Ringe und Körper < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | √2 ∈R aber √2 nicht ∈Q. (i) Zeigen Sie, dass {a +√2b : a,b ∈Z}⊆R mit der Addition und Multiplikation auf R ein Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1 ist.
(ii) Zeigen Sie, dass
{a +√2b : a,b ∈Z}⊆R mit der Addition und Multiplikation auf R ein Körper mit Nullelement 0 und Einselement 1 ist. |
Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob a + [mm] \wurzel{2b} [/mm] als ein Element des Ringes aufzufassen ist, ich habe das hier mal aufgeschrieben. Wär froh, wenn mir jemand sagt, ob ich auf dem richtigen oder auf dem Holzweg bin. Danke!
Ring (R,0,s,1,m)
Gruppe (R,0,s)
(A) a+(b+c)=(a+b)+c
a + [mm] \wurzel{2b} [/mm] + (b+c) = (a + [mm] \wurzel{2b} [/mm] +b) +c
(A) gilt
(K) a + b = b + a
a + [mm] \wurzel{2b} [/mm] + b = b +a + [mm] \wurzel{2b}
[/mm]
(K) gilt
(N) 0 + a = a
0 + a + [mm] \wurzel{2b} [/mm] = a + [mm] \wurzel{2b}
[/mm]
a + 0 = a
a + [mm] \wurzel{2b} [/mm] + 0 = a + [mm] \wurzel{2b}
[/mm]
(N) gilt
(I) (-a) + a = 0
(-1)a + a = 0
(-1)(a + [mm] \wurzel{2b}) [/mm] + a + [mm] \wurzel{2b} [/mm] = 0
- a - [mm] \wurzel{2b}+ [/mm] a + [mm] \wurzel{2b} [/mm] = 0
(I) gilt
Daraus folgt: (R,0,s) ist eine abelsche Gruppe.
Gruppe (R,1,m)
(A) a(bc) = (ab)c
(a + [mm] \wurzel{2b}) [/mm] (bc) = ((a + [mm] \wurzel{2b})b) [/mm] c
abc + [mm] cb\wurzel{2}= [/mm] abc + [mm] cb\wurzel{2}
[/mm]
(A) gilt
(K) ab = ba
(a + [mm] \wurzel{2b}) [/mm] b = b (a + [mm] \wurzel{2b}) [/mm]
ab + [mm] b\wurzel{2} [/mm] = ba + [mm] b\wurzel{2}
[/mm]
ab = ba, (K) gilt
(N)
1 Element K ohne {0} mit 1a = a
1(a + [mm] \wurzel{2b}) [/mm] = (a + [mm] \wurzel{2b}) [/mm]
(N) gilt
(I) a^(-1) a = 1
(a + [mm] \wurzel{2b}) [/mm] ^(-1) (a + [mm] \wurzel{2b}) [/mm] = 1
[mm] \bruch{(a + \wurzel{2b})}{(a + \wurzel{2b})} [/mm] = 1
(I) gilt
(R,1,m) ist eine abelsche Gruppe
________________________
Distributivgesetz:
a(b + c) = ab + ac
(a + [mm] \wurzel{2b}) [/mm] (b + c) = (a + [mm] \wurzel{2b})b [/mm] + (a + [mm] \wurzel{2b})c
[/mm]
ab + ac + [mm] b\wurzel{2} [/mm] + [mm] c\wurzel{2b} [/mm] = ab + [mm] b\wurzel{2} [/mm] + ac + [mm] c\wurzel{2b}
[/mm]
(D) gilt
(A), (N), (I) (jeweils) und (D) gelten --> Ring
beide Gruppen abelsch --> Körper
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo mariella,
> √2 ∈R aber √2 nicht ∈Q. (i) Zeigen Sie, dass {a
> +√2b : a,b ∈Z}⊆R mit der Addition und Multiplikation
> auf R ein Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1 ist.
> (ii) Zeigen Sie, dass
> {a +√2b : a,b ∈Z}⊆R mit der Addition und
> Multiplikation auf R ein Körper mit Nullelement 0 und
> Einselement 1 ist.
> Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] als
> ein Element des Ringes aufzufassen ist, ich habe das hier
> mal aufgeschrieben. Wär froh, wenn mir jemand sagt, ob ich
> auf dem richtigen oder auf dem Holzweg bin. Danke!
Doch. Die zugrundeliegende Menge ist doch $ [mm] \IZ[\sqrt{2}] [/mm] = [mm] \{a+b\sqrt{2} : a,b \in \IZ \} \subseteq \IR$
[/mm]
>
>
> Ring (R,0,s,1,m)
Ich finde die Notation $ (R, +, [mm] \cdot, [/mm] 0, 1) $ intuitiver. Vielleicht geht es dir ja genauso.
>
> Gruppe (R,0,s)
>
> (A) a+(b+c)=(a+b)+c
> a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] + (b+c) = (a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] +b) +c
> (A) gilt
>
> (K) a + b = b + a
> a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] + b = b +a + [mm]\wurzel{2b}[/mm]
> (K) gilt
>
> (N) 0 + a = a
> 0 + a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] = a + [mm]\wurzel{2b}[/mm]
> a + 0 = a
> a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] + 0 = a + [mm]\wurzel{2b}[/mm]
> (N) gilt
>
> (I) (-a) + a = 0
> (-1)a + a = 0
> (-1)(a + [mm]\wurzel{2b})[/mm] + a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] = 0
> - a - [mm]\wurzel{2b}+[/mm] a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] = 0
> (I) gilt
>
> Daraus folgt: (R,0,s) ist eine abelsche Gruppe.
Du musst die korrekte Darstellung der Elemente aus $ [mm] \IZ[\sqrt{2}] [/mm] $ wählen. Beispielsweise das Assoziativgesetz:
[mm] $(a_1+\sqrt{2}b_1) [/mm] + [mm] \left((a_2 + \sqrt{2}b_2)+(a_3 + \sqrt{2}b_3)\right) [/mm] = [mm] \left((a_1+\sqrt{2}b_1) + (a_2 + \sqrt{2}b_2)\right)+(a_3 [/mm] + [mm] \sqrt{2}b_3)$
[/mm]
ist klar. Aber für die anderen Gruppenaxiome wird die korrekte Darstellung vermutlich eine Rolle spielen. Probier das mal und meld dich bei Rückfragen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
LG,
CS
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Hilfe!
Muss ich noch zeigen dass 0 ungleich 1 ist oder sind die beiden Teilfragen so ausreichend beantwortet?
|
|
|
| |
|
Hallo mariella,
wie lautet denn eure Definition von Ring? In der Regel wird in der Definition bereits vorausgesetzt, dass $ 1 [mm] \not= [/mm] 0 $. In diesem Fall ist aber in der Aufgabenstellung i) bereits explizit vom Nullelement $ 0 $ und vom Einselement $ 1 $ die Rede.
Der einzige Ring in dem $ 1 = 0 $ gilt, ist der Nullring $ [mm] \{0\}$ [/mm] und in diesem ist das Nullelement $ 0 $ gleichzeitig das Einselement $ 0 $.
In Aufgabenteil ii) ist zu Zeigen dass die Menge den Körperaxiomen genügt. Der Nullring ist allerdings kein Körper und somit ist auch hier nichts zu zeigen.
LG,
CS
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mo 10.10.2016 | | Autor: | mariella22 |
Ach nein, dann hat es sich erledigt! Ich hatte was falsch verstanden. Vielen Dank!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 Mo 10.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ChopSuey,
> wie lautet denn eure Definition von Ring? In der Regel wird
> in der Definition bereits vorausgesetzt, dass [mm]1 \not= 0 [/mm].
Eine Ringdefinition, die [mm] $1\not=0$ [/mm] verlangt, habe ich noch nicht gesehen, aber das muss ja nichts heißen. Wenn man in der Definition eines Ringes [mm] $1\not=0$ [/mm] verlangen würde, wären die "Nullringe" gar keine Ringe.
> Der
... bis auf Isomorphie ...
> einzige Ring in dem [mm]1 = 0[/mm] gilt, ist der Nullring [mm]\{0\}[/mm]
> und in diesem ist das Nullelement [mm]0[/mm] gleichzeitig das
> Einselement [mm]0 [/mm].
