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Ringhomo. eindeutig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:17 Mi 05.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Es seien [mm] $a,b\in\mathbb{Q}$ [/mm] mit [mm] $a\neq [/mm] 0$ und [mm] $\varphi:\mathbb{Q}[X]\to\mathbb{Q}[X]$ [/mm] sei ein Ringhomomorphismus mit [mm] $\varphi(X)=aX+b$. [/mm] Man zeige, dass [mm] $\varphi$ [/mm] eindeutig bestimmt ist und ein Isomorphismus ist.


Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.

Um zu zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] ein Isomorphismus ist, reicht es die Umkehrabbildung anzugeben.
Das ist einfach:

[mm] $\varphi^{-1}(X)=\frac{1}{a}X-\frac{b}{a}$. [/mm]

Weiter ist zu zeigen, dass [mm] $\varphi$ [/mm] eindeutig ist.
[mm] $\varphi$ [/mm] ist als Ringhomomorphismus vorausgesetzt. Ich wollte dies aber dennoch überprüfen, was mir nicht gelungen ist.
Vor allem muss ja gelten [mm] $\varphi(1)=1$, [/mm] dies ist aber nur unter bestimmten Voraussetzungen gegeben. Es ist doch

[mm] $\varphi(1)=a\cdot [/mm] 1+b=a+b$

Also muss $a+b=1$ gelten, damit ein Ringhomomorphismus vorliegen kann.
Nicht wahr?

Für die Eindeutigkeit bin ich mir nicht sicher wie das funktioniert.
Wir haben folgenden Satz:

Vorgegeben sei ein Ringhomomorphismus [mm] $\psi:R\to [/mm] R'$ und Elemente [mm] $y_1,\dotso, y_n\in [/mm] R'$. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus

[mm] $\varphi: R[x_1,\dotso, x_n]\to [/mm] R'$ mit

[mm] $\varphi_{|R}=\psi$ [/mm] und [mm] $\varphi(x_i)=y_i$ [/mm] für alle [mm] $1\leq i\leq [/mm] n$

Dazu eine Frage:

Ist die Abbildung [mm] $\varphi$ [/mm] in dem Satz der sogenannte "Einsetzungshomomorphismus"?

Wenn ich nun also einen solchen Ringhomomorphismus [mm] $\psi$ [/mm] angeben kann, der die notwendigen Eigenschaften hat, wäre ich doch bereits fertig?

[mm] $\psi:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}[X]$ [/mm] mit

[mm] $\psi(x)=ax+b$ [/mm]

Dies ist aber nur unter bestimmten Voraussetzungen ein Ringhomomorphismus. Bezüglich der Addition muss es ja ein Gruppenhomomorphismus sein.

[mm] $\psi(x+y)=a(x+y)+b=ax+ay+b$ [/mm]

Dies ist aber nur [mm] $\psi(x)+\psi(y)$, [/mm] wenn $b=0$
Und [mm] $\psi(1)=1$, [/mm] gilt nur wenn $a=1$ ist.
Dann muss [mm] $\psi$ [/mm] aber die Identität sein...


Über etwas Aufklärung würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Ringhomo. eindeutig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Mi 05.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

auch wenn Algebra absolut nicht mein Steckenpferd ist:

> Dann muss [mm]\psi[/mm] aber die Identität sein...

ich vermute, dass damit in der Aufgabenstellung "eindeutig" gemeint ist.
D.h. allein durch die gemachten Angaben in der Aufgabenstellung folgt bereits, dass [mm] $\varphi$ [/mm] die Identität sein muss.

Also eigentlich könnte man die Aufgabe auch so formulieren:
Es seien $ [mm] a,b\in\mathbb{Q} [/mm] $ mit $ [mm] a\neq [/mm] 0 $ und $ [mm] \varphi:\mathbb{Q}[X]\to\mathbb{Q}[X] [/mm] $ sei ein Ringhomomorphismus mit $ [mm] \varphi(X)=aX+b [/mm] $. Man zeige, dass $ [mm] \varphi \equiv \text{id}$ [/mm] gilt.

