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Ringe: Teilmengen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Do 20.10.2016
Autor: Franzi17

Aufgabe
Entscheiden Sie, ob die angegebene Teilmenge von Q zusammen mit der üblichen Addition, mit 0 als Nullelement, mit der üblichen Multiplikation und mit 1 als Einselement ein Ring ist. Begründen Sie Ihre Antwort!
(a) {a/5 : a ∈ IZ}
(b) {a/2n : a,n ∈ IZ}

Hallo,
wäre froh über einen Tipp, ist die Herangehensweise in Ordnung oder habe ich einen Fehler gemacht? Danke für die Hilfe!


a.) z.Z. 0, 1 Element von [mm] {\bruch{a}{5} ; a ∈ IZ} [/mm]
  

[mm] \bruch{a}{5} [/mm] = 0
für a = 0, 0  ∈ IZ
--> 0 ∈ [mm] {\bruch{a}{5}; a ∈ IZ} [/mm]

[mm] \bruch{a}{5} [/mm] = 1
für a = 5 , 5 ∈ IZ
--> 5 ∈ [mm] {\bruch{a}{5}; a ∈ IZ} [/mm]

z.Z.: m(a,b) ∈ [mm] {\bruch{a}{5}; a ∈ IZ} [/mm]

additiv: m(a,b) = a + b

[mm] \bruch{a}{5} [/mm] + [mm] \bruch{b}{5} [/mm] = [mm] \bruch{a + b}{5} [/mm] = [mm] \bruch{x}{5} [/mm]

a  +  b sei x, x ∈ IZ, da die Summe zweier ganzer Zahlen eine ganze Zahl ergibt.

multiplikativ: m(a,b) = ab

[mm] \bruch{a}{5} [/mm] * [mm] \bruch{b}{5} [/mm] = [mm] \bruch{ab}{25} [/mm]

multiplikativ m(a,b) nur ∈  [mm] {\bruch{a}{5}; a ∈ IZ}, [/mm] wenn ab durch 5 teilbar ist.

--> kein Ring

Bei b) ergibt sich eine ähnliche Situation.

        
Bezug
Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Do 20.10.2016
Autor: angela.h.b.


> Entscheiden Sie, ob die angegebene Teilmenge von Q zusammen
> mit der üblichen Addition, mit 0 als Nullelement, mit der
> üblichen Multiplikation und mit 1 als Einselement ein Ring
> ist. Begründen Sie Ihre Antwort!
> (a) {a/5 : a ∈ IZ}
> (b) {a/2n : a,n ∈ IZ}
> Hallo,
> wäre froh über einen Tipp, ist die Herangehensweise in
> Ordnung oder habe ich einen Fehler gemacht? Danke für die
> Hilfe!

>
>

> a.) z.Z. 0, 1 Element von [mm]{\bruch{a}{5} ; a ∈ IZ}[/mm]

>
>

> [mm]\bruch{a}{5}[/mm] = 0
> für a = 0, 0 ∈ IZ
> --> 0 ∈ [mm]{\bruch{a}{5}; a ∈ IZ}[/mm]

>

> [mm]\bruch{a}{5}[/mm] = 1
> für a = 5 , 5 ∈ IZ
> --> 5 ∈ [mm]{\bruch{a}{5}; a ∈ IZ}[/mm]

>

> z.Z.: m(a,b) ∈ [mm]{\bruch{a}{5}; a ∈ IZ}[/mm]

>

> additiv: m(a,b) = a + b

>

> [mm]\bruch{a}{5}[/mm] + [mm]\bruch{b}{5}[/mm] = [mm]\bruch{a + b}{5}[/mm] =
> [mm]\bruch{x}{5}[/mm]

>

> a + b sei x, x ∈ IZ, da die Summe zweier ganzer Zahlen
> eine ganze Zahl ergibt.

>

> multiplikativ: m(a,b) = ab

>

> [mm]\bruch{a}{5}[/mm] * [mm]\bruch{b}{5}[/mm] = [mm]\bruch{ab}{25}[/mm]

>

> multiplikativ m(a,b) nur ∈ [mm]{\bruch{a}{5}; a ∈ IZ},[/mm]
> wenn ab durch 5 teilbar ist.

