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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:11 Do 28.04.2011 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Gegeben sind folgende Produkte [mm] r_{n} [/mm] (mit äquivalenten Wahrscheinlichkeiten für alle vier möglichen Umweltzustände) mit dem jeweiligen Preis [mm] q_{n}:
[/mm]
[mm] r_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm]
[mm] r_{2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] r_{3} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm]
[mm] r_{4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] q_{1} [/mm] = 2,1
[mm] q_{2} [/mm] = 0,5
[mm] q_{3} [/mm] = 0,4
[mm] q_{4} [/mm] = 0,2
a) Gibt es hier eine Möglichkeit zu einem risikolosen Gewinn?
b) Wie viel würde man für eine Kaufoption auf [mm] r_{1} [/mm] mit einem Ausübungspreis von 2 bezahlen?
c) Wie viel würde man für eine Verkaufsoption auf [mm] r_{1} [/mm] mit einem Ausübungspreis von 3 bezahlen? |
Hallo!
Ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen und bin mir über meine Resultate nicht sicher und wäre über Tipps oder Anregungen dazu sehr dankbar.
ad a)
also ich kann hier keine Möglichkeit finden, denn wenn man zu t=0 das Produkt [mm] r_{1} [/mm] kauft und aus diesem die Produkte [mm] r_{2}, r_{3} [/mm] und [mm] r_{4} [/mm] "abzweigt" und verkauft so bleibt einem ein verändertes Produkt [mm] r^{*}_{1} [/mm] mit den vier Umweltzuständen [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}. [/mm]
Der Cashflow dazu wäre:
t=0: -2,1 + 0,5 + 0,4 + 0,2 = -1
t=1: +1
= 0
Stimmt das so? Was mir auch nicht klar ist: [mm] r_{1} [/mm] stellt sozusagen eine Aktie dar, aber wie kann man die Produkte [mm] r_{2}, r_{3} [/mm] und [mm] r_{4} [/mm] bezeichnen?
ad b)
[mm] E(r_{1}) [/mm] = 1*0,25+2*0,25+3*0,25+4*0,25 = 2,5
2,5 – 2 = 0,5
Das heißt, ich würde maximal 0,5 für eine Kaufoption auf [mm] r_{1} [/mm] bezahlen, die mir das Recht gibt, das Produkt im Zeitpunkt t=1 um 2 zu kaufen. Wenn der Preis allerdings < 2 ist, werde ich die Option nicht ausüben.
ad c)
[mm] E(r_{1}) [/mm] = 2,5
3 – 2,5 = 0,5
Ich würde wieder maximal 0,5 für eine Verkaufsoption auf [mm] r_{1} [/mm] bezahlen, die mir das Recht gibt, das Produkt im Zeitpunkt t=1 um 3 zu verkaufen. Wenn der Preis allerdings > 3 ist, werde ich die Option nicht ausüben.
Wie bereits anfangs erwähnt, bin ich mir über meine Lösungen überhaupt nicht sicher und wäre sehr dankbar wenn mir jemand Tipps geben kann, ob sie richtig sind oder eher nicht.
Ich bedanke mich bereits im Voraus über alle Antworten!
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Do 28.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ich finde es bei so Aufgaben immer schwer zu helfen. Was ist denn unter risikolosem Gewinn zu verstehen - Arbitragemöglichkeiten?
Das kannst du über Arrow-Debreu-Preise untersuchen:
Wenn [mm]Z=(r_1,r_2,r_3,r_3)[/mm] deine Zahlungsmatrix, [mm]q=(q_1,q_2,q_3,q_4)^T[/mm] dein Preisvektor und [mm]p=(p_1,
p_2,p_3,p_4)[/mm] dein Arrow-Debreu-Preis-Vektor ([mm]p_i[/mm] : Arrow-Debreu-Preis) ist, dann herrscht
Arbitragefreiheit [mm]\gdw Z^Tp=q[/mm] lösbar mit [mm]p\geq{0}[/mm].
Gruß
barsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
was sind Deine Kenntnisse zum Thema? Ohne Hilfsmittel ist das ziemlich umständlich. Deine Rechnung in a) stimmt zwar, aber folgt daraus nicht zwangsläufig, daß der Markt arbitragefrei ist. Mit dem risikoneutralen Maß wäre das alles viel leichter.
> $ [mm] r_{1} [/mm] $ stellt sozusagen eine Aktie dar, aber wie kann man die Produkte $ [mm] r_{2}, r_{3} [/mm] $ und $ [mm] r_{4} [/mm] $ bezeichnen?
Z.B. Derivate. Hier sind es aber einfach die underlyings des Marktes. Die Auszahlungsfunktionen wurden nur so gewählt, um die Rechnungen einfacher zu machen.
b)
Die Auszahlung ist
[mm] $r_b=\vektor{0\\0\\1\\2}$
[/mm]
In Zuständen 1 und 2 üben wir nicht aus. In 3 und 4 kriegen wir den Preis von [mm] $r_1$ [/mm] minus dem Ausübungspreis 2.
> Das heißt, ich würde maximal 0,5 für eine Kaufoption auf $ [mm] r_{1} [/mm] $ bezahlen, die mir das Recht gibt, das Produkt im Zeitpunkt t=1 um 2 zu kaufen.
Wenn Du denkst, daß das der faire Preis ist, dann mußt Du bereit sein, auch zu diesem Preis zu verkaufen.
