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| Aufgabe | Seien [mm] $f_1,f_2$ [/mm] integrierbare, nicht notwendig positive Funktionen auf [mm] $(S,\mathcal{S},\mu)$, [/mm] wobei [mm] $\mu$ $\sigma$-endlich [/mm] ist. Es gelte [mm] $\int f_i\,\mathrm{d}\mu=1$ [/mm] für $i=1,2$ und [mm] $\mu(f_1\neq f_2)\neq [/mm] 0$. Sei
[mm] $$R\,:\,\Phi\to\mathbb{R}^2,\;\varphi\mapsto\left[\int\varphi f_1\mathrm{d}\mu,\int\varphi f_2\mathrm{d}\mu\right]',$$
[/mm]
mit [mm] $\Phi:=\{\varphi:(S,\mathcal{S})\to([0,1],\mathcal{B})\text{ messbar}\}.$
[/mm]
Sei [mm] $\alpha \in(0,1)$.
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] $[\alpha,\alpha]'$ [/mm] im Inneren von [mm] $R(\Phi)$ [/mm] liegt. |
Hallo zusammen,
ich habe mir ein paar Gedanken zu obiger Aufgabe gemacht und wollte fragen, ob meine Überlegungen richtig sind.
[mm] $R(\Phi)$ [/mm] ist ja offensichtlich konvex und symmetrisch, da für jedes [mm] $\varphi\in\Phi$ [/mm] auch [mm] $1-\varphi\in\Phi$ [/mm] ist. Außerdem gilt für jedes [mm] $\alpha\in(0,1)$ [/mm] ja offensichtlich für [mm] $\varphi_\alpha\equiv\alpha:$ $\varphi_\alpha\in\Phi$ [/mm] und damit [mm] $R(\varphi_\alpha)=\alpha\left[\int f_1\mathrm{d}\mu,\int f_2\mathrm{d}\mu\right]'=[\alpha,\alpha]'\inR(\Phi)$, [/mm] also [mm] $A:=\{[\alpha,\alpha]'\mid \alpha\in(0,1)\}\subseteq R(\Phi)$
[/mm]
Es gilt aber auch [mm] $R(\Phi)\neq [/mm] A$, da sonst [mm] $\int\varphi f_1\,\mathrm{d}\mu=\int\varphi f_2\,\mathrm{d}\mu$ [/mm] für alle [mm] $\varphi\in\Phi$ [/mm] und damit [mm] $f_1=f_2\;\,\mu$-f.s., [/mm] d.h. [mm] $\mu(f_1=f_2)=1$ [/mm] und damit [mm] $\mu(f_1\neq f_2)=0$, [/mm] was im Widerspruch zur Voraussetzung steht.
Damit existiert also ein [mm] $x^\ast:=[\alpha_0,\alpha_0+\delta]'\in R(\Phi)$ [/mm] mit [mm] $\alpha_0\in [/mm] (0,1)$ und o.B.d.A. [mm] $\delta>0$. [/mm]
Die Idee ist nun, dass wir ja für jedes [mm] $x_\alpha:=[\alpha,\alpha]\in [/mm] A$ ein [mm] $x_{\alpha-\varepsilon}\in [/mm] A$ mit [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] wählen können und damit [mm] $s_{\alpha,\varepsilon}(t)t\cdot x_{\alpha-\varepsilon}+(1-t)\cdot x^\ast\in R(\Phi)$ [/mm] für alle [mm] $t\in[0,1]$ [/mm] und es existiert ein [mm] $t_0\in[0,1]$ [/mm] mit [mm] $x_1:=s(t_0)=[\alpha,\alpha-\gamma]'\in R(\Phi)$ [/mm] mit [mm] $\gamma [/mm] >0$. Analog erhalten wir über die Symmetrie einen weiteren Punkt [mm] $x_2:=[\alpha, \alpha+\gamma^\ast]'\in [/mm] A$ mit [mm] $\gamma^\ast>0$. [/mm] Damit haben wir mit [mm] $x_{\alpha-\varepsilon},x_{\alpha+\varepsilon},x_1,x_2$ [/mm] vier Punkte um [mm] $x_\alpha$, [/mm] die alle in [mm] $R(\Phi)$ [/mm] liegen und das von Verbindungslinie [mm] (x_{\alpha-\varepsilon}$ [/mm] nach [mm] $x_1$ [/mm] nach [mm] $x_{\alpha+\varepsilon}$ [/mm] nach [mm] $x_2$) [/mm] eingeschlossene Gebiet [mm] $x_\alpha$ [/mm] enthält und wir damit eine Kugel um diesen Punkt legen können, die ganz in [mm] $R(\Phi)$ [/mm] liegt.
Ich hoffe man kann nachvollziehen, was ich meine.
Würde mich sehr um ein Feedback freuen.
Vielen Dank und liebe Grüße
HugATree
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 26.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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