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| Aufgabe | Gegeben ist ein Ring (R,+, * ).
Außerdem: [mm] R^X [/mm] := {f: X [mm] \to [/mm] R Abbildung}
In [mm] R^X [/mm] gelten folgende Verknüpfungen:
f [mm] \oplus [/mm] g: X [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto [/mm] f(x) + g(x)
f [mm] \odot [/mm] g: X [mm] \to [/mm] R, x [mm] \mapsto [/mm] f(x) * g(x)
1) Zeigen Sie, dass ( [mm] R^X [/mm] , [mm] \oplus, \odot) [/mm] ein Ring ist
3) Angenommen, (R,+,*) ist nullteilerfrei. Ist dann auch ( [mm] R^X [/mm] , [mm] \oplus, \odot) [/mm] nullteilerfrei? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu Aufgabe 1 habe ich nur eine kurze Frage: Und zwar habe ich zwei unterschiedliche Definitionen vom Ringaxiom 2:
1) Die Multiplikation ist assoziativ
2) (R,*) ist eine assoziative Gruppe
Was ist die richtige? Reicht es, wenn ich zeige, dass /odot assoziativ ist, oder muss ich auch die Existenz eines neutralen und eines inversen Elementes beweisen?
Zu Aufgabe 3:
Hier weiß ich leider keinen Ansatz, da mir die genau Vorstellung fehlt, um was es sich bei [mm] R^X [/mm] handelt. Hier wäre ich für einen kleinen Denkanstoß sehr dankbar.
Evtl. ist es ja mit einem Gegenbeispiel wiederlegbar, nur leider weiß ich nicht, wie ich ein Beispiel darstellen soll, daher wäre ich auch danbar, wenn jemand mir evtl. ein Beispiel zeigen könnte, auch wenn es bei diesem Beispiel dann noch nicht stimmt.
MfG
Daywalker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Mi 07.06.2006 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Gegeben ist ein Ring (R,+, * ).
> Außerdem: [mm]R^X[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f: X [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R Abbildung}
>
> In [mm]R^X[/mm] gelten folgende Verknüpfungen:
> f [mm]\oplus[/mm] g: X [mm]\to[/mm] R, x [mm]\mapsto[/mm] f(x) + g(x)
> f [mm]\odot[/mm] g: X [mm]\to[/mm] R, x [mm]\mapsto[/mm] f(x) * g(x)
>
> 1) Zeigen Sie, dass ( [mm]R^X[/mm] , [mm]\oplus, \odot)[/mm] ein Ring ist
> 3) Angenommen, (R,+,*) ist nullteilerfrei. Ist dann auch (
> [mm]R^X[/mm] , [mm]\oplus, \odot)[/mm] nullteilerfrei?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zu Aufgabe 1 habe ich nur eine kurze Frage: Und zwar habe
> ich zwei unterschiedliche Definitionen vom Ringaxiom 2:
> 1) Die Multiplikation ist assoziativ
> 2) (R,*) ist eine assoziative Gruppe
2) kann nicht sein, der multiplikative 'Teil' eines Ringes muß keine Gruppe bilden, siehe z. B. [mm] \IZ. [/mm]
>
> Was ist die richtige? Reicht es, wenn ich zeige, dass /odot
> assoziativ ist, oder muss ich auch die Existenz eines
> neutralen und eines inversen Elementes beweisen?
Assoziativität reicht!
> Zu Aufgabe 3:
> Hier weiß ich leider keinen Ansatz, da mir die genau
> Vorstellung fehlt, um was es sich bei [mm]R^X[/mm] handelt. Hier
> wäre ich für einen kleinen Denkanstoß sehr dankbar.
> Evtl. ist es ja mit einem Gegenbeispiel wiederlegbar, nur
> leider weiß ich nicht, wie ich ein Beispiel darstellen
> soll, daher wäre ich auch danbar, wenn jemand mir evtl. ein
> Beispiel zeigen könnte, auch wenn es bei diesem Beispiel
> dann noch nicht stimmt.
Nimm für X eine Menge mit 2 Elementen a und b und für R [mm] \IZ. [/mm] Dann sei f die Abb. mit f(a) = 1 und f(b) = 0 und g die Abb. mit g(a) = 0 und g(b) = 1. Jetzt rechne mal fleißig herum!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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