matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegralrechnungRotation
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Integralrechnung" - Rotation
Rotation < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rotation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Di 08.11.2011
Autor: Kuriger

Hallo


Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] e^{-kx} [/mm] k > 0

Die Fläche im 1. Quadranten zwischen Kurve und Koordinatenachsen rotieren um die x-Achse wobei ein Rotationskörper R mit Volumen VR entsteht.

Drücke das Volumen VR in Abhängigkeit von k aus. Welche speziellen Werte hat k, wenn das Volumen [mm] \pi [/mm] Volumeneinheiten beträgt?

Also eine E Funktion nähert sich der x Achse an, aber wird sie nie berühren....

V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-2kx}} [/mm] dx
[mm] \infty [/mm] = b

f(x) = [mm] e^{-kx} [/mm]
F(x) = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] e^{-kx} [/mm]
V  = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] (e^{-bx} [/mm] -1)


[mm] e^{-bx} [/mm] --> geht gegen null

V  = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * -1

Stimmt leider nicht

Vr = [mm] \bruch{\pi}{2k} [/mm] gemäss Lösungsresultat




        
Bezug
Rotation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Di 08.11.2011
Autor: Kuriger

Weitere Teilaufgabe dazu

Die Tangente an die Kurve y = [mm] -e^{-kx} [/mm] (k >) bei x = 0 schliesst mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten ein Dreieck ein. Bei Rotation der Dreiecksfläche um die x Achse entsteht ein Kegel mit Volumen Vk.
berechne das Verhältnis VK: VR (VR siehe obere AUfgabe)


y' = [mm] k*e^{-kx} [/mm]
x = 0
m = k (Steigung der Hypotenuse dieses Dreiecks)

Weiter komme ich leie rnicht

Sollte geben: VK:VR = 2:3

Bezug
                
Bezug
Rotation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Di 08.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Kuriger,

> Weitere Teilaufgabe dazu
>  
> Die Tangente an die Kurve y = [mm]-e^{-kx}[/mm] (k >) bei x = 0
> schliesst mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten ein
> Dreieck ein. Bei Rotation der Dreiecksfläche um die x
> Achse entsteht ein Kegel mit Volumen Vk.
>  berechne das Verhältnis VK: VR (VR siehe obere AUfgabe)
>  
>
> y' = [mm]k*e^{-kx}[/mm]
>  x = 0
>  m = k (Steigung der Hypotenuse dieses Dreiecks)
>  


Für die Tangentengleichung setze so an:

[mm]y\left(0\right)=m*x+b[/mm]
[mm]y'\left(0\right)=m[/mm]

Löse dann dieses Geichungssystem
und Du erhältst die Werte für m und b.


> Weiter komme ich leie rnicht
>  
> Sollte geben: VK:VR = 2:3


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Rotation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Di 08.11.2011
Autor: Kuriger

Hallo

Und dann einfach von der erhaltene geradenfunktion die Rotationsformel um die x Achse anwenden?

Gruss Kuriger

Bezug
                                
Bezug
Rotation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Di 08.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Kuriger,

> Hallo
>  
> Und dann einfach von der erhaltene geradenfunktion die
> Rotationsformel um die x Achse anwenden?
>


Zuerst musst Du die Schnittpunkte dieser Tangentengleichung
mit den Koordinatenachsen bestimmen. Dann kannst Du die
Rotationsformel um die x-Achse anwenden.


> Gruss Kuriger


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Rotation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Di 08.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Kuriger,


> Hallo
>  
>
> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]e^{-kx}[/mm] k > 0
>  
> Die Fläche im 1. Quadranten zwischen Kurve und
> Koordinatenachsen rotieren um die x-Achse wobei ein
> Rotationskörper R mit Volumen VR entsteht.
>  
> Drücke das Volumen VR in Abhängigkeit von k aus. Welche
> speziellen Werte hat k, wenn das Volumen [mm]\pi[/mm]
> Volumeneinheiten beträgt?
>  
> Also eine E Funktion nähert sich der x Achse an, aber wird
> sie nie berühren....
>  
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-2kx}}[/mm] dx [ok]
>  [mm]\infty[/mm] = b

Oha, das kannst du so nicht schreiben!

Es ist [mm]V_k=\pi\cdot{}\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_{0}^{b}{e^{-2kx} \ dx}[/mm]

>  
> f(x) = [mm]e^{-kx}[/mm]

??

Du integrierst doch [mm]f^2(x)=e^{-2kx}[/mm]

Das gibt [mm]-\frac{1}{2k}e^{-2kx}[/mm] --> Probe durch Ableiten ...

>  F(x) = [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * [mm]e^{-kx}[/mm]
>  V  = [mm]\pi[/mm] * [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * [mm](e^{-bx}[/mm] -1)
>  
>
> [mm]e^{-bx}[/mm] --> geht gegen null
>  
> V  = [mm]\pi[/mm] * [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * -1
>  
> Stimmt leider nicht

Nun, du erhältst: [mm]V_k=-\frac{1}{2k}\cdot{}\pi\cdot{}\lim\limits_{b\to\infty}\left[e^{-2kx}\right]_{x=0}^{x=b}[/mm]

Das rechne nochmal aus ...

Dann kannst du auch leicht dasjenige [mm]k[/mm] ausrechnen, für das [mm]V_k=\pi[/mm] ist ...

>  
> Vr = [mm]\bruch{\pi}{2k}[/mm] gemäss Lösungsresultat

Was soll [mm]Vr[/mm] sein?? Der Ausdruck [mm]\frac{\pi}{2k}[/mm] ist doch gar nicht von r abhängig ...

Du solltest wahrlich konsistenter aufschreiben ...


Gruß

schachuzipus


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]