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Ringe: Verknüpfung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 Di 11.10.2016
Autor: Franzi17

Aufgabe
Sei R ein kommutativer Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1. Für (a,b),(c,d) ∈ R2 definieren wir (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) und (a,b)(c,d) = (ac−bd,ad + bc). Zeigen Sie, dass R × R mit diesen Verknüpfungen ein kommutativer Ring mit Nullelement (0,0) und Einselement (1,0) ist.

Hallo,

ich verstehe nicht, wie man auf die 2. Verknüpfung kommt, kann mir jemand bitte einen Tipp geben! Danke!

        
Bezug
Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Di 11.10.2016
Autor: angela.h.b.


> Sei R ein kommutativer Ring mit Nullelement 0 und
> Einselement 1. Für (a,b),(c,d) ∈ R2 definieren wir
> (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d) und (a,b)(c,d) = (ac−bd,ad
> + bc). Zeigen Sie, dass R × R mit diesen Verknüpfungen
> ein kommutativer Ring mit Nullelement (0,0) und Einselement
> (1,0) ist.
>  Hallo,
>
> ich verstehe nicht, wie man auf die 2. Verknüpfung kommt,
> kann mir jemand bitte einen Tipp geben! Danke!

Hallo,

da gibt's nichts zu verstehen!
Du mußt diese Verknüpfung einfach hinnehmen wie einen Regenschauer und damit arbeiten, also zeigen, daß [mm] R\times [/mm] R mit den beiden gegebenen Verknüpfungen ein Ring ist.
Verwenden darfst Du dazu alles, was sich daraus ergibt, daß nach Voraussetzung
R ein kommutativer Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1 ist.

Ich mache Dir mal vor, daß (1,0) das Einselement ist:
Seien [mm] a,b\in [/mm] R.

Es ist  
(a,b)(1,0) = (a*1−b*0,a*0 + b*1) [mm] \quad\quad [/mm] nach Def. der Verknüpfung
[mm] =(a-0,0+b)\quad\quad [/mm] Rechnen im Ring R
=(a,b) [mm] \quad\quad [/mm] Rechnen im Ring R.

Also ist (1,0) das Einselement.

LG Angela





Bezug
                
Bezug
Ringe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Mi 12.10.2016
Autor: Franzi17

Vielen Dank!!

Bezug
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