> In Aufgabenteil ii) ist zu Zeigen dass die Menge den
> Körperaxiomen genügt.
> Der Nullring ist allerdings kein
> Körper und somit ist auch hier nichts zu zeigen.
Das ist aber eine merkwürdige Argumentation... Warum soll nichts zu zeigen sein? Weil wir dem Aufgabensteller glauben, dass ein Körper vorliegt und uns daher sicher sein können, dass kein Nullring vorliegt?
Natürlich dürfen wir für unseren Beweis nicht einfach die Behauptung der Aufgabe schon voraussetzen!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:16 Di 11.10.2016 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Tobias,
du hast Recht. Ich hatte die Behauptung der Aufgabe, dass ein Körper vorliegt, naiverweise vorausgesetzt. Danke für's Aufpassen.
LG,
CS
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Mo 10.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mariella22!
> √2 ∈R aber √2 nicht ∈Q. (i) Zeigen Sie, dass {a
> +√2b : a,b ∈Z}⊆R mit der Addition und Multiplikation
> auf R ein Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1 ist.
> (ii) Zeigen Sie, dass
> {a +√2b : a,b ∈Z}⊆R mit der Addition und
> Multiplikation auf R ein Körper mit Nullelement 0 und
> Einselement 1 ist.
(ii) ist in der von dir geposteten Fassung falsch. Soll es dort vielleicht [mm] $a,b\in\IQ$ [/mm] statt [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm] heißen?
> Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] als
> ein Element des Ringes aufzufassen ist,
Es heißt sicherlich in der Aufgabenstellung [mm] $a+(\wurzel2)b$ [/mm] und nicht [mm] $a+\wurzel{2b}$.
[/mm]
Für jede Wahl von [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm] ist die reelle Zahl [mm] $a+\wurzel2b$ [/mm] ein Element des Ringes (ich nenne seine zugrundeliegende Menge mal R), also z.B. [mm] $5+\wurzel2*(-7)\in [/mm] R$, und alle Elemente des Ringes R sind von dieser Gestalt.
> Ring (R,0,s,1,m)
Du möchtest also nachweisen, dass ein gewisses 5-Tupel (R,0,s,1,m) einen Ring bildet.
Das kann natürlich nur gelingen, wenn du verstehst, was die einzelnen Komponenten R, 0 , s, 1 und m hier bezeichnen sollen. Ich verrate es dir:
[mm] R:=\{a+\wurzel2b\;|\;a,b\in\IZ\}.
[/mm]
[mm] s(r_1,r_2):=r_1+r_2 [/mm] und [mm] $m(r_1,r_2):=r_1*r_2$ [/mm] für alle [mm] $r_1,r_2\in [/mm] R$, wobei + und * hier die gewöhnliche Addition bzw. Multiplikation reeller Zahlen bezeichnen.
0 und 1 bezeichnen die entsprechenden reellen Zahlen.
Nun können wir uns der Definition von einem Ring widmen und prüfen, ob durch unser 5-Tupel ein Ring gegeben ist.
Noch vor den Ringaxiomen im engeren Sinne findest du sicherlich folgende Voraussetzungen:
a) Die zweite und vierte Komponente des 5-Tupels (also in unserem Fall die reellen Zahlen 0 und 1) müssen jeweils Element der ersten Komponente des 5-Tupels sein (in unserem Fall die Menge [mm] $R=\{a+\wurzel2b\;|\;a,b\in\IZ\}$).
[/mm]
b) Die dritte und die fünfte Komponente des 5-Tupels müssen jeweils eine Verknüpfung auf der ersten Komponente sein, also in unserem Fall Abbildungen [mm] $R\times R\to [/mm] R$.
Zu a):
Nachzuweisen ist also [mm] $0\in\{a+\wurzel2b\;|\;a,b\in\IZ\}$ [/mm] und [mm] $1\in\{a+\wurzel2b\;|\;a,b\in\IZ\}$.
[/mm]
Um etwa [mm] $0\in\{a+\wurzel2b\;|\;a,b\in\IZ\}$ [/mm] nachzuweisen, gilt es, ganze Zahlen [mm] $a,b\in\IZ$ [/mm] zu finden mit [mm] $a+\wurzel2b=0$.