Und das folgt eben bereits aus dem bereits von dir genannten:

> Vor allem muss ja gelten [mm]\varphi(1)=1[/mm]
>  
> [mm]\varphi(1)=a\cdot 1+b=a+b[/mm]

und gleiches gilt ebenso für die 0, d.h. $0 = [mm] \varphi(0) [/mm] = b$
Damit folgt bereits, dass [mm] \varphi [/mm] die Identität ist.

Da, wie gesagt, Algebra aber normal absolut nicht mein Gebiet ist, lass ich die Frage mal offen :-)

Gruß,
Gono

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Bezug
Ringhomo. eindeutig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Mi 05.10.2016
Autor: tobit09

Hallo zusammen!


Ich widerspreche meinem Vorredner.


Das entscheidende Missverständnis ist Folgendes:

> Es seien [mm]a,b\in\mathbb{Q}[/mm] mit [mm]a\neq 0[/mm] und
> [mm]\varphi:\mathbb{Q}[X]\to\mathbb{Q}[X][/mm] sei ein
> Ringhomomorphismus mit [mm]\varphi(X)=aX+b[/mm]. Man zeige, dass
> [mm]\varphi[/mm] eindeutig bestimmt ist und ein Isomorphismus ist.

X bezeichnet das spezielle Polynom $X$ vom Grade 1 im Polynomring [mm] $\IQ[X]$, [/mm] nicht etwa ein beliebiges Polynom!
Es ist also NICHT etwa vorausgesetzt, dass [mm] $\varphi(f)=a*f+b$ [/mm] für jedes Polynom [mm] $f\in\IQ[X]$ [/mm] gilt, sondern lediglich für das Polynom [mm] $f=X\in\IQ[X]$. [/mm]


Darüber hinaus gibt es durchaus viele Ringhomomorphismen der vorliegenden vorausgesetzten Gestalt; gemeint ist aber: Zu vorgegebenen [mm] $a,b\in\IQ$ [/mm] mit [mm] $a\neq [/mm] 0$ gibt es höchstens einen (tatsächlich übrigens genau einen) Ringhomomorphismus [mm] $\varphi\colon\IQ[X]\to\IQ[X]$ [/mm] mit [mm] $\varphi(X)=aX+b$ [/mm] und jeder solche Ringhomomorphismus ist ein Isomorphismus.


Viele Grüße
Tobias

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Bezug
Ringhomo. eindeutig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Mi 05.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das entscheidende Missverständnis ist Folgendes:
>  
> > Es seien [mm]a,b\in\mathbb{Q}[/mm] mit [mm]a\neq 0[/mm] und
> > [mm]\varphi:\mathbb{Q}[X]\to\mathbb{Q}[X][/mm] sei ein
> > Ringhomomorphismus mit [mm]\varphi(X)=aX+b[/mm]. Man zeige, dass
> > [mm]\varphi[/mm] eindeutig bestimmt ist und ein Isomorphismus ist.
>  X bezeichnet das spezielle Polynom [mm]X[/mm] vom Grade 1 im
> Polynomring [mm]\IQ[X][/mm], nicht etwa ein beliebiges Polynom!
>  Es ist also NICHT etwa vorausgesetzt, dass
> [mm]\varphi(f)=a*f+b[/mm] für jedes Polynom [mm]f\in\IQ[X][/mm] gilt,
> sondern lediglich für das Polynom [mm]f=X\in\IQ[X][/mm].

Danke für die Aufklärung.  

Gruß,
Gono

Bezug
        
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Ringhomo. eindeutig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 Mi 05.10.2016
Autor: tobit09


> Um zu zeigen, dass [mm]\varphi[/mm] ein Isomorphismus ist, reicht es
> die Umkehrabbildung anzugeben.
>  Das ist einfach:
>  
> [mm]\varphi^{-1}(X)=\frac{1}{a}X-\frac{b}{a}[/mm].

Guter Ansatz, eine Umkehrabbildung zu konstruieren.
Bisher hast du aber lediglich (korrekt) angegeben, worauf sie $X$ abbilden soll.
Tipp: Verwende den von dir zitierten Satz.


