Rolle, Seil mit Masse < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 24.11.2018 | | Autor: | nosche |
| Aufgabe | | Zwei Körper gleicher Masse m = 50 kg seien durch ein massebehaftetes Seil über eine Umlenkrolle (vernachlässigbarer Ausdehnung) miteinander verbunden. Das Seil habe eine Länge von 20 m und eine Masse von 20 kg. Stellen Sie zunächst die Bewegungsgleichung für die Koordinate [mm] x_{1}(t) [/mm] des Körpers [mm] K_{1} [/mm] auf (siehe Skizze; [mm] x_{1} [/mm] = 0 entspricht gleicher Höhe der Körper). Lösen Sie diese durch den Ansatz [mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct} [/mm] und bestimmen Sie die Unbekannten A und B aus den beiden Anfangsbedingungen [mm] x_{1}(0) [/mm] = [mm] x_{10} \not= [/mm] 0 und [mm] v_{1}(0) [/mm] = [mm] v_{10} [/mm] = 0. |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich schlage die Teilmassen des Seils den Körpern K1 und K2 zu.
Mit F als Seilkraft erhalte ich folgendes System:
F + m1*a = m1*g
F - m2*a = m2*g
dabei ist berücksichtigt, das die Körper betragsmäßig gleich aber in unterschiedliche Richtungen (m1 nach oben) beschleunigt werden.
das zugehörige GLS:
F a | rS
----------
1 m1 m1*g
1 -m2 m2*g
det = [mm] \vmat{ 1 & m1 \\ 1 & -m2 } [/mm] = -m1 -m2
det(a) = [mm] \vmat{ 1 & m1*g \\ 1 & m2*g } [/mm] = (m2 - m1)*g
[mm] a=\bruch{(m2 - m1)}{-m1 -m2}*g [/mm] = [mm] \bruch{m1-m2}{m1+m2}*g
[/mm]
Berücksichtigen der Seilmasse ms mit der Seillänge l bei einer Auslenkung x:
[mm] m_{1} [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}-x) [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{2} [/mm] - [mm] \bruch{m_{s}}{l}x
[/mm]
[mm] m_{2} [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{l}(\bruch{1}{2}+x) [/mm] = m + [mm] \bruch{m_{s}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{m_{s}}{l}x
[/mm]
[mm] m_{1} [/mm] - [mm] m_{2} [/mm] = [mm] 2\bruch{m_{s}}{l}x
[/mm]
[mm] m_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] = [mm] 2m+m_{s}
[/mm]
[mm] a=\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*x
[/mm]
nun die DGL,
[mm] x_{1}(t) [/mm] = [mm] Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct} [/mm]
[mm] v(t)=\dot{x}_{1}(t) [/mm] = [mm] c(Ae^{ct} [/mm] - [mm] Be^{-ct}) [/mm]
[mm] a(t)=\ddot{x}_{1}(t) [/mm] = [mm] c^{2}(Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct}) [/mm] = [mm] c^{2}x_{1}(t) [/mm]
[mm] c^{2}(Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct}) [/mm] = [mm] \bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*(Ae^{ct} [/mm] + [mm] Be^{-ct})
[/mm]
für c gilt dann
[mm] c^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}
[/mm]
c = [mm] \wurzel{\bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}}
[/mm]
mit Einsetzen der Werte: c = 0.4043
Anfangsbedinung: [mm] v_{1}(0)=0;
[/mm]
[mm] v(0)=\dot{x}_{1}(t) [/mm] = [mm] c(Ae^{c0} [/mm] - [mm] Be^{-c0})
[/mm]
also: A=B
[mm] c^{2}A(e^{ct} [/mm] + [mm] e^{-ct}) [/mm] = [mm] \bruch{2*m_{s}}{2m+m_{s}}*\bruch{g}{l}*A(e^{ct} [/mm] + [mm] e^{-ct})
[/mm]
hier steht nun auf beiden Seiten das Gleiche, und ich weiß nicht wie ich die Anfangsbedingung [mm] x_{1}(0) [/mm] = [mm] x_{10} \not= [/mm] 0 verwenden kann.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 Mo 26.11.2018 | | Autor: | nosche |
herzlichen Dank für den finalen Zündfunken
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