Rosinenproblem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Fr 24.10.2008 | | Autor: | iffets86 |
| Aufgabe | | Aus 500 g Teig werden 10 Brötchen à 50 g geformt. Wie viele Rosinen müssen dem Teig zugegeben werden, damit mit 99%-iger Sicherheit mindestens 1 Rosine je Brötchen vorkommt? |
Ich weiß nicht wie ich die Aufgabe berechnen soll? kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Fr 24.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Aus 500 g Teig werden 10 Brötchen à 50 g geformt. Wie viele
> Rosinen müssen dem Teig zugegeben werden, damit mit
> 99%-iger Sicherheit mindestens 1 Rosine je Brötchen
> vorkommt?
> Ich weiß nicht wie ich die Aufgabe berechnen soll? kann
> mir jemand helfen?
Nur ein kleiner Denkanstoß.
Die Wahrscheinlichkeit, dass in EINEM Brötchen mindestens eine Rosine ist, sei q.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass in ALLEN 10 Brötchen mindestens eine Rosine ist, gleich [mm] q^{10} [/mm] (und das wiederum ist größer als 0,99).
So kannst du q ausrechnen.
Dann brauchst du noch die minimale Rosinenzahl, mit der in einem Brötchen die Rosinen mit der Wahrscheinlichkeit q vorkommen.
Gruß Abakus
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> Nur ein kleiner Denkanstoß.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass in EINEM Brötchen mindestens
> eine Rosine ist, sei q.
> Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass in ALLEN 10 Brötchen
> mindestens eine Rosine ist, gleich [mm]q^{10}[/mm] (und das wiederum
> ist größer als 0,99).
hallo Abakus,
das war auch meine erste Idee. Leider stimmt sie aber
nicht exakt, da bei der Berechnung der Potenz [mm]q^{10}[/mm]
die Voraussetzung einfliesst, dass die Teilereignisse
unabhängig sind. Dies ist hier nicht der Fall. Diese
Rechnung kann also nur ein angenähert genaues
Ergebnis liefern.
Gruß Al
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Bei der Suche im Netz zum Thema Rosinenproblem bin ich
auf diesen
![[]](/images/popup.gif) Text
gestossen, wo als Beispiel 39.5.B (Seite 156) genau
diese Aufgabe (mit anderen Zahlen) mittels der Poisson-
Verteilung behandelt wird. Allerdings werden dort nicht
bloss 10, sondern 100 Brötchen gebacken, was insofern
wichtig ist, als die Poissonverteilung umso besser passt,
je grösser die Zahl n ist. Wir haben es also auch da nicht
mit einer streng exakten Lösung zu tun.
Gruß
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> Bei der Suche im Netz zum Thema Rosinenproblem bin ich
> auf diesen
>
> Text
>
> gestossen, wo als Beispiel 39.5.B (Seite 156) genau
> diese Aufgabe (mit anderen Zahlen) mittels der Poisson-
> Verteilung behandelt wird. Allerdings werden dort nicht
> bloss 10, sondern 100 Brötchen gebacken, was insofern
> wichtig ist, als die Poissonverteilung umso besser passt,
> je grösser die Zahl n ist. Wir haben es also auch da
> nicht mit einer streng exakten Lösung zu tun.
Nachbemerkung:
Es handelt sich bei der angebotenen Lösung nicht bloss
um eine nicht exakte Lösung, sondern um eine definitiv
falsche, oder wenn man es freundlicher ausdrückt, um
die richtige approximative Lösung einer anderen Aufgabe.
Ich habe dem Autor folgende Zeilen zukommen lassen:
".....
.....
ich habe den Text aus dem Buch nochmals genau durchgesehen und gemerkt, worin wohl der Fehler besteht.
Dort steht:
"Wir setzen Beispiel 39.5.A fort und fragen, wieviele Rosinen man braucht, damit mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit in JEDEM Brötchen mindestens eine Rosine zu finden ist"
Was Sie dann berechnen, ist allerdings die Anzahl der Rosinen, die man braucht, damit in EINEM beliebig herausgegriffenen Brötchen mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine Rosine ist.
Dies kann man auch ganz elementar berechnen, nämlich durch Auflösen der Ungleichung
[mm] (1-p)^n=0.99^n\le [/mm] 0.05
[mm] n*ln(0.99)\le [/mm] ln(0.05)
[mm] n\ge [/mm] ln(0.05)/ln(0.99)=298.07...
[mm] n\ge [/mm] 299
.....
....."
Übrigens wäre die richtige Antwort auf die obige (erste) Frage: mindestens 754 Rosinen.
Gruß Al-Chwarizmi
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> Aus 500 g Teig werden 10 Brötchen à 50 g geformt. Wie viele
> Rosinen müssen dem Teig zugegeben werden, damit mit
> 99%-iger Sicherheit mindestens 1 Rosine je Brötchen
> vorkommt?
In einer Monte-Carlo-Simulation auf dem Computer habe
ich 20 Millionen virtuelle Rosinenbrötchen gebacken, um
die Resultate nach dem Vorschlag von abakus und nach
der Poissonverteilung (Storrer) experimentell zu überprüfen.
Die Ergebnisse:
abakus: 66 Rosinen
Storrer: 47 Rosinen
Monte-Carlo: 66 Rosinen
Eine "exakte" Berechnung habe ich zwar versucht, bin
aber mit mir selber noch nicht ganz im Klaren über die
genaue Begründung. Allerdings komme ich damit rechne-
risch ebenfalls auf die Mindestzahl von 66 Rosinen.
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