> Weiter ist zu zeigen, dass [mm]\varphi[/mm] eindeutig ist.
> [mm]\varphi[/mm] ist als Ringhomomorphismus vorausgesetzt.

Genau. Also ist zu zeigen:

Ist [mm] $\varphi'\colon\IQ[X]\to\IQ[X]$ [/mm] ein weiterer Ringhomomorphismus mit [mm] $\varphi'(X)=aX+b$, [/mm] so muss schon [mm] $\varphi'=\varphi$ [/mm] gelten.


> Ich
> wollte dies aber dennoch überprüfen, was mir nicht
> gelungen ist.
>  Vor allem muss ja gelten [mm]\varphi(1)=1[/mm], dies ist aber nur
> unter bestimmten Voraussetzungen gegeben.

Ja. Das darfst du als gegeben hinnehmen, denn ein solches [mm] $\varphi$ [/mm] wird dir durch die Voraussetzungen "geschenkt"; du musst nicht seine Existenz beweisen (was aber möglich wäre).


> Es ist doch
>  
> [mm]\varphi(1)=a\cdot 1+b=a+b[/mm]

Im Allgemeinen nein.


> Also muss [mm]a+b=1[/mm] gelten, damit ein Ringhomomorphismus
> vorliegen kann.
>  Nicht wahr?

Folgerichtig.


> Für die Eindeutigkeit bin ich mir nicht sicher wie das
> funktioniert.
> Wir haben folgenden Satz:
>  
> Vorgegeben sei ein Ringhomomorphismus [mm]\psi:R\to R'[/mm] und
> Elemente [mm]y_1,\dotso, y_n\in R'[/mm]. Dann gibt es genau einen
> Ringhomomorphismus
>  
> [mm]\varphi: R[x_1,\dotso, x_n]\to R'[/mm] mit
>
> [mm]\varphi_{|R}=\psi[/mm] und [mm]\varphi(x_i)=y_i[/mm] für alle [mm]1\leq i\leq n[/mm]
>  
> Dazu eine Frage:
>  
> Ist die Abbildung [mm]\varphi[/mm] in dem Satz der sogenannte
> "Einsetzungshomomorphismus"?

Das hängt davon ab, wie ihr den Begriff "Einsetzungshomomorphismus" genau definiert habt.
Manchmal nennt man den Homomorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] aus dem Satz nur dann Einsetzungshomomorphismus, wenn $R$ ein Unterring von $R'$ ist [mm] $\psi\colon R\to [/mm] R'$ die natürliche Inklusion ist, d.h. [mm] $\psi(c)=c$ [/mm] für alle [mm] $c\in [/mm] R$ erfüllt.
Jedenfalls passt die Vorstellung, dass man [mm] $y_1,\ldots,y_n$ [/mm] für [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] einsetzt, dann besonders gut.


> Wenn ich nun also einen solchen Ringhomomorphismus [mm]\psi[/mm]
> angeben kann, der die notwendigen Eigenschaften hat, wäre
> ich doch bereits fertig?

(Beachte, dass nicht die Existenz von [mm] $\varphi$, [/mm] sondern die Eindeutigkeit zu zeigen ist.)

Wenn du zeigen kannst, dass der vorgegebene Homomorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] aus der Aufgabenstellung notwendigerweise die Gestalt aus dem Satz mit festem [mm] $y=y_1$ [/mm] und festem [mm] $\psi$ [/mm] haben muss, fehlt in der Tat nicht mehr viel an Argumenten, um mit Verweis auf den Satz fertig mit der Eindeutigkeitsaussage zu sein.

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Ringhomo. eindeutig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:12 Do 06.10.2016
Autor: impliziteFunktion

Ich komme leider immer noch nicht so recht weiter.
Wie "funktioniert" die gegebene Abbildung denn?

[mm] $\varphi:\mathbb{Q}[X]\to\mathbb{Q}[X]$, $\varphi(X)=aX+b$ [/mm]

Nehme ich mal als Beispiel das Polynom [mm] $p=2X^3+X+1\in\mathbb{Q}[X]$ [/mm]
Ist dann

[mm] $\varphi(p)=2(aX+b)^3+(aX+b)+1$ [/mm]  ?

