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Forum "Integralrechnung" - Rotation
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Rotation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Di 08.11.2011
Autor: Kuriger

Hallo


Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] e^{-kx} [/mm] k > 0

Die Fläche im 1. Quadranten zwischen Kurve und Koordinatenachsen rotieren um die x-Achse wobei ein Rotationskörper R mit Volumen VR entsteht.

Drücke das Volumen VR in Abhängigkeit von k aus. Welche speziellen Werte hat k, wenn das Volumen [mm] \pi [/mm] Volumeneinheiten beträgt?

Also eine E Funktion nähert sich der x Achse an, aber wird sie nie berühren....

V = [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-2kx}} [/mm] dx
[mm] \infty [/mm] = b

f(x) = [mm] e^{-kx} [/mm]
F(x) = [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] e^{-kx} [/mm]
V  = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * [mm] (e^{-bx} [/mm] -1)


[mm] e^{-bx} [/mm] --> geht gegen null

V  = [mm] \pi [/mm] * [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * -1

Stimmt leider nicht

Vr = [mm] \bruch{\pi}{2k} [/mm] gemäss Lösungsresultat




        
Bezug
Rotation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Di 08.11.2011
Autor: Kuriger

Weitere Teilaufgabe dazu

Die Tangente an die Kurve y = [mm] -e^{-kx} [/mm] (k >) bei x = 0 schliesst mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten ein Dreieck ein. Bei Rotation der Dreiecksfläche um die x Achse entsteht ein Kegel mit Volumen Vk.
berechne das Verhältnis VK: VR (VR siehe obere AUfgabe)


y' = [mm] k*e^{-kx} [/mm]
x = 0
m = k (Steigung der Hypotenuse dieses Dreiecks)

Weiter komme ich leie rnicht

Sollte geben: VK:VR = 2:3

Bezug
                
Bezug
Rotation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Di 08.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Kuriger,

> Weitere Teilaufgabe dazu
>  
> Die Tangente an die Kurve y = [mm]-e^{-kx}[/mm] (k >) bei x = 0
> schliesst mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten ein
> Dreieck ein. Bei Rotation der Dreiecksfläche um die x
> Achse entsteht ein Kegel mit Volumen Vk.
>  berechne das Verhältnis VK: VR (VR siehe obere AUfgabe)
>  
>
> y' = [mm]k*e^{-kx}[/mm]
>  x = 0
>  m = k (Steigung der Hypotenuse dieses Dreiecks)
>  


Für die Tangentengleichung setze so an:

[mm]y\left(0\right)=m*x+b[/mm]
[mm]y'\left(0\right)=m[/mm]

Löse dann dieses Geichungssystem
und Du erhältst die Werte für m und b.


> Weiter komme ich leie rnicht
>  
> Sollte geben: VK:VR = 2:3


Gruss
MathePower

Bezug
                        
Bezug
Rotation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Di 08.11.2011
Autor: Kuriger

Hallo

Und dann einfach von der erhaltene geradenfunktion die Rotationsformel um die x Achse anwenden?

Gruss Kuriger

Bezug
                                
Bezug
Rotation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Di 08.11.2011
Autor: MathePower

Hallo Kuriger,

> Hallo
>  
> Und dann einfach von der erhaltene geradenfunktion die
> Rotationsformel um die x Achse anwenden?
>


Zuerst musst Du die Schnittpunkte dieser Tangentengleichung
mit den Koordinatenachsen bestimmen. Dann kannst Du die
Rotationsformel um die x-Achse anwenden.


> Gruss Kuriger


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
Rotation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:15 Di 08.11.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Kuriger,


> Hallo
>  
>
> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]e^{-kx}[/mm] k > 0
>  
> Die Fläche im 1. Quadranten zwischen Kurve und
> Koordinatenachsen rotieren um die x-Achse wobei ein
> Rotationskörper R mit Volumen VR entsteht.
>  
> Drücke das Volumen VR in Abhängigkeit von k aus. Welche
> speziellen Werte hat k, wenn das Volumen [mm]\pi[/mm]
> Volumeneinheiten beträgt?
>  
> Also eine E Funktion nähert sich der x Achse an, aber wird
> sie nie berühren....
>  
> V = [mm]\pi[/mm] * [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-2kx}}[/mm] dx [ok]
>  [mm]\infty[/mm] = b

Oha, das kannst du so nicht schreiben!

Es ist [mm]V_k=\pi\cdot{}\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_{0}^{b}{e^{-2kx} \ dx}[/mm]

>  
> f(x) = [mm]e^{-kx}[/mm]

??

Du integrierst doch [mm]f^2(x)=e^{-2kx}[/mm]

Das gibt [mm]-\frac{1}{2k}e^{-2kx}[/mm] --> Probe durch Ableiten ...

>  F(x) = [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * [mm]e^{-kx}[/mm]
>  V  = [mm]\pi[/mm] * [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * [mm](e^{-bx}[/mm] -1)
>  
>
> [mm]e^{-bx}[/mm] --> geht gegen null
>  
> V  = [mm]\pi[/mm] * [mm]\bruch{1}{k}[/mm] * -1
>  
> Stimmt leider nicht

Nun, du erhältst: [mm]V_k=-\frac{1}{2k}\cdot{}\pi\cdot{}\lim\limits_{b\to\infty}\left[e^{-2kx}\right]_{x=0}^{x=b}[/mm]

Das rechne nochmal aus ...

Dann kannst du auch leicht dasjenige [mm]k[/mm] ausrechnen, für das [mm]V_k=\pi[/mm] ist ...

>  
> Vr = [mm]\bruch{\pi}{2k}[/mm] gemäss Lösungsresultat

Was soll [mm]Vr[/mm] sein?? Der Ausdruck [mm]\frac{\pi}{2k}[/mm] ist doch gar nicht von r abhängig ...

Du solltest wahrlich konsistenter aufschreiben ...


Gruß

schachuzipus


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