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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 So 22.10.2006 | | Autor: | diego |
| Aufgabe | Finden Sie x in [mm] \IZ/11\IZ, [/mm] so dass folgende Gleichungen in [mm] \IZ/11\IZ [/mm] erfüllt sind.
(a) 6 * x = 2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo,
bin wie ihr wahrscheinlich auch noch am durcharbeiten der Unterlagen.
Die Zahlen überstrichen werden.
Habe die folgende aufgabe trotz der angegebenen Lösung nicht verstanden.
Wieso ist [mm] 6^{-1} [/mm] = 2
Danke,
Yvonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 So 22.10.2006 | | Autor: | Brinki |
Ich würde eine 6er-Reihe aufstellen und mod 11 berechnen.
Da 6 und 11 teilerfremd sind existiert auf alle Fälle eine Lösung.
Ich hoffe, ich konnte helfen.
Grüße
Brinki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin diego!
Bin auch noch nicht ganz durch aber werd es ma versuchen.
Was wir sonst versuchen wenn wir eine Aufgabe dieser Art lösen wollen.
Bsp:
$6x=2$ [mm] $x\in\IR$
[/mm]
wir multiplizieren beide Seiten mit dem Inversen von 6 bzgl. der normalen Multiplikation der reellen Zahlen also mit [mm] \frac{1}{6} [/mm] isolieren somit das x und wissen das [mm] $x=\frac{1}{3}$ [/mm] ist. Das Gleiche mußt du hier auch tun - also beide Seiten mit dem multiplikativ Inversen von [mm] \overline{6} [/mm] multiplizieren.
Das inverse Element [mm] a^{-1} [/mm] wird durch:
[mm] a*a^{-1}=n [/mm] (neutrales Element) charakterisiert
du suchst also ein [mm] \overline{b}, [/mm] so dass gilt [mm] \overline{6}*\overline{b}=\overline{1} [/mm] (Seite 97 im Script)
in anderen Worten die Zahl b so dass $11=b*6-1$ (*)
schau dir dazu einfach nochmal die Äquivalenzrelation [mm] \sim_n [/mm] aus der ersten Kurseinheit an.
Aus * wird klar das b=2 sein muß. Und [mm] \overline{6*2}=\overline{12}=\overline{1}, [/mm] da $12=1*11+n=1*11+1$
Du suchst also eine Zahl b die mit 6 multipliziert bzgl mod11 den rest eins (neutrales Element) lässt.
der Rest ist dann Formsache:
[mm] \overline{6}*\overline{x}=\overline{2} [/mm] mit dem Inversen von [mm] \overline{6} [/mm] multipliziert
[mm] \overline{6}*\overline{2}*\overline{x}=\overline{2}*\overline{2}
[/mm]
[mm] \overline{1}*\overline{x}=\overline{4}
[/mm]
[mm] \overline{x}=\overline{4}
[/mm]
jedes $z$ mit $z=4+k*11$ [mm] $k\in\IZ$ [/mm] wäre natürlich genauso eine Lösung der Gleichung.
MfG Sashman
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:35 Mo 23.10.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
ich erlaube mir mal zwei (auf den ersten Blick) kleinliche Anmerkungen:
> Was wir sonst versuchen wenn wir eine Aufgabe dieser Art
> lösen wollen.
>
> Bsp:
>
> [mm]6x=2[/mm] [mm]x\in\IR[/mm]
>
> wir multiplizieren beide Seiten mit dem Inversen von 6
> bzgl. der normalen Multiplikation der reellen Zahlen also
> mit [mm]\frac{1}{6}[/mm] isolieren somit das x und wissen das
> [mm]x=\frac{1}{3}[/mm] ist. Das Gleiche mußt du hier auch tun - also
> beide Seiten mit dem multiplikativ Inversen von
> [mm]\overline{6}[/mm] multiplizieren.
>
> Das inverse Element [mm]a^{-1}[/mm] wird durch:
>
> [mm]a*a^{-1}=n[/mm] (neutrales Element) charakterisiert
>
> du suchst also ein [mm]\overline{b},[/mm] so dass gilt
> [mm]\overline{6}*\overline{b}=\overline{1}[/mm] (Seite 97 im
> Script)
>
> in anderen Worten die Zahl b so dass [mm]11=b*6-1[/mm] (*)
>
> schau dir dazu einfach nochmal die Äquivalenzrelation
> [mm]\tilde_n[/mm] aus der ersten Kurseinheit an.
>
> Aus * wird klar das b=2 sein muß. Und
> [mm]\overline{6*2}=\overline{12}=\overline{1},[/mm] da
> [mm]12=1*11+n=1*11+1[/mm]
>
> Du suchst also eine Zahl b die mit 6 multipliziert bzgl
> mod11 den rest eins (neutrales Element) lässt.
>
> der Rest ist dann Formsache:
>
> [mm]\overline{6}*\overline{x}=\overline{2}[/mm] mit dem Inversen
> von [mm]\overline{6}[/mm] multipliziert
>
> [mm]\overline{6}*\overline{2}*\overline{x}=\overline{2}*\overline{2}[/mm]
Also das ist zwar richtig, aber nur, weil die Multiplikation in [mm] $\IZ/11\IZ$ [/mm] kommutativ ist. Strenggenommen (und Strenge lohnt sich am Anfang des Studiums  ) muss [mm] $\overline{2}$ [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung von links multipliziert werden:
[mm]\red{\overline{2}}*\overline{6}*\overline{x}=\overline{2}*\overline{2}[/mm]
> [mm]\overline{1}*\overline{x}=\overline{4}[/mm]
>
> [mm]\overline{x}=\overline{4}[/mm]
>
> jedes [mm]z[/mm] mit [mm]z=4+k*11[/mm] [mm]k\in\IZ[/mm] wäre natürlich genauso eine
> Lösung der Gleichung.
Das stimmt so formuliert nicht.
Es gibt keine weitere Lösung, die einzige Lösung ist [mm] $\overline{4}$.
[/mm]
Was Du meinst ist, dass es weitere Repräsentanten für die Restklassenmenge [mm] $\overline{4}$ [/mm] gibt, z.B. ist
[mm] $\overline{4}=\overline{15}=\overline{26}$
[/mm]
Der Ring [mm] $\IZ/11\IZ$ [/mm] besteht nur aus den 11 Elementen
[mm] $\IZ/11\IZ=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6},\overline{7},\overline{8},\overline{9},\overline{10}\}$
[/mm]
Jedes dieser Elemente ist wiederum eine Menge von ganzen Zahlen, die bei der Division durch 11 denselben Rest lassen. Z.B.:
[mm] $\overline{4}=\{\ldots,-18,-7,4,15,26,\ldots\}$
[/mm]
Ich hoffe, ich habe Euch nicht verwirrt 
Viele Grüße,
Marc
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