Wie ich den von mir zitierten Satz anwenden kann, ist mir leider unklar.

> Genau. Also ist zu zeigen:

> Ist $ [mm] \varphi'\colon\IQ[X]\to\IQ[X] [/mm] $ ein weiterer Ringhomomorphismus mit $ [mm] \varphi'(X)=aX+b [/mm] $, so muss schon $ [mm] \varphi'=\varphi [/mm] $ gelten.

Wie würde man dabei vorgehen? Was ist der Ansatz?
Mir erscheint das relativ trivial, da beide Abbildungen das gleiche machen.
Doch wie kann man es zeigen?

"Einsetzungshomomorphismus" haben wir gar nicht definiert.




Bezug
                        
Bezug
Ringhomo. eindeutig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Do 06.10.2016
Autor: hippias


> Ich komme leider immer noch nicht so recht weiter.
>  Wie "funktioniert" die gegebene Abbildung denn?
>  
> [mm]\varphi:\mathbb{Q}[X]\to\mathbb{Q}[X][/mm], [mm]\varphi(X)=aX+b[/mm]
>  
> Nehme ich mal als Beispiel das Polynom
> [mm]p=2X^3+X+1\in\mathbb{Q}[X][/mm]
>  Ist dann
>  
> [mm]\varphi(p)=2(aX+b)^3+(aX+b)+1[/mm]  ?

Richtig.

>  
> Wie ich den von mir zitierten Satz anwenden kann, ist mir
> leider unklar.
>  
> > Genau. Also ist zu zeigen:
>
> > Ist [mm]\varphi'\colon\IQ[X]\to\IQ[X][/mm] ein weiterer
> Ringhomomorphismus mit [mm]\varphi'(X)=aX+b [/mm], so muss schon
> [mm]\varphi'=\varphi[/mm] gelten.
>
> Wie würde man dabei vorgehen? Was ist der Ansatz?

In der gegebenen Situation ist $n=1$: $X= [mm] x_{1}$; [/mm] dieses wird auf [mm] $y_{1}:= aX+b\in [/mm] R':= R[X]$ abgebildet. Nur wie muss [mm] $\psi$ [/mm] gewählt werden?

Nun, die Koeffizienten der Polynome sollen unverändert bleiben...

>  Mir erscheint das relativ trivial, da beide Abbildungen
> das gleiche machen.
> Doch wie kann man es zeigen?
>  
> "Einsetzungshomomorphismus" haben wir gar nicht definiert.
>  
>
>  


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Bezug
Ringhomo. eindeutig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Do 06.10.2016
Autor: tobit09


> Ich komme leider immer noch nicht so recht weiter.
>  Wie "funktioniert" die gegebene Abbildung denn?

Zunächst einmal haben wir keine bestimmte Abbildung gegeben, sondern nur irgendeine Abbildung [mm] $\varphi\colon\IQ[X]\to\IQ[X]$ [/mm] mit den Eigenschaften:
a) [mm] $\varphi$ [/mm] ist Ringhomomorphismus
und
b) [mm] $\varphi(X)=aX+b$. [/mm]

(Das ist so ähnlich wie bei Steckbriefaufgaben aus der Schule. Eine solche könnte z.B. beginnen mit [mm] "$g\colon \IR\to\IR$ [/mm] ist eine quadratische Funktion mit Scheitelpunkt $(1|1)$ und g(2)=0". Dann weiß man, wenn man sich nicht mit quadratischen Funktionen auskennt, auch zunächst nicht, ob es keine, eine oder mehrere solcher quadratischen Funktionen gibt und wie die Funktionsvorschrift(en) aussieht/aussehen.)


> [mm]\varphi:\mathbb{Q}[X]\to\mathbb{Q}[X][/mm], [mm]\varphi(X)=aX+b[/mm]
>  
> Nehme ich mal als Beispiel das Polynom
> [mm]p=2X^3+X+1\in\mathbb{Q}[X][/mm]
>  Ist dann
>  
> [mm]\varphi(p)=2(aX+b)^3+(aX+b)+1[/mm]  ?

