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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Di 29.05.2007 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | Für 2mal stetig partiell diffbare Funktionen [mm] f:\IR^3 \to \IR [/mm] und [mm] F:\IR^3 \to \IR [/mm] ^3
sei die Rotation gegeben durch rot [mm] F:=\nabla [/mm] x F [mm] =\vektor{\bruch{\delta F_{3}}{\delta x_{2}}-\bruch{\delta F_{2}}{\delta x_{3}} \\ \bruch{\delta F_{3}}{\delta x_{1}}-\bruch{\delta F_{1}}{\delta x_{3}} \\\bruch{\delta F_{2}}{\delta x_{1}}-\bruch{\delta F_{1}}{\delta x_{2}} }
[/mm]
Zeigen sie [mm] F=\nabla [/mm] f [mm] \Rightarrow [/mm] rot F=0 |
hallo, ich weiß das kann gar nicht so schwer sein unser Tutor hat dafür ne halbe Zeile gebraucht aber ich stehe irgendwie auf dem Schlauch.
[mm] F=\nabla f=(\bruch{\delta f}{\delta x_{1}},...,\bruch{\delta f}{\delta x_{n}})
[/mm]
Wobei n=3 aber wie ich das dann mit rot F=0=... in Verbindung bringe seh ich nicht. Kann mir das wer zeigen. danke
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Hallo!
Setze doch mal den Gradienten von f ein:
[mm] $\nabla \times \vec F=\vektor{\bruch{d F_z}{d y}-\bruch{d F_y}{d z} \\ \bruch{d F_z}{d x}-\bruch{d F_x}{d z} \\ \bruch{d F_y}{d x}-\bruch{d F_x}{d y} }$
[/mm]
[mm] $\vec F=\nabla f=\vektor{\frac{df}{dx} \\ \frac{df}{dy} \\ \frac{df}{dz}}$
[/mm]
[mm] $\nabla \times (\nabla f)=\vektor{\bruch{d}{d y}\frac{df}{dz}-\bruch{d}{d z}\frac{df}{dy} \\ \bruch{d}{d x}\frac{df}{dz}-\bruch{d}{d z}\frac{df}{dx} \\ \bruch{d}{d x}\frac{df}{dy}-\bruch{d}{d y}\frac{df}{dx} }$
[/mm]
Da die Ableitungen normalerweise (!) kommutativ sind, ist das 0.
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