Ring mit 1 , kommutativ < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mi 26.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | 1)Sei d [mm] \in \IZ, [/mm] d > 1, d quadratfrei ( d.h. es existiert keine Primzahl p sodass [mm] p^2 [/mm] teilt d) und [mm] Z[\sqrt{d}] [/mm] = [mm] \{ a + b \sqrt{d}| a,b \in \IZ\}
[/mm]
Dann ist [mm] \IZ[\sqrt{d}], [/mm] versehen mit Addition und Multiplikation auf [mm] \IZ [/mm] , ein kommutativer Ring mit 1.
2) Sei V ein K-Vektorraum und end(V) = [mm] $\{ q : V->V | $ q ist k linear $\}$
[/mm]
Dann ist (end(V),+, [mm] \circ) [/mm] ein Ring mit 1 |
Hallo
1)Das es ein kommutativer Ring mit 1 ist kann ich nachrechnen. Aber warum brauche ich dass d quadratfrei ist?
2) Was bedeutet k linear? Ich kenne nur aus der Linearen Algebra lineare Abbildungen.
Was ist hier das 1Element?
3) Warum bildet die Menge aller Funktionen f:[a,b] -> [mm] \IR [/mm] , [mm] [a,b]\subseteq \IR [/mm] "nur" ein kommutativer Ring mit 1 und keinen Körper?
LG ;)
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Hi
zu 1) Weil beispielsweise für [mm]d = p^2[/mm] die Menge [mm]\IZ[\sqrt d][/mm] keine echte Erweiterung von [mm]\IZ[/mm] ist.
zu 2) Keine Ahnung. Und das $k$ ist wirklich klein geschrieben?
Das 1 - Element hingegen ist leicht. Die Operation auf der multiplikativen Gruppe ist die Hintereinanderausführung. D.h. du musst die Abbildung [mm] $q_1$ [/mm] finden, für die gilt [mm] (q_1 \circ q)(v) = q_1(q(v)) = q(v) [/mm] für alle [mm] $q\in [/mm] end(V)$ und alle [mm] $v\in [/mm] V$.
zu 3) Ich nehme mal an, dass die Operationen so wie in Aufgabe 2 definierte sind. Was ist denn das Inverse der Funktion $f$ mit $f(x)=a [mm] \quad \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]$?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Do 27.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo danke für die Antwort.
Ich habe nur nicht verstanden was du meinst mit:
> keine echte Erweiterung von $ [mm] \IZ [/mm] $
Kannst du das vlt. nochmal weiter ausführen, wie das zu verstehen ist?
LG
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Naja, es geht doch darum, einen anderen Ring als die ganzen Zahlen zu konstruieren. Falls [mm] $\sqrt [/mm] d [mm] \in \IZ$ [/mm] ist [mm] $\IZ[\sqrt [/mm] d] = [mm] \IZ$, [/mm] und damit langweilig. Bestimmt habt ihr in Vorlesung oder Übung mal durchgerechnet, dass [mm] $\IZ$ [/mm] ein Ring ist.
Außerdem erspart es einem die Fallunterscheidung [mm] $\sqrt [/mm] d [mm] \in \IZ$ [/mm] bzw. [mm] $\sqrt [/mm] d [mm] \notin \IZ$. [/mm] Sogesehen sollst du den interessanten Teil der Aufgabe bearbeiten und der uninteressante bleibt dir erspart.
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Fr 28.12.2012 | | Autor: | sissile |
Ah so meinst du das ;)
Okay danke.
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> 2) Sei V ein K-Vektorraum und end(V) = [mm]\{ q : V->V |[/mm] q ist k linear [mm]\}[/mm]
> Dann ist (end(V),+, [mm]\circ)[/mm] ein Ring mit 1
> 2) Was bedeutet k linear? Ich kenne nur aus der Linearen
> Algebra lineare Abbildungen.
Hallo,
es soll sicher "K-linear" heißen.
Das bedeutet: für alle [mm] v,w\in [/mm] V und für alle [mm] k\in [/mm] K gilt:
1. [mm] q(v+w)=\q(v)+q(w),
[/mm]
2. q(kv)=kq(v).
Also das, was Du als "linear" kennst.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Do 27.12.2012 | | Autor: | sissile |
Ok. Das muss ich falsch abgeschrieben haben.
Danke
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