[/mm]
Zu b):
Der springende Punkt ist hier: Sind für alle [mm] $r_1,r_2\in [/mm] R$ auch [mm] $r_1+r_2$ $r_1*r_2$ [/mm] Element von [mm] R=\{a+\wurzel2b\;|\;a,b\in\IZ\}?
[/mm]
Wenn ja, werden durch [mm] $s(r_1,r_2):=r_1+r_2$ [/mm] und [mm] $m(r_1,r_2):=r_1*r_2$ [/mm] tatsächlich wie gewünscht Abbildungen [mm] $s\colon R\times R\to [/mm] R$ und [mm] $m(r_1,r_2)\colon R\times R\to [/mm] R$ erklärt.
Ist hingegen z.B. NICHT für alle [mm] $r_1,r_2\in [/mm] R$ auch deren Summe [mm] $r_1+r_2\in [/mm] R$, so kann man keine Abbildung [mm] $s\colon R\times R\to [/mm] R$ durch [mm] $s(r_1,r_2):=r_1+r_2$ [/mm] erhalten.
Seien also [mm] $r_1,r_2\in [/mm] R$. (Das bedeutet nach Definition von R was?)
Zu zeigen ist [mm] $r_1+r_2\in [/mm] R$ (Das bedeutet nach Definition von R was?)
> Gruppe (R,0,s)
>
Zu zeigen ist
> (A) a+(b+c)=(a+b)+c
für alle [mm] $a,b,c\in [/mm] R$, wobei + hier für $s$ steht.
Seien also [mm] $a,b,c\in [/mm] R$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist Gleichung (A).
Da a, b und c insbesondere reelle Zahlen sind, + in (A) nach Definition von s die gewöhnliche Addition reeller Zahlen bezeichnet und diese gewöhnliche Addition reeller Zahlen assoziativ ist, gilt tatsächlich (A).
> a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] + (b+c) = (a + [mm]\wurzel{2b}[/mm] +b) +c
> (A) gilt
Das ist aber ein Kuddelmuddel... Dir scheint selbst nicht klar zu sein, was a, b und c hier eigentlich bedeuten sollen... Soll es sich bei gewissen dieser Objekte um ganze Zahlen handeln? Oder um Elemente von R?
Bei den weiteren Axiomen ist Analoges anzumerken.
Bei der Existenz additiv Inverser beachte, dass die additiv Inversen aus [mm] $R=\{a+\wurzel2b\;|\;a,b\in\IZ\}$ [/mm] stammen müssen.
> Gruppe (R,1,m)
Nein, dieses Tripel bildet keine Gruppe, denn [mm] $0\in [/mm] R$ besitzt kein Inverses bezüglich m.
> (N)
> 1 Element K ohne {0} mit 1a = a
Was meinst du mit K?
> (A), (N), (I) (jeweils) und (D) gelten --> Ring
> beide Gruppen abelsch --> Körper
Schaue dir nochmal an, welche Eigenschaften für Ringe und Körper jeweils verlangt sind. Da scheint einiges durcheinanderzugehen...
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hallo,
nein da steht wirklich a,b E Z
Die Wurzel, geht nur über das 2, tut mir leid, das war ein Tippfehler.
Also wenn 0,1 Element von R={a + [mm] \wurzel{2}b [/mm] } sein sollen:
a + [mm] \wurzel{2}b [/mm] = 0
wenn b = 0, a = 0
0 E Z
a + [mm] \wurzel{2}b [/mm] =1
wenn b=0, a =1
0 E Z
Daraus folgt: 0,1 E R
Die Ringaxiome sind wirklich durcheinander geraten. Ich hoffe, ich hab es jetzt richtig;
Bedinungen Ring:
1.) (R,0,s) ist ein abelsche Gruppe
(A) a + (b + c) = (a + b)+ c
(A) gilt
(N) 0 + a = a + 0 = a
(N) gilt
(I) (-a) + a = 0
(-1)a + a = 0
(I) gilt
(K) a + b = b + a
(K) gilt
Darausfolgt: (R,0,s) ist eine abelsche Gruppe
Multiplikative Bediungen Ring:
2.) a(bc) = (ab)c
gilt
3.) 1a = a1 = a
gilt
4.) a(b+c) = ab + ac
und (b+c)a = ba + ca
gilt
Daraus folgt: (R,0,s,1,m) ist ein Ring.
