mathcal{R} [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} \epsilon_{n}
[/mm]
(Sie haben also [mm] \mathcal{R} [/mm] aus [mm] \epsilon [/mm] konstruiert) |
Moin zusammen, bei dieser Aufgabe tue ich mich ein bisschen schwer, da mir der Umgang mit den Mengensystemen noch ziemlich schwer fällt.
Wahrscheinlich muss ich bei dieser Aufgabe beide Inklusionen zeigen.
Habe auch angefangen und versucht [mm] "\subset" [/mm] zu zeigen
[mm] \mathcal{R} [/mm] = [mm] \mathcal{R} (\epsilon) [/mm] = [mm] \bigcap_{\mathcal{R} Ring, \epsilon \subset \mathcal{R}}^{} \mathcal{R}
[/mm]
Ich weiss auch, dass [mm] \mathcal{R} [/mm] ein Ring ist falls [mm] \mathcal{R} \not= \emptyset [/mm] und für A,B [mm] \in \mathcal{R} [/mm] auch A \ B und A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{R} [/mm] gilt.
Das alles sieht ja schon ein bisschen wie unser iterativ konstruiertes Mengensystem aus aber so ganz komm ich nicht drauf wie ich den Beweis schön führen kann.
Hoffe ihr könnt mir helfen
mfg eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Di 23.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo eddiebingel,
> Es sei [mm]\Omega[/mm] eine Menge, [mm]\epsilon \subset \mathcal{P} (\Omega)[/mm]
> ein Megensystem und [mm]\mathcal{R}[/mm] = [mm]\mathcal{R}(\epsilon)[/mm]
> der von [mm]\epsilon[/mm] erzeugte Ring. Definieren Sie iterativ
> [mm]\epsilon_{0}[/mm] := [mm]\epsilon \cup \{\emptyset\}[/mm] und
> [mm]\epsilon_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$A \ B, A [mm]\cup[/mm] B : A,B [mm]\in \epsilon_{n-1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $\}$, für n [mm]\ge[/mm] 1
> Zeigen Sie, dass dann die folgende Identität gilt:
> [mm]\mathcal{R}[/mm] = [mm]\bigcup_{n=1}^{\infty} \epsilon_{n}[/mm]
>
> Wahrscheinlich muss ich bei dieser Aufgabe beide
> Inklusionen zeigen.
Genau.
> Habe auch angefangen und versucht [mm]"\subset"[/mm] zu zeigen
> [mm]\mathcal{R}[/mm] = [mm]\mathcal{R} (\epsilon)[/mm] = [mm]\bigcap_{\mathcal{R} Ring, \epsilon \subset \mathcal{R}}^{} \mathcal{R}[/mm]
Du verwendest hier [mm] $\mathcal{R}$ [/mm] in zweierlei Bedeutungen. Schreibe lieber
[mm] $\mathcal{R}=\mathcal{R}(\epsilon)=\bigcap_{\substack{\mathcal{T}\text{ Ring}\\\epsilon\subset\mathcal{T}}}\mathcal{T}$.
[/mm]
> Ich weiss auch, dass [mm]\mathcal{R}[/mm] ein Ring ist falls
> [mm]\mathcal{R} \not= \emptyset[/mm] und für A,B [mm]\in \mathcal{R}[/mm]
> auch A \ B und A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in \mathcal{R}[/mm] gilt.
> Das alles sieht ja schon ein bisschen wie unser iterativ
> konstruiertes Mengensystem aus aber so ganz komm ich nicht
> drauf wie ich den Beweis schön führen kann.
Sei [mm] $\mathcal{S}:=\bigcup_{n=1}^{\infty} \epsilon_{n}$.
[/mm]
Für [mm] $\mathcal{R}\subset\mathcal{S}$ [/mm] zeige, dass [mm] $\mathcal{S}$ [/mm] ein Ring ist, der [mm] $\epsilon\subset \mathcal{S}$ [/mm] erfüllt. Ist dir klar, warum das genügt?
Für [mm] $\mathcal{R}\supset\mathcal{S}$ [/mm] zeige induktiv [mm] $\mathcal{R}\supset\epsilon_n$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 1$ (oder auch [mm] $n\ge [/mm] 0$).
Viele Grüße
Tobias
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