Wie hippias schon schrieb: Ja.
Aber aus meiner Sicht ist das alles andere als selbstverständlich, sondern bedarf eines Beweises.

Ich beginne mal: Mittels a) und b) erhalten wir

[mm] $\varphi(p)=\varphi(2X^3)+\varphi(X)+\varphi(1)=\varphi(2)\varphi(X*X*X)+\varphi(X)+\varphi(1)=\varphi(2)*\varphi(X)*\varphi(X)*\varphi(X)+\varphi(X)+\varphi(1)=\varphi(2)*\varphi(X)^3+\varphi(X)+\varphi(1)=\varphi(2)*(aX+b)^3+(aX+b)+\varphi(1)$. [/mm]

Die spannende Frage ist nun: Wissen wir irgendetwas über [mm] $\varphi(1)$ [/mm] und [mm] $\varphi(2)$? [/mm]
Nun gut, als Ringhomomorphismus erfüllt [mm] $\varphi$ [/mm] die Bedingung [mm] $\varphi(1)=1$. [/mm]
Aber gilt auch [mm] $\varphi(2)=2$? [/mm]
Ja! Denn [mm] $\varphi(2)=\varphi(1+1)=\varphi(1)+\varphi(1)=1+1=2$. [/mm]


> Wie ich den von mir zitierten Satz anwenden kann, ist mir
> leider unklar.
>  
> > Genau. Also ist zu zeigen:
>
> > Ist [mm]\varphi'\colon\IQ[X]\to\IQ[X][/mm] ein weiterer
> Ringhomomorphismus mit [mm]\varphi'(X)=aX+b [/mm], so muss schon
> [mm]\varphi'=\varphi[/mm] gelten.
>
> Wie würde man dabei vorgehen? Was ist der Ansatz?

Siehe unten.


>  Mir erscheint das relativ trivial, da beide Abbildungen
> das gleiche machen.

Das wissen wir erst einmal gar nicht. Die Abbildungen stimmen an einer Stelle, nämlich der Stelle X, überein. Aber wie sieht es an den anderen Stellen aus? Z.B. an der Stelle [mm] $\frac{5}{3}\in\IQ\subseteq\IQ[X]$. [/mm] Also wie können wir z.B.  (als Vorüberlegung zum eigentlichen Beweis der Eindeutigkeitsaussage) [mm] $\varphi(\frac{5}{3})=\varphi'(\frac{5}{3})$ [/mm] zeigen?
(Tipp: [mm] $\varphi(\frac{5}{3})+\varphi(\frac{5}{3})+\varphi(\frac{5}{3})$ [/mm] betrachten.)

> Doch wie kann man es zeigen?

Zeige zunächst, dass die Einschränkungen von [mm] $\varphi$ [/mm] und [mm] $\varphi'$ [/mm] auf [mm] $\IQ$ [/mm] übereinstimmen, dass also [mm] $\varphi(a)=\varphi'(a)$ [/mm] für alle [mm] $a\in\IQ$ [/mm] gilt, indem du [mm] $\varphi(a)=a=\varphi'(a)$ [/mm] zeigst.

Dann sind also [mm] $\varphi,\varphi'\colon\IQ[X]\to\IQ[X]$ [/mm] Ringhomomorphismen, deren Einschränkungen auf [mm] $\IQ$ [/mm] übereinstimmen.
Nach der Eindeutigkeitsaussage aus eurem Satz (hippias hat dir bereits die Objekte genannt, auf die er anzuwenden ist) ist dann [mm] $\varphi=\varphi'$. [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Ringhomo. eindeutig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Fr 07.10.2016
Autor: impliziteFunktion


> Zeige zunächst, dass die Einschränkungen von $ [mm] \varphi [/mm] $ und $ [mm] \varphi' [/mm] $ auf $ [mm] \IQ [/mm] $ übereinstimmen

Sei [mm] $\varphi'$ [/mm] ein weiterer Ringhomomorphismus.
Sei [mm] $a\in\mathbb{Q}$ [/mm] beliebig. Für $a=0$, ist

[mm] $\varphi(0)=0=\varphi'(0)$, [/mm] da [mm] $\varphi, \varphi'$ [/mm] Ringhomomorphismen sind.