>

> --> kein Ring

Hallo,

Du hast richtig überlegt: es ist kein Ring.

Zum Zeigen dieser Tatsache kannst Du alles Gedöns, was Du auf dem Weg zu dieser Erkenntnis gemacht hast, weglassen, und einfach ein konkretes Zalenbeispiel angeben, an welchem man sieht, daß die Regeln eines Ringes nicht eingehalten werden.
Z.B. so:

Es sind [mm] \bruch{1}{5}, \bruch{3}{5}\in \{a/5 : a \in \IZ\}, [/mm]

jedoch ist [mm] \bruch{1}{5}*\bruch{3}{5}=\bruch{3}{25}=\bruch{0.6}{5}\not\in \{a/5 : a \in \IZ\}. [/mm]
Also ist die Menge kein Ring.

Merke: widerlegen immer mit einem Gegenbeispiel!

>

> Bei b) ergibt sich eine ähnliche Situation.

Ja?
Ich würde denken, daß es ein Ring ist - zumindest, wenn die Menge im Original so ist, daß n=0 ausgeschlossen ist. Sonst ist es ja eh Kokolores.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Do 20.10.2016
Autor: Franzi17

Hallo! Danke für die Antwort.
bei b) komme ich bei m(a,b) = ab
auf [mm] \bruch{a}{2^n} [/mm]  * [mm] \bruch{b}{2^n} [/mm] = [mm] \bruch{ab}{4^n} [/mm]
und wäre dann nicht m(a,b) nur Element {a/2n : a,n ∈Z} wenn ab durch 2 teilbar wäre?

Bezug
                        
Bezug
Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 Do 20.10.2016
Autor: angela.h.b.


> Hallo! Danke für die Antwort.
> bei b) komme ich bei m(a,b) = ab
> auf [mm]\bruch{a}{2^n}[/mm] * [mm]\bruch{b}{2^n}[/mm] = [mm]\bruch{ab}{4^n}[/mm]
> und wäre dann nicht m(a,b) nur Element {a/2n : a,n ∈Z}
> wenn ab durch 2 teilbar wäre?

Hallo,

oh, die Menge ist wohl ganz anders als von Dir gepostet.
Wohl so: [mm] \{\bruch{a}{2^n}: a,n\in \IZ\} [/mm] ?

Es ist doch

> [mm]\bruch{a}{2^n}[/mm] * [mm]\bruch{b}{2^n}[/mm] = [mm]\bruch{ab}{4^n}[/mm]

[mm] =\bruch{ab}{(2^2)^n}=\bruch{ab}{2^{2n}}. [/mm] Paßt.

Vor allem aber ist

[mm]\bruch{a}{2^n}[/mm] * [mm]\bruch{b}{2^m}[/mm] =[mm]\bruch{ab}{2^{n+m}}[/mm] . Paßt.

LG Angela
 

Bezug
                                
Bezug
Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Do 20.10.2016
Autor: Franzi17

Oh Entschuldigung für den Tippfehler.
Ich stehe grad etwas auf dem Schlauch.
wenn es 2^(2n) ist, wieso ist es dann Element von [mm] a/(2^n)? [/mm]

Bezug
                                        
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Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Do 20.10.2016
Autor: angela.h.b.


> Oh Entschuldigung für den Tippfehler.
> Ich stehe grad etwas auf dem Schlauch.
> wenn es 2^(2n) ist, wieso ist es dann Element von [mm]a/(2^n)?[/mm]

Es ist Element der Menge [mm] \{\bruch{a}{2^n}:a,n\in \IZ\}, [/mm]
weil in dieser Menge die Brüche sind, deren Zähler irgendeine ganze Zahl und deren Nenner irgendeine Zweierpotenz sind.

LG Angela

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Ringe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Do 20.10.2016
Autor: Franzi17

Ok, vielen Dank!

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