RobinsonAufgabe < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Do 05.05.2011 | | Autor: | Tilo42 |
| Aufgabe | Robinson hat festgestellt, dass auf seiner Insel folgende Wetteregeln gelten:
1. Ist es heute schön, ist es morgen mit 80%Wahrscheinlichkeit ebenfalls schön.
2. Ist heute schlechtes Wetter, so ist morgen mit 75% Wahrscheinlichkeit ebenfalls schlechtes Wetter
Aufgabe:
Heute ist Sonntag und es regnet. Mit welchr wahrscheinlichkeit regnet es auch am nächsten Sonntag? |
Dieses Problem könnte ich theoretisch mit einem Baumdiagramm lösen, das erscheint mir aber zu aufwendig bzw. ein bisschen "unmathematisch".
Ich wäre dankbar über einen Lösungsvorschlag, für einen Mathe Leistungskurs Schüler 12. Klasse. Im Internet habe ich bisher Ansätze mit Matrizen und der Markow-Regel gesehen, dies hatte ich aber noch nicht.
Was mir hingegen sinnvoll erscheint wäre Rekursion, weiß aber nicht genau wie ich das machen soll
(Die Idee mit Rekursion habe ich von hier: http://www.matheboard.de/archive/419783/thread.html kann ich aber leider nicht ganz nachvollziehen)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Do 05.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Robinson hat festgestellt, dass auf seiner Insel folgende
> Wetteregeln gelten:
>
> 1. Ist es heute schön, ist es morgen mit
> 80%Wahrscheinlichkeit ebenfalls schön.
>
> 2. Ist heute schlechtes Wetter, so ist morgen mit 75%
> Wahrscheinlichkeit ebenfalls schlechtes Wetter
>
>
> Aufgabe:
>
> Heute ist Sonntag und es regnet. Mit welchr
> wahrscheinlichkeit regnet es auch am nächsten Sonntag?
> Dieses Problem könnte ich theoretisch mit einem
> Baumdiagramm lösen, das erscheint mir aber zu aufwendig
> bzw. ein bisschen "unmathematisch".
>
> Ich wäre dankbar über einen Lösungsvorschlag, für einen
> Mathe Leistungskurs Schüler 12. Klasse. Im Internet habe
> ich bisher Ansätze mit Matrizen und der Markow-Regel
> gesehen, dies hatte ich aber noch nicht.
> Was mir hingegen sinnvoll erscheint wäre Rekursion, weiß
> aber nicht genau wie ich das machen soll
> (Die Idee mit Rekursion habe ich von hier:
> http://www.matheboard.de/archive/419783/thread.html kann
> ich aber leider nicht ganz nachvollziehen)
Hallo,
ein Baumdiagramm mit 7 Stufen und 128 Pfaden ist wirklich nicht der Bringer.
Allerdings könntest du mal mit einem Baumdiagramm die Vorhersagen für einen (hast du schon), für zwei und für 3 Tage probieren und aus der Serie der Ergebnisse (wenn du Glück hast) ein Bildungsgesetz für eine beliebige Anzahl von Tagen erkennen.
Gruß Abakus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 05.05.2011 | | Autor: | Tilo42 |
Erkenne dort leider keine Gesetzmäßigkeit:
Tag 1: 75/100
Tag 2: [mm] (75/100)^2 [/mm] + 25/100*20/100
Tag 3: [mm] (75/100)^3 [/mm] + (25/100*80/100*20/100) + (25/100*20/100*75/100) + (75/100*25/100*20/100)
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Hallo,
aus Zeitgründen kann ich mich gerade nicht vertieft mit der Aufgabe befassen. Ich kann das eventuell noch nachholfen, ich müsste sie irgendwo in schriftlicher Form in meinen Unterlagen haben.
So viel aber für jetzt: da man davon ausgeht, dass am ersten Sonntag schlechtes Wetter ist, darf die Wahrscheinlichkeit hierfür nicht berücksichtigt werden. Die Angabe sagt dir ja nur, mit welcher Wahrscheinlichkeit am Montag schlechtes bzw. schönes Wetter ist.