Für [mm] $a\neq [/mm] 0$ betrachte [mm] $a=\frac{p}{q}$, [/mm] dann ist

[mm] $\varphi(q\cdot\frac{p}{q})=\underbrace{\varphi(\frac{p}{q})\dotso+\varphi(\frac{p}{q})}_{q-mal})=\varphi(p)=p\varphi(1)=p\varphi'(1)=p [/mm]

Insgesamt also [mm] $\varphi(a)=\varphi'(a)$ [/mm]

Und damit sind wir dann ja bereits fertig, oder?
Ich glaube ich habe den Satz irgendwie "verdreht".
+
Der besagt ja, dass ich mir einen Ringhomomorphismus, hier [mm] $\varphi':\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}[X]$, [/mm] mit Elementen [mm] $y_1,\dotso, y_n\in\mathbb{Q}[X]$ [/mm] vorgebe.

Das habe ich getan.

Wenn ich nun zeigen kann, dass [mm] $\varphi_{|\mathbb{Q}}=\varphi'$ [/mm] gilt, bin ich bereits fertig, denn die Eigenschaft [mm] $\varphi(X)=aX+b$ [/mm] ist ja auch unabhängig von [mm] $\varphi'$. [/mm]

Sehe ich das richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Ringhomo. eindeutig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Fr 07.10.2016
Autor: tobit09


> > Zeige zunächst, dass die Einschränkungen von [mm]\varphi[/mm] und
> [mm]\varphi'[/mm] auf [mm]\IQ[/mm] übereinstimmen
>  
> Sei [mm]\varphi'[/mm] ein weiterer Ringhomomorphismus.

[mm] ...$\varphi'\colon\IQ[X]\to\IQ[X]$ [/mm] mit [mm] $\varphi'(X)=aX+b$. [/mm]


>  Sei [mm]a\in\mathbb{Q}[/mm] beliebig. Für [mm]a=0[/mm], ist
>  
> [mm]\varphi(0)=0=\varphi'(0)[/mm], da [mm]\varphi, \varphi'[/mm]
> Ringhomomorphismen sind.

Ja.


> Für [mm]a\neq 0[/mm] betrachte [mm]a=\frac{p}{q}[/mm],

(mit $q>0$)


> dann ist
>  
> [mm]$\varphi(q\cdot\frac{p}{q})=\underbrace{\varphi(\frac{p}{q})\dotso+\varphi(\frac{p}{q})}_{q-mal})=\varphi(p)=p\varphi(1)=p\varphi'(1)=p[/mm]

Bei den ersten beiden Gleichheitszeichen bin ich nicht sicher, ob sie dir ohne Zwischenschritt klar sind.
Das mittlere Gleichheitszeichen ist auf jeden Fall unbegründet. Beachte: [mm] $\varphi$ [/mm] ist (zunächst einmal) nicht als lineare Abbildung, sondern als Ringhomomorphismus, vorausgesetzt.
Die letzten beiden Gleichheitszeichen sind ok.

> Insgesamt also [mm]\varphi(a)=\varphi'(a)[/mm]

Warum?


Eine Möglichkeit:

Es erscheint mir günstig, zunächst [mm] $\varphi(n)=n$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IZ$ [/mm] zu zeigen.

1. Möglichkeit: Von Hand unter Verwendung von [mm] $n=\underbrace{1+\ldots+1}_{n-mal}$ [/mm] im Falle $n>0$ und Zurückführung des Falles $n<0$ auf den Fall $n>0$. (Den Fall $n=0$ hast du ja schon korrekt behandelt.)

2. Möglichkeit: Nutzen des Wissens (?), dass es für jeden Ring (mit Eins) $R'$ genau einen Ringhomomorphismus [mm] $\IZ\to [/mm] R'$ gibt.
[mm] $\varphi|_{\IZ}\colon\IZ\to\IQ[X]$ [/mm] und die kanonische Inklusion [mm] $\IZ\to\IQ[X], n\mapsto [/mm] n$ sind zwei solche Ringhomomorphismen, stimmen also überein.