Ich kauf mir 1 von Deinen Optionen zu Preis 0.5 und verkauf je 1 [mm] $r_3$ [/mm] und [mm] $r_4$ [/mm] für zusammen 0.6. Deine Option deckt genau, was ich durch den Verkauf aufgebe
(Auszahlung: [mm] $r_3+r_4=\vektor{0\\0\\1\\2}$)
[/mm]
und ich streiche einen risikolosen Gewinn von 0.1 ein.
Das wiederhol ich jetzt 10 Millionen mal und bin Millionär, war nicht so schwär. =)
Der faire Preis einer Option ist genau, was es kostet, ihre Auszahlungsfunktion durch ein Portfolio von underlyings zu replizieren. (hier ist das entsprechende Portfolio je 1 [mm] $r_3$ [/mm] und 1 [mm] $r_4$.) [/mm] Einfacher geht es auch hier wieder mit dem risikoneutralen Maß.
c)
wie sieht die Auszahlungsfunktion dieser Option aus und mit welchem Portfolio kriegt man die gleiche Auszahlung?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Fr 29.04.2011 | | Autor: | medion |
> Hi,
>
> was sind Deine Kenntnisse zum Thema? Ohne Hilfsmittel ist
> das ziemlich umständlich. Deine Rechnung in a) stimmt
> zwar, aber folgt daraus nicht zwangsläufig, daß der Markt
> arbitragefrei ist. Mit dem risikoneutralen Maß wäre das
> alles viel leichter.
Hallo!
Also in der Lehrveranstaltung haben wir so ein ähnliches Beispiel durchgemacht und da haben wir - so wie ich auch in meinem Lösungsversuch - ein Portfolio mittels anderer repliziert und einfach geschaut, ob diese dann auch das selbe kosten würden. dh eine Berechnung mit dem risikoneutralen Maß ist mir in diesem Zusammenhang bisher unbekannt. Wie sieht das dann aus?
> b)
>
> Die Auszahlung ist
>
> [mm]r_b=\vektor{0\\0\\1\\2}[/mm]
>
> In Zuständen 1 und 2 üben wir nicht aus. In 3 und 4
> kriegen wir den Preis von [mm]r_1[/mm] minus dem Ausübungspreis 2.
>
> Der faire Preis einer Option ist genau, was es kostet, ihre
> Auszahlungsfunktion durch ein Portfolio von underlyings zu
> replizieren. (hier ist das entsprechende Portfolio je 1 [mm]r_3[/mm]
> und 1 [mm]r_4[/mm].) Einfacher geht es auch hier wieder mit dem
> risikoneutralen Maß.
Ok, verstehe was Du meinst. Dh, der Preis für die Call-Option wäre in diesem Falle 0.6, oder?
> c)
>
> wie sieht die Auszahlungsfunktion dieser Option aus und mit
> welchem Portfolio kriegt man die gleiche Auszahlung?
Also hier würde ich in den Zuständen 1 und 2 zu einem Preis von 3 verkaufen und in den Zuständen 3 und 4 würde ich die Option nicht ausüben.
Die Auszahlungsfunktion sieht demnach so aus:
[mm] r_{c}=\vektor{2\\1\\0\\0}
[/mm]
Diese zu replizieren würde bedeuten, 2 mal [mm] r_{1} [/mm] zu kaufen und davon 3 mal [mm] r_{2}, [/mm] 3 mal [mm] r_{3} [/mm] und 5 mal [mm] r_{4} [/mm] zu verkaufen:
-2*2,1 + 3*0,5 + 3*0,4 + 5*0,2 = -0,5
Dh für eine Put-Option mit einem Strike-Preis von 3 würde ich 0.5 bezahlen. Stimmt das?
Danke für Deine großartige Hilfe!!
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> k, verstehe was Du meinst. Dh, der Preis für die Call-Option wäre in diesem Falle 0.6, oder?
Yep. Folgt aus Arbitragefreiheit des zugrundeliegenden Marktes. Wäre der Preis was anderes könntest Du aus der Differenz der Preise für Option und replizierendem Portfolio immer einen Gewinn einstreichen.
> Die Auszahlungsfunktion sieht demnach so aus:
> $ [mm] r_{c}=\vektor{2\\1\\0\\0} [/mm] $
Das stimmt.
> Diese zu replizieren würde bedeuten, 2 mal $ [mm] r_{1} [/mm] $ zu kaufen und davon 3 mal $ [mm] r_{2}, [/mm] $ 3 mal $ [mm] r_{3} [/mm] $ und 5 mal $ [mm] r_{4} [/mm] $ zu verkaufen:
Das nicht ganz. Wenn Du die zusammenzählst, siehst Du, daß Du [mm] $r_4$ [/mm] zu oft verkauft hast. 3+3+5=11.
Sonst stimmt die Rechnung aber. Wenn Du das noch korrigierst, kommt auch der richtige Preis raus.
Btw. Deine ursprüngliche Idee mit dem Erwartungswert ist sehr elegant und man will es gerne so machen. Das risikoneutrale Maß, das ich 2mal erwähnt habe, tut jetzt so als wären die Wahrscheinlichkeiten für die Endzustände anders (hier 0.5, 0.1, 0.2, 0.2 anstatt wie in der Realität 0.25 für alle). Diese Wahrscheinlichkeiten werden genau so gewählt, daß Deine Rechnung in dieser alternativen Realität funktioniert (indem man dafür sorgt, daß alle securities in dem Markt einen erwarteten cash-flow von 0 haben, d.h. ihr Preis genau ihrem erwarteten return entspricht. Deswegen risikoneutrales Maß, denn in dieser Realität wird man für das Risiko nicht entschädigt).
> Danke für Deine großartige Hilfe!!
Gerne, gerne =)
ciao
Stefan
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