Rosinenbrötchen-Aufgabe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aus einem gut durchmischten Teig, in dem sich 100 Rosinen befinden, werden 20 Brötchen hergestellt. Berechnen Sie für ein geeignetes Laplace-Experiment die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Mindestens ein Rosinenbrötchen verdient diesen Namen nicht". |
Eine lustige Aufgabe, welche wir auch bereits gelöst haben, allerdings das Ergebnis ein wenig unlogisch finden... Wäre nett, wenn ihr kurz sagen könntet, ob wir irgendetwas falsch gemacht haben, oder ob es tatsächlich richtig ist!
Hier unser Lösungsweg:
Wir definieren uns als Ergebnisraum
[mm] Omega:=\{(w_{1},...,w_{20}) | w_{i} \in \{0,...,100\} und \summe_{i=1}^{20}w_{i}=100\}
[/mm]
und als W.-Verteilung
[mm] P(E)=\bruch{|E|}{|Omega|}
[/mm]
weiter haben wir für unser Ereignis, dass ein Brötchen keine Rosine enthält, folgendes definiert
[mm] E:=\{(w_{1},...,w_{20}) | w_{i} \in \{0,...,100\} und \summe_{i=1}^{20}w_{i}=100 und es existiert w_{j} \in \{1,...,20\}:w_{j}=0\}
[/mm]
Zur Berechnung nehmen wir allerdings das Komplement, also
[mm] E^{c}=\{(w_{1},...,w_{20}) | w_{i} \in {1,...,100} und \summe_{i=1}^{20}w_{i}=100\}
[/mm]
(Jedes Brötchen hat mindestens eine Rosine)
Nun müssen die Mächtigkeiten bestimmt werden:
Für |Omega| gilt der Modell, 100 nicht unterscheidbare Teilchen auf 20 Fächer zu verteilen mit Mehrfachbesetzungen, also:
[mm] |Omega|=\vektor{20+100-1 \\ 20-1}=\vektor{119 \\ 19}
[/mm]
(aus der Formel [mm] \vektor{n+k-1\\ n-1})
[/mm]
Für [mm] |E^{c}| [/mm] gilt:
[mm] |E^{c}|=\vektor{20+80-1 \\ 20-1}=\vektor{99 \\ 19}
[/mm]
(aus selbiger Formel, allerdings stehen ja nur noch 80 Rosinen statt 100 zur Verfügung, da bereits in jedem Fach/Brötchen eine liegt)
Somit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
[mm] P(E)=1-P(E^{c})=1-\bruch{\vektor{99 \\ 19}}{\vektor{119 \\ 19}}\approx [/mm] 97,8%
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 Sa 08.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Aus einem gut durchmischten Teig, in dem sich 100 Rosinen
> befinden, werden 20 Brötchen hergestellt. Berechnen Sie für
> ein geeignetes Laplace-Experiment die Wahrscheinlichkeit
> des Ereignisses "Mindestens ein Rosinenbrötchen verdient
> diesen Namen nicht".
> Eine lustige Aufgabe, welche wir auch bereits gelöst
> haben, allerdings das Ergebnis ein wenig unlogisch
> finden... Wäre nett, wenn ihr kurz sagen könntet, ob wir
> irgendetwas falsch gemacht haben, oder ob es tatsächlich
> richtig ist!
>
>
> Hier unser Lösungsweg:
>
>
> Wir definieren uns als Ergebnisraum
>
> [mm]Omega:=\{(w_{1},...,w_{20}) | w_{i} \in \{0,...,100\} und \summe_{i=1}^{20}w_{i}=100\}[/mm]
>
> und als W.-Verteilung
>
> [mm]P(E)=\bruch{|E|}{|Omega|}[/mm]
>
> weiter haben wir für unser Ereignis, dass ein Brötchen
> keine Rosine enthält, folgendes definiert
>
> [mm]E:=\{(w_{1},...,w_{20}) | w_{i} \in \{0,...,100\} und \summe_{i=1}^{20}w_{i}=100 und es existiert w_{j} \in \{1,...,20\}:w_{j}=0\}[/mm]
>
> Zur Berechnung nehmen wir allerdings das Komplement, also
>
> [mm]E^{c}=\{(w_{1},...,w_{20}) | w_{i} \in {1,...,100} und \summe_{i=1}^{20}w_{i}=100\}[/mm]
>
> (Jedes Brötchen hat mindestens eine Rosine)
>
> Nun müssen die Mächtigkeiten bestimmt werden:
>
> Für |Omega| gilt der Modell, 100 nicht unterscheidbare
> Teilchen auf 20 Fächer zu verteilen mit
> Mehrfachbesetzungen, also:
>
> [mm]|Omega|=\vektor{20+100-1 \\ 20-1}=\vektor{119 \\ 19}[/mm]
> (aus
> der Formel [mm]\vektor{n+k-1\\ n-1})[/mm]
>
> Für [mm]|E^{c}|[/mm] gilt:
>
> [mm]|E^{c}|=\vektor{20+80-1 \\ 20-1}=\vektor{99 \\ 19}[/mm]
> (aus
> selbiger Formel, allerdings stehen ja nur noch 80 Rosinen
> statt 100 zur Verfügung, da bereits in jedem Fach/Brötchen
> eine liegt)
>
> Somit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
>
> [mm]P(E)=1-P(E^{c})=1-\bruch{\vektor{99 \\ 19}}{\vektor{119 \\ 19}}\approx[/mm]
> 97,8%
Das Ergebnis scheint mir nicht zu stimmen. Ich habe in einer Computersimulation jeder der 100 Rosinen zufällig eine Nummer 1 bis 20 (die Nummer seines Brötchens) zugeordnet.