Der übliche Lösungsweg geht hier tatsächlich über eine Markov-Matrix, damit wird die Aufgabe einfach (Kann es sein, dass das bei euch noch darankommen wird, und diese Aufgabe hier dient der Vorbereitung?
Wenn du außerdem an Stelle von bspw. 75/100 mit 3/4 rechnest, so wird dies der Übersichtlichkeit auch nicht abträglich sein. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Do 05.05.2011 | | Autor: | Tilo42 |
Hmm ok, dann bräuchte ich dafür eine Erklärung bitte oder wäre eine Rekursion möglich, um auf eine geometrische Folge vlt. zu schließen?
Wie gesagt ob man die Markow-Matrix in der 12ten Klasse LK Mathe behandelt weiß ich nicht. Bisher hatten wir es auf jeden Fall noch nicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 05.05.2011 | | Autor: | Tilo42 |
Hmm glaube die Lösung mit Markow-Matrix ist es eher nicht, wir hatten bisher keine Matrizen und auch keine Vektoren, ich vermute eine Rekursion und dann auf eine geometrische Folge schließen, könnte mir jemand vlt, einen Ansatz geben?
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Hi also wir haben bie den Wahrscheinlichkeiten, das es an Tag n regnet:
So - Tag 0: Regen [mm] \Rightarrow
[/mm]
Mo - Tag 1: [mm] \bruch{3}{4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Di - Tag 2: [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{3}{4}+ \bruch{1}{4}*\bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \bruch{5}{8}
[/mm]
Mi - Tag 3: [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{3}{4}*\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{1}{5}*\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{1}{5}*\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{4}{5}*\bruch{1}{5}
[/mm]
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> Hmm ok, dann bräuchte ich dafür eine Erklärung bitte
> oder wäre eine Rekursion möglich, um auf eine
> geometrische Folge vlt. zu schließen?
Ja. Das sieht doch sehr nach Rekursion aus. Führen
wir die Bezeichnung ein:
p(t) = P(am Tag t herrscht schönes Wetter)
Dann wäre P(schlechtes Wetter am Tag t)=1-p(t)
Jetzt überlege dir (an einem kleinen Ausschnitt
eines W'keits-Baumes), wie man aus p(t) die
"Wetterprognose" für den folgenden Tag Nr. t+1
berechnet. Also p(t+1)=?
Die entstehende Rekursionsformel solltest du
möglichst vereinfachen. Sie hat die Form
$\ p(t+1)=m*p(t)+b$ (lineare Funktion)
Eine allgemeine Formel für p(t) als explizite
Formel scheint in deiner Aufgabe noch nicht
verlangt zu sein - wenn du magst, kannst du aber
trotzdem versuchen, eine solche zu finden.
LG Al-Chw.
So nebenbei bemerkt: eigentlich kann man die
Aufgabe gar nicht lösen, weil gar nicht gesagt ist,
ob Regenwetter "schönes" Wetter ist oder nicht ...
Und die praktische Erfahrung auf tropischen Inseln
wie z.B. auf den hawaiianischen Inseln oder Fiji
zeigte mir: dort gibt es sehr viele schöne Tage,
an welchen es auch zum Teil mal heftig regnet !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Do 05.05.2011 | | Autor: | Tilo42 |
wie bekomme ich denn dann das m und das b heraus? bzw. wie finde ich heraus wie viel es nach 7 tagen ist?
p(t) = 3/4 (wahrscheinlichkeit das am Montag schönes Wetter ist)
p(t+1) = 49/80 (wahrscheinlichkeit, dass dienstag schönes wetter ist)
und wie soll ich nun auf m und b schließen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 05.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast den Tip falsch verstanden.
nimm an, du kennst p(t) für einen beliebigen Tag (stell dir etwa vor, es wäre p(t)=0.12345 wie findest du dann p(t+1) (mit t=0 oder 1 anzufangen führt dich in die Irre, dann findest du nur zahlen und keine Formel).
wenn du aus p(t) p(t+1) finden kannst hast du ne Rekursionsformel
Gruss leduart
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