Bedinung für Kommutativität:
ab = ba
gilt.
Daraus folgt: Der Ring ist kommutativ.
Bedinung Körper:
1.) 0 ungleich 1
erfüllt, da der Ring nicht der Nullring ist
2.) für jedes a ∈ K(örper) ohne {0} gibt es ein a' ∈ K mit a'a = 1.
Da 0 ausgeschlosssen ist, gilt dies.
Damit folgt, der Ring ist ein Körper.
Stimmt es jetzt?
Vielen Dank!!
Ich habe für a
a + [mm] \wurzel{2}b
[/mm]
a,b mit Indices 1
für b:
a + [mm] \wurzel{2}b
[/mm]
a,b mit Indices 2
und für c mit Indices 3 eingesetzt.
Das hier auszuschreiben war leider nicht möglich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mi 12.10.2016 | | Autor: | meili |
Hallo mariella22,
> Hallo,
>
> nein da steht wirklich a,b E Z
> Die Wurzel, geht nur über das 2, tut mir leid, das war
> ein Tippfehler.
>
> Also wenn 0,1 Element von [mm] $R=\{a + \wurzel{2}b \}$ [/mm] sein
> sollen:
>
> a + [mm]\wurzel{2}b[/mm] = 0
> wenn b = 0, a = 0
> 0 E Z
(ist eine etwas merkwürdige schreibweise mit E Z, üblich ist [mm] $\in \IZ$)
[/mm]
Es sollte doch $0 [mm] \in [/mm] R$ und nicht $0 [mm] \in \IZ$ [/mm] gezeigt werden.
$0 [mm] \in \IZ$
[/mm]
damit a = 0, b = 0 [mm] $\in \IZ$
[/mm]
0 + [mm]\wurzel{2}* 0[/mm] = 0
[mm] $\Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] R$
>
> a + [mm]\wurzel{2}b[/mm] =1
> wenn b=0, a =1
> 0 E Z
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (siehe oben)
>
> Daraus folgt: 0,1 E R
>
> Die Ringaxiome sind wirklich durcheinander geraten. Ich
> hoffe, ich hab es jetzt richtig;
>
> Bedinungen Ring:
>
> 1.) (R,0,s) ist ein abelsche Gruppe
>
> (A) a + (b + c) = (a + b)+ c
> (A) gilt
Aber gezeigt, hast du es nicht.
>
> (N) 0 + a = a + 0 = a
>
>
> (N) gilt
>
> (I) (-a) + a = 0
> (-1)a + a = 0
>
> (I) gilt
>
> (K) a + b = b + a
> (K) gilt
>
> Darausfolgt: (R,0,s) ist eine abelsche Gruppe
>
> Multiplikative Bediungen Ring:
>
> 2.) a(bc) = (ab)c
>
>
> gilt
>
> 3.) 1a = a1 = a
>
> gilt
>
> 4.) a(b+c) = ab + ac
> und (b+c)a = ba + ca
> gilt
>
> Daraus folgt: (R,0,s,1,m) ist ein Ring.
>
> Bedinung für Kommutativität:
>
> ab = ba
> gilt.
>
>
> Daraus folgt: Der Ring ist kommutativ.
Die Ringaxiome hast du nun aufgeschrieben, aber für das konkrete
Beispiel R, das zu untersuchen ist, hast du nix gezeigt,
ausser dass 0 und 1 in R enthalten sind.
>
>
> Bedinung Körper:
>
> 1.) 0 ungleich 1
> erfüllt, da der Ring nicht der Nullring ist
>
> 2.) für jedes a ∈ K(örper) ohne {0} gibt es ein a' ∈
> K mit a'a = 1.
> Da 0 ausgeschlosssen ist, gilt dies.
Kannst du für $ x [mm] \in [/mm] R = [mm] \{ a + \wurzel{2}b | a,b \in \IZ \} \setminus \{0\}$ [/mm] ein $x'$ angeben
mit $x*x' = x'*x = 1$? Gibt es solche Elemente überhaupt?