Dann habe ich untersucht, ob es dabei eine der Brötchennummern 1 bis 20 gibt, die keine Rosine erhalten hat.
In 100 Versuchen gab es zwölfmal Brötchen ohne Rosinen. (Bei nochmals 100 Versuchen waren es wieder zwölfmal so).
Gruß Abakus
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Dass das ein bisschen unrealistisch erscheint, ist uns ja auch aufgefallen und daher hab ich mich ja an die freundlichen Mitglieder des Matheforums gewandt 
Ich habe noch mal über die Lösung nachgedacht, habe aber keinen Fehler gefunden. Vielleicht bin ich einfach blind oder mir fällts irgendwann auf, wenn ich nicht dran denke...
Ist für mein Omega denn eine Laplace-Verteilung gegeben? Da scheint mir am ehesten der Fehler liegen zu können. Denn bei den kombinatorischen Sachen bin ich mir eigentlich recht sicher, dass das stimmt, oder ist das doch falsch?
Also über einen Hinweis auf das, WAS falsch ist, wäre ich dann jetzt doch recht froh...
Und noch eine Frage: Womit kannst man so etwas denn simulieren? Was ist das für ein Programm? Vielleicht haben wir das in der Uni ja auch und ich kann damit demnächst meine Ergebnisse selbst nachprüfen...
Danke schonmal für noch eine Antwort und ein schönes Wochenende!
Gruß, Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 So 09.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Und noch eine Frage: Womit kannst man so etwas denn
> simulieren? Was ist das für ein Programm? Vielleicht haben
> wir das in der Uni ja auch und ich kann damit demnächst
> meine Ergebnisse selbst nachprüfen...
> Danke schonmal für noch eine Antwort und ein schönes
> Wochenende!
> Gruß, Tobias
Hallo,
mein "Simulationsprogramm" war eine stinknormale Excel-Tabelle:
Zellen A1 bis A100: eintragen der Zahlen 1 bis 100 (jede Rosine hat eine Nummer)
Eigentlich ist diese Spalte überflüssig, sie dient nur als Beschriftung zum Verständnis der Spalte B.
Zelle B1:
=1+Ganzzahl(20*Zufallszahl())
(Der Rosine Nr. 1 wird eine Zufallszahl - die Nummer ihres Brötchens- von 1 bis 20 zugeordnet. Diese Formel wird in die Zellen B2 bis B100 (für die anderen 99 Rosinen) kopiert.
Zellen C1 bis C20: Eintragen der (Brötchen-)Nummern 1 bis 20
Zelle D1:
=Zählenwenn($b$1:$b$100;C1)
gibt an, wie oft die Rosinen in den Zellen B1 bis B100 das Brötchen 1 gewählt haben.
Diese Formel wird in die Zellen D2 bis D20 kopiert und gibt dort jeweils entsprechnd an, wie oft auch die Brötchennummern 2 bis 20 gewählt wurden.
Jetzt suchst du dir irgendeine freie Tabellenzelle und gibst dort ein:
=Produkt(d1:d20)
Dort erscheint entweder eine riesengroße Zahl (meist zwischen 10^12 und 10^14) oder die Zahl 0 (wenn eine der 20 Rosinenzahlen Null ist).
Mit der Taste F9 werden alle Zufallszahlen neu generiert.
Ich habe einfach 100 mal F9 gedrücht und dabei Strichliste geführt, wie oft das Produkt der 20 Rosinenzahlen Null war.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 So 09.11.2008 | | Autor: | JustSmile |
Vielen Danke. Dann weiß ich jetzt, wie man das z.B. machen kann. Nur doof das ich Excel ein bisschen auf Kriegsfuß stehe, weil das bei mir nie klappt... Aber gut - ich werde nächstes mal gucken, ob ich das auch selber schaffe und Excel mal ein bisschen nett zu mir ist!
Danke nochmal
Gruß, Tobias
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