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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:35 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Zusammen
Ich habe ein kleines Blackout..
Wenn man die Definition einer Ordnung eines Gittes [mm]M \subset K[/mm] anschaut, dann sieht das ja so aus:
[mm]\mathcal{O}_{M} = \lbrace \alpha \in K \mid \alpha M \subset M \rbrace[/mm]
Jetzt, der Ganzheitsring wird ja als ganzer abschluss von [mm]\mathbb{Z}[/mm] in [mm]K[/mm] definiert.
Gut.. aber jetzt entscheidet man sich dafür, den Ganzheitsring mit [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] zu bezeichnen.
Ist das nicht etwas unglücklich? Wenn man jetzt der Notation der Ordnung folgt, würde man ja erhalten:
[mm]\mathcal{O}_{K} = \lbrace \alpha \in K \mid \alpha K \subset K \rbrace[/mm]
Aber das wäre ja ganz [mm]K[/mm]...
Ist es nur ne Notationsfrage, die man irgendwie schlecht gelöst hat? Man hätte ja bei [mm]\mathbb{Z}_{K}[/mm] bleiben können.. oder übersehe ich etwas?
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Sa 11.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Ich habe ein kleines Blackout..
>
> Wenn man die Definition einer Ordnung eines Gittes [mm]M \subset K[/mm]
> anschaut, dann sieht das ja so aus:
>
> [mm]\mathcal{O}_{M} = \lbrace \alpha \in K \mid \alpha M \subset M \rbrace[/mm]
>
> Jetzt, der Ganzheitsring wird ja als ganzer abschluss von
> [mm]\mathbb{Z}[/mm] in [mm]K[/mm] definiert.
> Gut.. aber jetzt entscheidet man sich dafür, den
> Ganzheitsring mit [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] zu bezeichnen.
>
> Ist das nicht etwas unglücklich? Wenn man jetzt der
> Notation der Ordnung folgt, würde man ja erhalten:
>
> [mm]\mathcal{O}_{K} = \lbrace \alpha \in K \mid \alpha K \subset K \rbrace[/mm]
Das stimmt auch nicht 
> Aber das wäre ja ganz [mm]K[/mm]...
>
>
> Ist es nur ne Notationsfrage, die man irgendwie schlecht
> gelöst hat? Man hätte ja bei [mm]\mathbb{Z}_{K}[/mm] bleiben
> können.. oder übersehe ich etwas?
Nun, in der alg. Geometrie bezeichnet man mit z.B. fuer ein Schema $X$ mit [mm] $\mathcal{O}_X$ [/mm] die Garbe der holomorphen Funktionen auf $X$. Schreibt man genauso, ist trotzdem etwas anderes als die Ordnung eines Gitters.
Und $K$ ist auch kein Gitter, womit [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] etwas anderes ist als [mm] $\mathcal{O}_M$.
[/mm]
Alle diese drei Objekte [mm] $\mathcal{O}_M$, $\mathcal{O}_K$, $\mathcal{O}_X$ [/mm] heissen sehr aehnlich, weil sie sich sehr aehnlich verhalten und aehnliche Eigenschaften haben. Gleich muessen die deshalb aber noch lange nicht sein!
Aber ist etwa $K$ ein Zahlkoerper und $M$ ein gebrochenrationales [mm] $\mathcal{O}_K$-Ideal, [/mm] so ist [mm] $\mathcal{O}_M [/mm] = [mm] \mathcal{O}_K$. [/mm] Die Teile koennen also uebereinstimmen
Ich hoffe das hilft ein wenig...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey!
> Ich hoffe das hilft ein wenig...
>
Nicht nur ein wenig.. das beantwortet sogleich die Fragen, die eventuell noch hätten kommen können... :D
Also, ein weiteres Mal ganz herzlichen Dank für die Hilfe :)
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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