>
>
> Damit folgt, der Ring ist ein Körper.
>
> Stimmt es jetzt?
>
> Vielen Dank!!
>
> Ich habe für a
> a + [mm]\wurzel{2}b[/mm]
> a,b mit Indices 1
>
> für b:
> a + [mm]\wurzel{2}b[/mm]
> a,b mit Indices 2
>
> und für c mit Indices 3 eingesetzt.
>
> Das hier auszuschreiben war leider nicht möglich.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
Das mit der Schreibweise tut mir leid, ich habe etwas Probleme damit, hier das Format richtig einzutippen. Deshalb sind auch die Ringaxiome nicht ausgführt. Ich hatte für jedes Ringaxiom auf meinem Blatt Papier für
a = a + [mm] \wurzel{2}b [/mm] mit den Indices 1: [mm] a_1, b_1 [/mm]
b = a + [mm] \wurzel{2}b [/mm] mit den Indices 2: [mm] a_2, b_2
[/mm]
und c mit [mm] a_3 [/mm] , [mm] c_3
[/mm]
eingesetzt. Ich konnte es hier nur nicht so ausformulieren, dass es lesbar gewesen wäre.
Wegen 0 Element aus Z: Ich meinte damit dass es deshalb möglich ist für a und b 0 einzusetzen, da a,b Elemente von Z sein müssen und die 0 ja Element von Z ist. Das werde ich nochmal zu 0 Element des Ringes umformulieren.
bzgl. des multiplikativen Inversen habe ich nicht ganz verstanden, wie deine Antwort gemeint ist?
Danke nochmal!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:36 Do 13.10.2016 | | Autor: | meili |
Hallo mariella22,
> Hallo,
> vielen Dank für die Antwort!
> Das mit der Schreibweise tut mir leid, ich habe etwas
> Probleme damit, hier das Format richtig einzutippen.
> Deshalb sind auch die Ringaxiome nicht ausgführt. Ich
> hatte für jedes Ringaxiom auf meinem Blatt Papier für
>
> a = a + [mm]\wurzel{2}b[/mm] mit den Indices 1: [mm]a_1, b_1[/mm]
> b = a + [mm]\wurzel{2}b[/mm] mit den Indices 2: [mm]a_2, b_2[/mm]
> und c mit
> [mm]a_3[/mm] , [mm]c_3[/mm]
>
> eingesetzt. Ich konnte es hier nur nicht so ausformulieren,
> dass es lesbar gewesen wäre.
Ok, dann hast du die Beweise für dich durchgeführt.
>
> Wegen 0 Element aus Z: Ich meinte damit dass es deshalb
> möglich ist für a und b 0 einzusetzen, da a,b Elemente
> von Z sein müssen und die 0 ja Element von Z ist. Das
> werde ich nochmal zu 0 Element des Ringes umformulieren.
Ja, als Voraussetzung ist $0 [mm] \in \IZ$ [/mm] richtig und wichtig. Und
nach Durchführung der Rechnung stand bei dir auch weiter unten der
Schluss $0 [mm] \in [/mm] R$.
>
> bzgl. des multiplikativen Inversen habe ich nicht ganz
> verstanden, wie deine Antwort gemeint ist?
Wenn es zu jedem $a + [mm] \wurzel{2}b \in [/mm] R [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] ein Inverses
gibt, muss es $c,d [mm] \in \IZ$ [/mm] geben mit:
$(a + [mm] \wurzel{2}b)*(c [/mm] + [mm] \wurzel{2}d) [/mm] = 1$
Das ergibt:
$ac+2bd=1, ad+bc=0$
Hat dieses Gleichungssystem Lösungen für c,d aus [mm] $\IZ$ [/mm] (in Abhängigkeit
von a,b auch aus [mm] $\IZ$)?
[/mm]
>
> Danke nochmal!
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:22 Do 13.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Ein paar Ergänzungen zu meilis Antwort:
(Leider funktioniert die Formelumsetzung hier im Forum aktuell nicht. Ich hoffe, dies wird bald behoben sein, so dass die Formeln lesbar werden.)