Danach können wir allgemeines [mm] $a=\frac{p}{q}\in\IQ$ [/mm] betrachten und [mm] $\varphi(a)=a$ [/mm] zeigen:

Es gilt unter Verwendung von [mm] $\varphi(q)=q$ [/mm] (wegen [mm] $q\in\IZ$) [/mm] und [mm] $\varphi(p)=p$ [/mm] (wegen [mm] $p\in\IZ$): [/mm]
[mm] $q*\varphi(a)=\varphi(q)*\varphi(a)=\varphi(q*a)=\varphi(q*\frac{p}{q})=\varphi(p)=p=q*\frac{p}{q}=q*a$ [/mm]
und somit
[mm] $\varphi(a)=q^{-1}*q*\varphi(a)=q^{-1}*q*a=a$. [/mm]

(Dieser Weg ist einfacher als der ursprünglich von mir angedachte mit den q Summanden.)


Analog gilt [mm] $\varphi'(a)=a$ [/mm] für alle [mm] $a\in\IQ$. [/mm]


Teil 2 gleich in einer separaten Antwort.

Bezug
                                        
Bezug
Ringhomo. eindeutig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Sa 08.10.2016
Autor: tobit09


> Und damit sind wir dann ja bereits fertig, oder?
>  Ich glaube ich habe den Satz irgendwie "verdreht".
>  +
>  Der besagt ja, dass ich mir einen Ringhomomorphismus, hier
> [mm]\varphi':\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}[X][/mm], mit Elementen
> [mm]y_1,\dotso, y_n\in\mathbb{Q}[X][/mm] vorgebe.

Beachte hier $n=1$ und [mm] $y_1=aX+b$. [/mm]

Verwende hier lieber [mm] $\psi$ [/mm] anstelle von [mm] $\varphi'$, [/mm] da wir mit [mm] $\varphi'$ [/mm] im Moment schon den zweiten Ringhomomorphismus [mm] $\varphi'\colon\IQ[X]\to\IQ[X]$ [/mm] bezeichnen.


> Das habe ich getan.
>  
> Wenn ich nun zeigen kann, dass
> [mm]\varphi_{|\mathbb{Q}}=\varphi'[/mm] gilt, bin ich bereits
> fertig, denn die Eigenschaft [mm]\varphi(X)=aX+b[/mm] ist ja auch
> unabhängig von [mm]\varphi'[/mm].
>  
> Sehe ich das richtig?

Ich kann nicht wirklich folgen (Was meinst du hier mit Unabhängigkeit?).


Ich zitiere nochmal den Satz:

> Vorgegeben sei ein Ringhomomorphismus $ [mm] \psi:R\to [/mm] R' $ und Elemente $ [mm] y_1,\dotso, y_n\in [/mm] R' $. Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus
>
> $ [mm] \varphi: R[x_1,\dotso, x_n]\to [/mm] R' $ mit
>
> $ [mm] \varphi_{|R}=\psi [/mm] $ und $ [mm] \varphi(x_i)=y_i [/mm] $ für alle $ [mm] 1\leq i\leq [/mm] n $

Wir betrachten nun speziell [mm] $R=\IQ$, $R'=\IQ[X]$, $\psi\colon\IQ\to\IQ[X], \psi(a)=a$, [/mm] n=1, [mm] $y_1=aX+b$. [/mm]
In dieser Situation liefert uns der Satz:
Es gibt genau einen Ringhomomorphismus [mm] $\tilde{\varphi}\colon\IQ[X]\to\IQ[X]$ [/mm] mit [mm] $\tilde{\varphi}|_{\IQ}=\psi$ [/mm] (d.h. [mm] $\tilde{\varphi}(a)=a$ [/mm] für alle [mm] $a\in\IQ$) [/mm] und [mm] $\tilde{\varphi}(X)=aX+b$. [/mm]

Also gilt [mm] $\varphi=\tilde{\varphi}=\varphi'$. [/mm]

Bezug
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