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Ring of Integers: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Sa 11.09.2010
Autor: Arcesius

Hallo Zusammen

Ich habe ein kleines Blackout..

Wenn man die Definition einer Ordnung eines Gittes [mm]M \subset K[/mm] anschaut, dann sieht das ja so aus:

[mm]\mathcal{O}_{M} = \lbrace \alpha \in K \mid \alpha M \subset M \rbrace[/mm]

Jetzt, der Ganzheitsring wird ja als ganzer abschluss von [mm]\mathbb{Z}[/mm] in [mm]K[/mm] definiert.
Gut.. aber jetzt entscheidet man sich dafür, den Ganzheitsring mit [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] zu bezeichnen.

Ist das nicht etwas unglücklich? Wenn man jetzt der Notation der Ordnung folgt, würde man ja erhalten:

[mm]\mathcal{O}_{K} = \lbrace \alpha \in K \mid \alpha K \subset K \rbrace[/mm]

Aber das wäre ja ganz [mm]K[/mm]...


Ist es nur ne Notationsfrage, die man irgendwie schlecht gelöst hat? Man hätte ja bei [mm]\mathbb{Z}_{K}[/mm] bleiben können.. oder übersehe ich etwas?

Grüsse, Amaro

        
Bezug
Ring of Integers: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Sa 11.09.2010
Autor: felixf

Moin Amaro!

> Ich habe ein kleines Blackout..
>  
> Wenn man die Definition einer Ordnung eines Gittes [mm]M \subset K[/mm]
> anschaut, dann sieht das ja so aus:
>  
> [mm]\mathcal{O}_{M} = \lbrace \alpha \in K \mid \alpha M \subset M \rbrace[/mm]
>  
> Jetzt, der Ganzheitsring wird ja als ganzer abschluss von
> [mm]\mathbb{Z}[/mm] in [mm]K[/mm] definiert.
>  Gut.. aber jetzt entscheidet man sich dafür, den
> Ganzheitsring mit [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] zu bezeichnen.
>
> Ist das nicht etwas unglücklich? Wenn man jetzt der
> Notation der Ordnung folgt, würde man ja erhalten:
>  
> [mm]\mathcal{O}_{K} = \lbrace \alpha \in K \mid \alpha K \subset K \rbrace[/mm]

Das stimmt auch nicht ;-)

> Aber das wäre ja ganz [mm]K[/mm]...
>
>
> Ist es nur ne Notationsfrage, die man irgendwie schlecht
> gelöst hat? Man hätte ja bei [mm]\mathbb{Z}_{K}[/mm] bleiben
> können.. oder übersehe ich etwas?

Nun, in der alg. Geometrie bezeichnet man mit z.B. fuer ein Schema $X$ mit [mm] $\mathcal{O}_X$ [/mm] die Garbe der holomorphen Funktionen auf $X$. Schreibt man genauso, ist trotzdem etwas anderes als die Ordnung eines Gitters.

Und $K$ ist auch kein Gitter, womit [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] etwas anderes ist als [mm] $\mathcal{O}_M$. [/mm]

Alle diese drei Objekte [mm] $\mathcal{O}_M$, $\mathcal{O}_K$, $\mathcal{O}_X$ [/mm] heissen sehr aehnlich, weil sie sich sehr aehnlich verhalten und aehnliche Eigenschaften haben. Gleich muessen die deshalb aber noch lange nicht sein!

Aber ist etwa $K$ ein Zahlkoerper und $M$ ein gebrochenrationales [mm] $\mathcal{O}_K$-Ideal, [/mm] so ist [mm] $\mathcal{O}_M [/mm] = [mm] \mathcal{O}_K$. [/mm] Die Teile koennen also uebereinstimmen ;-)

Ich hoffe das hilft ein wenig...

LG Felix



Bezug
                
Bezug
Ring of Integers: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:28 Sa 11.09.2010
Autor: Arcesius

Hey!

> Ich hoffe das hilft ein wenig...
>

Nicht nur ein wenig.. das beantwortet sogleich die Fragen, die eventuell noch hätten kommen können... :D

Also, ein weiteres Mal ganz herzlichen Dank für die Hilfe :)

> LG Felix
>  

Grüsse, Amaro

Bezug
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