Es fehlt noch der Nachweis von der Eigenschaft b) aus meiner vorherigen Antwort, dass für alle [mm] $r_1,r_2\in [/mm] R$ auch [mm] $r_1+r_2\in [/mm] R$ und [mm] $r_1*r_2\in [/mm] R$ gelten.
> (I) (-a) + a = 0
> (-1)a + a = 0
>
> (I) gilt
Nachzuweisen ist hier: Für alle [mm] $a\in [/mm] R$ existiert ein [mm] $a'\in [/mm] R$ mit $a'+a=0$.
Gegeben [mm] $a\in [/mm] R$ musst du also ein [mm] $a'\in [/mm] R$ finden mit $a'+a=0$.
Nun kannst du sagen: Ich betrachte $a':=-a$, wobei $-a$ wie aus der Schule bekannt das additiv Inverse von a bezüglich der gewöhnlichen Addition der reellen Zahlen bezeichne.
Die Frage ist dann: Gilt wie nötig auch [mm] $a'=-a\in R=\{a+\wurzel{2}b\;|\;a,b\in\IZ\}$?
[/mm]
Um [mm] $-a\in [/mm] R$ nachzuweisen, finde [mm] $\tilde{a},\tilde{b}\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $-a=\tilde{a}+\wurzel{2}\tilde{b}$.
[/mm]
Beachte, dass du [mm] $a\in [/mm] R$ voraussetzen darfst, also [mm] $a_1,b_1\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $a=a_1+\wurzel{2}b_1$ [/mm] existieren.
> Bedinung Körper:
>
> 1.) 0 ungleich 1
> erfüllt, da der Ring nicht der Nullring ist
Genaugenommen habe ich zwei Nachfragen:
Warum ist R kein Nullring?
Warum gilt in jedem Ring, der kein Nullring ist, bereits [mm] $0\not=1$?
[/mm]
Aber du kannst es dir ungleich leichter machen:
Da 0 und 1 hier die reellen Zahlen 0 und 1 bezeichnen, ist bekannt (oder folgt daraus, dass die reellen Zahlen einen Körper bilden), dass [mm] $0\not=1$ [/mm] gilt.
> 2.) für jedes a ∈ K(örper) ohne {0} gibt es ein a' ∈
> K mit a'a = 1.
> Da 0 ausgeschlosssen ist, gilt dies.
(Du nennst also die Menge, die wir bisher mit R bezeichnet haben, nun K. Dieser Namenswechsel ist zwar überflüssig, aber möglich. Dann solltest du nur dazuschreiben: "Sei $K:=R$." oder "Sei [mm] $K:=\{a+\wurzel{2}b\;|\;a,b\in\IZ\}$.")
[/mm]
Eigenschaft 2.) gilt entgegen deiner Angabe NICHT (wie man beweisen kann).
Ich schreibe nochmal ausführlicher aus, was du gerade fälschlicherweise behauptet hast:
Für jedes [mm] $a\in [/mm] R$ mit [mm] $a\not=0$ [/mm] existiert ein [mm] $a'\in [/mm] R$ mit $a'a=1$, d.h. es existieren [mm] $\tilde{a},\tilde{b}\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $(\tilde{a}+\wurzel{2}\tilde{b})*a=1$.
[/mm]
Insbesondere würde dies für [mm] $a=2=2+\wurzel{2}*0\in [/mm] R$ zutreffen; es würden also [mm] $\tilde{a},\tilde{b}\in\IZ$ [/mm] mit [mm] $(\tilde{a}+\wurzel{2}\tilde{b})*2=1$ [/mm] existieren.
(Mithilfe der Irrationalität von [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] kann man zeigen, dass dies nicht der Fall ist.)
> Damit folgt, der Ring ist ein Körper.
Folgerichtig, aber falsch. Unser Ring aus der Aufgabenstellung ist kein Körper.
Du könntest den Aufgabensteller darauf hinweisen, dass ihm hier offenbar ein Fehler bei der Aufgabenstellung unterlaufen ist.
Alternativ könntest du schreiben, dass die Behauptung, der gegebene Ring sei ein Körper, falsch ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Mi 19.10.2016 | | Autor: | mariella22 |
Vielen Dank für euere Hilfe!
|
|
|
|
